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गणना:

f(x) = 2x³ + (2p - 7)x² + 3(2p - 9)x - 6

⇒ f'(x) = 6x² + 2(2p - 7)x + 3(2p - 9)

f'(x) = 0 के मूलों के लिए, विविक्तकर > 0 होना चाहिए और f''(x) का चिन्ह बदलना चाहिए।

चूँकि x<0 पर उच्चिष्ठ और x>0 पर निम्निष्ठ है, इसलिए f'(0) < 0

∴ 3(2p - 9) < 0

⇒ \(\mathrm{p}<\frac{9}{2}\)

⇒ \(\mathrm{p} \in\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

⇒ f'(x) = 8x³ - 36x + 8 = 4(2x³ - 9x + 2)

f'(x) = 0

∴ \(x=\frac{\sqrt{6}-2}{2}\)

अब

⇒ \(f(x)=\left(x^{2}-2 x-\frac{9}{2}\right)\left(2 x^{2}+4 x-1\right)+24 x+7.5\)

∴ \(f\left(\frac{\sqrt{6}-2}{2}\right)=M=12 \sqrt{6}-\frac{33}{2} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

त्रिघात फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्‍ठ ज्ञात करना:

• त्रिघात फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्‍ठ ज्ञात करने के लिए, पहले फलन को अवकलित करें और अवकलज को शून्य के बराबर करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
• क्रांतिक बिंदु x के मानों के अनुरूप होते हैं जहाँ फलन स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्‍ठ प्राप्त करता है।
• प्राचल ज्ञात करने और आवश्यक बिंदुओं पर फलन का मूल्यांकन करने के लिए क्रांतिक बिंदुओं पर दी गई स्थितियों का उपयोग करें।

गणना:

दिया गया है,

\( f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2 x + 1 \)

प्रथम अवकलज,

\( f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2 \)

क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए \( f'(x) = 0 \) सेट करने पर:

\( 6x^2 - 18ax + 12a^2 = 0 \)

6 से भाग देने पर:

\( x^2 - 3ax + 2a^2 = 0 \)

मान लीजिए कि मूल \( p \) और \( q \) हैं। तब, वियता के सूत्रों द्वारा,

• \( p + q = 3a \)
• \( pq = 2a^2 \)

दी गई स्थिति,

\( p^2 = q \)

\( q = p^2 \) प्रतिस्थापित करने पर

\( p + p^2 = 3a \)

\( p \cdot p^2 = p^3 = 2a^2 \)

योग से,

\( a = \frac{p + p^2}{3} \)

गुणनफल से,

\( a^2 = \frac{p^3}{2} \)

योग का वर्ग करके गुणनफल के बराबर करने पर:

\( \left( \frac{p + p^2}{3} \right)^2 = \frac{p^3}{2} \)

\( p \) के लिए हल करने पर \( p = 2 \) प्राप्त होता है।

तब,

\( a = \frac{2 + 4}{3} = 2 \)

अंत में, \( f(3) \) का मूल्यांकन करने पर:

\( f(3) = 2(3)^3 - 9(2)(3)^2 + 12(2)^2 (3) + 1 \)

\( = 54 - 162 + 144 + 1 = 37 \)

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

• क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ f'(x) = 0 या व्युत्पन्न अस्तित्व नहीं होता है।
• लघुगणक वाले समीकरणों के वास्तविक हलों की संख्या प्रतिस्थापन द्वारा द्विघात रूप में कम करके पाई जा सकती है।
• जब कोई रेखा किसी वक्र को स्पर्श