Moment of Inertia and Centroid MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Moment of Inertia and Centroid - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

फ़्लैन्ज चौड़ाई = 100 mm

फ़्लैन्ज मोटाई = 10 mm

वेब ऊँचाई = 80 mm, वेब मोटाई = 10 mm

खंड की कुल ऊँचाई = 10 + 80 + 10 = 100 mm

केंद्रकीय जड़त्व आघूर्ण = 449.3 × 10⁴ mm⁴ = 4493000 mm⁴

परिकलन:

ऊपरी फ़्लैन्ज का क्षेत्रफल, A₁ = 100 × 10 = 1000 mm²

निचले फ़्लैन्ज का क्षेत्रफल, A₂ = 100 × 10 = 1000 mm²

वेब का क्षेत्रफल, A₃ = 10 × 80 = 800 mm²

कुल क्षेत्रफल, A = A₁ + A₂ + A₃ = 1000 + 1000 + 800 = 2800 mm²

केन्द्रक से खंड के शीर्ष तक की दूरी, d = 100 / 2 = 50 mm

\(I = I_{centroidal} + A \times d^2\)

\(I = 4493000 + 2800 \times 50^2 = 4493000 + 2800 \times 2500\)

\(I = 4493000 + 7000000 = 11493000~mm^4\)

संप्रत्यय:

I-खंड के X-X अक्ष के बारे में फ्लैंज के जड़त्व आघूर्ण की गणना करने के लिए, हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।

दिया गया है:

फ्लैंज की चौड़ाई, b = 100 mm

फ्लैंज की मोटाई, t = 10 mm

फ्लैंज के केंद्रक और अक्ष X-X के बीच की दूरी, d = 50 mm

गणना:

फ्लैंज का क्षेत्रफल, A = b × t = 100 × 10 = 1000 mm², d = 50 mm

समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,

\( I_{X-X} = I_f + A \times d^2 \)

मान प्रतिस्थापित करने पर:

\( I_{X-X} = I_f + 1000 \times 50^2 = I_f + 1000 \times 2500 \)

\( I_{X-X} = I_f + 2.5 \times 10^6~\text{mm}^4 \)

व्याख्या:

वृत्त के स्पर्श रेखा के सापेक्ष वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण

वृत्त के स्पर्श रेखा के सापेक्ष वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण (I) समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके गणना की जाती है। प्रमेय कहता है कि किसी भी अक्ष के सापेक्ष किसी क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण, जो समकेन्द्रीय अक्ष के समानांतर है, समकेन्द्रीय अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है, साथ ही क्षेत्रफल और दोनों अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

समकेन्द्रीय जड़त्व आघूर्ण:

लामिना के तल में इसके समकेन्द्रीय अक्ष के सापेक्ष वृत्ताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण है:

I_{समकेन्द्रीय} = (π × r4) / 4

समानांतर अक्ष प्रमेय:

समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके, स्पर्श रेखा के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है:

I_{स्पर्शरेखा} = I_{समकेन्द्रीय} + A × d2

जहाँ:

• I_{समकेन्द्रीय} = समकेन्द्रीय अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण
• A = वृत्ताकार लामिना का क्षेत्रफल
• d = समकेन्द्रीय अक्ष और स्पर्शरेखा अक्ष के बीच की दूरी (वृत्त की त्रिज्या r के बराबर)

गणना:

वृत्ताकार लामिना का क्षेत्रफल (A) इस प्रकार दिया गया है:

A = π × r2

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

I_{स्पर्शरेखा} = I_{समकेन्द्रीय} + (π × r2) × r2

I_{स्पर्शरेखा} = (π × r4) / 4 + π × r4

I_{स्पर्शरेखा} = π × r4 × (1/4 + 1)

I_{स्पर्शरेखा} = π × r4 × (5/4)

I_{स्पर्शरेखा} = (5π × r4) / 4

व्याख्या:

एक समग्र आकृति का केंद्रक वह बिंदु है जहाँ आकृति के संपूर्ण क्षेत्रफल (या द्रव्यमान) को केंद्रित माना जा सकता है। समग्र अनुभागों (जो कई सरल आकृतियों से बने होते हैं) के लिए, केंद्रक की गणना आघूर्ण के सिद्धांत (या भारित औसत) का उपयोग करके की जाती है।

चरण-दर-चरण विधि:

मान लीजिए कि समग्र आकृति को n मानक ज्यामितीय भागों (आयत, त्रिभुज, वृत्त, आदि) में विभाजित किया गया है:

• मान लीजिए A_i​ = i-वीं आकृति का क्षेत्रफल

• मान लीजिए x_i​,y_i​ = i-वीं आकृति के केंद्रक के निर्देशांक

तब कुल केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं:

\(\bar x=\frac{\sum(A_ix_i)}{\sum A_i},\bar y=\frac{\sum(A_iy_i)}{\sum A_i}\)

अतिरिक्त जानकारी समांतर अक्ष प्रमेय

• इस प्रमेय का उपयोग किसी पिंड के किसी भी अक्ष के बारे में जड़त्व आघूर्ण की गणना करने के लिए किया जाता है जो इसके केंद्रक से गुजरने वाले अक्ष के समानांतर है।

• यह विशेष रूप से उपयोगी होता है जब संदर्भ अक्ष आकृति के केंद्रक से नहीं गुजरता है।

• यह केंद्रकीय अक्ष और नए अक्ष के बीच की दूरी के कारण अतिरिक्त घूर्णी जड़ता के लिए हिसाब रखता है।

• आमतौर पर समग्र अनुभागों के जड़त्व आघूर्ण की गणना करते समय, या जब तटस्थ अक्ष केंद्रक से दूर स्थित होता है, लागू किया जाता है।

लंब अक्ष प्रमेय

• केवल समतलीय (2D) वस्तुओं जैसे कि सपाट लैमिना या पतली प्लेटों पर लागू होता है।

• यह बताता है कि तल के लंबवत अक्ष के बारे में जड़त्व आघूर्ण तल में दो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर है, जो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

• यह प्रमेय ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण का निर्धारण करने में सहायक है, जो वृत्ताकार अनुभागों में मरोड़ के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण है।

• यह मुख्य रूप से सममितीय 2D आकृतियों में उपयोग किया जाता है, जैसे डिस्क या पतली प्लेटें, जहाँ इन-प्लेन और आउट-ऑफ-प्लेन घूर्णी व्यवहार का विश्लेषण महत्वपूर्ण है।

व्याख्या:

सममितीय T-सेक्शन के लिए जड़त्व आघूर्ण विश्लेषण:

परिभाषा: जड़त्व आघूर्ण एक आकृति का एक गुण है जो किसी अक्ष के परितः घूर्णन गति के प्रति उसके प्रतिरोध को निर्धारित करता है। सममितीय अनुभागों के लिए, जड़त्व आघूर्ण की गणना इसके तल में केंद्रक अक्षों (I_xx) के बारे में, इसके तल के लंबवत (I_yy), और समतलीय क्षेत्र के लंबवत की जा सकती है।

दिया गया है:

• फलक के समानांतर केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_xx) = 2 x 10⁷ mm⁴
• फलक के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_yy) = 1.5 x 10⁷ mm⁴

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J):

• समतलीय क्षेत्र के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J) तल में दो लंबवत केंद्रक अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग है:

J = I_xx + I_yy

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

• I_xx = 2 x 10⁷ mm⁴
• I_yy = 1.5 x 10⁷ mm⁴

J = (2 x 10⁷) + (1.5 x 10⁷)

J = 3.5 x 10⁷ mm⁴

संकल्पना:

r त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से CG निम्न है

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}\)

गणना:

दिया गया है:

r = 33 cm

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}={4\times 33\over3\times{22\over 7}}\)

y̅ = 14 cm

∴ 66 cm व्यास वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से C.G., 14 cm है। Additional Information

विभिन्न समतल परत की C.G. को नीचे दी गयी तालिका में दर्शाया गया है। यहाँ x̅ और y̅ क्रमशः x और y - अक्ष से C.G. की दूरी को दर्शाते हैं। 

वृत्त
अर्धवृत्त
त्रिभुज
शंकु
आयत
चतुर्थांश वृत्त
ठोस अर्धगोला

धारणा:

जड़त्व आघूर्ण

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

• एक निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार होगा

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा जिससे एक निकाय में इसके घूर्णन गति के आधार पर गति होती है, उसको घूर्णन गतिज ऊर्जा कहलाता है।
• एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय पूर्ण रूप से एक स्थान में होती है।
• गणितीय रूप से घूर्णन गतिज ऊर्जा को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्त्वाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

स्पष्टीकरण:

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर रिंग का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{ring}} = M{R^2}\)

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2}\)

• जैसा कि हम जानते हैं कि गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इसप्रकार लिखा जा सकता है

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

• प्रश्न के अनुसार पतली डिस्क और एक पतली रिंग का कोणीय वेग समान है। इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्त्वाघूर्ण पर निर्भर करती है।
• इसलिए अधिक जड़त्त्वाघूर्ण वाले निकाय में गतिज ऊर्जा अधिक होगी और इसके विपरीत।
• तो, समीकरण से यह स्पष्ट है कि,

⇒ Iring > Idisc

∴ Kring > Kdisc

• रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।

विभिन्न समतल क्षेत्रों के लिए गुरुत्वाकर्षण केन्द्र

1) त्रिकोण

2) त्रिज्या ‘R’ की अर्ध वृत्त

3) खोखला शंकु (समकोण)

4) समलम्ब

\(\bar y = \frac{{ga + 6}}{{\left( {a + 6} \right)}}\;\left( {\frac{4}{3}} \right)\)

5) ज्या तरंग

6) 4^th डिग्री का  वक्र

\(\bar x = \left( {\frac{{6\left( {N + 1} \right)}}{{2\left( {N + 2} \right)}}} \right)\)

\(\bar y = \left( {\frac{{hN}}{{ZN + 1}}} \right)\)

Important Points

1. Centre of gravity of a thin hollow cone = 1/3
2. Centre of gravity of a solid cone = 1/4

संकल्पना:

वृत्ताकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण 

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\)

वर्गाकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण,

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{d}}\times{{\rm{d}}^3}}}{{12}}\)

गणना​:

एक वृत्ताकार प्लेट के जड़त्व आघूर्ण का वर्गाकार प्लेट के जड़त्व आघूर्ण से अनुपात है,

जो 1 से कम है।

Important Points 

निम्न तालिका विभिन्न आकृतियों के द्वितीय जड़त्वाघूर्ण को दर्शाती है

आकार	आकृति	जड़त्वाघूर्ण
आयत		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{d}}^3}}}{{12}}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{{\rm{d}}{{\rm{b}}^3}}}{{12}}\)
त्रिभुज		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{h}}^3}}}{{36}}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{{\rm{h}}{{\rm{b}}^3}}}{{36}}\)
वृत्त		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\)
अर्धवृत्त		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = {\rm{\;}}0.11{{\rm{R}}^4}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{8}{{\rm{R}}^4}\)
चौथाई वृत्त		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = 0.055{{\rm{R}}^4}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = 0.055{{\rm{R}}^4}\)

अवधारणा:

समानांतर अक्ष प्रमेय: किसी दिए गए अक्ष के अनुरूप एक निकाय का जड़त्वाघूर्ण I निकाय के जड़त्वाघूर्णों के योग के बराबर है जो दिए गए अक्ष के समानांतर है और निकाय के द्रव्यमान के केंद्र से गुजर रहा है Io और Ma2, जहां M निकाय का द्रव्यमान है और 'a' दो अक्षों के बीच की दूरी है।

⇒ I = Io + Ma2

व्याख्या:

• नगण्य मोटाई वाले एकसमान रॉड के लिए द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण निम्नवत है:

\({I_{cm}} = \frac{1}{{12}}M{L^2}\)

जहां M = रॉड का द्रव्यमान और L = रॉड की लंबाई

∴ रॉड के छोर के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण है

\(\Rightarrow {I_{end}} = {I_{cm}} + M{d^2} \)

\(\Rightarrow I_{end}= \frac{1}{{12}}M{L^2} + M{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2} = \frac{1}{3}M{L^2}\)

संकल्पना:

जड़त्वाघूर्ण क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, I = A × k²

जहाँ A अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल है और k अनुभाग के आवर्तन की त्रिज्या है।

वृत्ताकार अनुभाग के लिए, k = D/4

गणना:

\({\rm{A}} = \frac{{\rm{\pi }}}{4}{{\rm{D}}^2}\)

\({\rm{k}} = \frac{{\rm{D}}}{4}\)

\(\therefore {\rm{I}} = {\rm{A}} \times {{\rm{k}}^2} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{D}}^4}=\frac{\pi }{4}R^4\)

यहाँ, चतुर्थांश के लिए जड़त्वाघूर्ण क्षेत्रफल \({\rm{I_{qua}}} = \frac{{\rm{1}}}{4}I=\frac{\pi}{16}R^4\) है।

स्पष्टीकरण:

जड़त्व आघूर्ण:

जड़त्व आघूर्ण किसी दिए गए अक्ष के चारों ओर कोणीय त्वरण के लिए निकाय के प्रतिरोध का मापन होता है जो निकाय में द्रव्यमान के प्रत्येक घटक के गुणफलन के योग और अक्ष से घटक की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।

I = ∑( m1r12 + m2r22 + m3r32 +m4r42 + …….. + mnrn2)

इसके व्यास में द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक पतले गोलाकार शेल का जड़त्व आघूर्ण।

\({\rm{I}} = \frac{2}{3}{\rm{M}}{{\rm{R}}^2}\)

Additional Information

कुछ महत्वपूर्ण आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण:

संकल्पना:

जड़त्व आघूर्ण का क्षेत्रफल: यह एक क्षेत्रफल का ज्यामितीय गुणधर्म है जो दर्शाता है कि एक एकपक्षीय अक्ष के संबंध में इसके बिंदु कैसे वितरित किए जाते हैं।

इसे 2^nd आघूर्ण का क्षेत्रफल  या 2^nd जड़त्व आघूर्ण के रुप में जाना जाता है। 

इसकी SI इकाई ‘m⁴’ होती है।

गणितीय रुप से,इसे निम्न रुप से निरुपित किया जा सकता है

गणना:

दिया गया है:

चौड़ाई (b) = 3 cm, ऊँचाई(h)= 4 cm

आयताकार खण्ड के  लिए,जड़त्व आघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है  

\({I_{xx}} = \frac{{b{h^3}}}{{12}} = \frac{{3 \times {4^3}}}{{12}} = 16\;c{m^4}\)

जड़त्व आघूर्ण का द्रव्यमान:

यह किसी दिए गए अक्ष के चारों ओर कोणीय त्वरण के लिए निकाय के प्रतिरोध का मापन होता है जो निकाय में द्रव्यमान के प्रत्येक घटक के उत्पादों के योग और अक्ष से घटक की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।

इसकी SI इकाई kg-m² है।

गणितीय रुप से, \(I = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n {m_i}r_i^2\)

 कुछ मानक आकार के MOI :

व्याख्या:

विभिन्न खंडों का जड़त्वाघूर्ण:

\({{I}_{xx}}={{I}_{yy}}=\frac{\pi {{D}^{4}}}{64}\)

Izz = Ixx + Iyy

∴ Izz = 2 × Ixx

∴ Ixx हमेशा Izz से कम होता है

अवधारणा:

जड़त्व आघूर्ण:

जड़त्व आघूर्ण किसी दिए गए अक्ष के बारे में कोणीय त्वरण के लिए पिंड के प्रतिरोध का एक मापक है जो पिंड में द्रव्यमान के प्रत्येक तत्व और तत्व की अक्ष से दूरी के वर्ग के के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

I = ∑( m1r12 + m2r22 + m3r32 +m4r42 + …….. + mnrn2)​

इसके व्यास के बारे में द्रव्यमान M और त्रिज्या R के पतले गोलाकार खोल का जड़त्व आघूर्ण।

\({\rm{I}} = \frac{2}{3}{\rm{M}}{{\rm{R}}^2}\)

• एक दृढ़ पिंड प्रणाली के लिए, जड़त्व आघूर्ण एक ही अक्ष पर लिए गए सभी कणों के जड़त्व आघुर्णो का योग है।​

\(I=\sum m_{i}{r_{i}}^{2}\)

जहाँ I जड़त्व आघूर्ण है, m बिंदु द्रव्यमान है, r घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी है।

विभिन्न पिंड के जड़त्व आघूर्ण नीचे दी गई तालिका में दिया गया है: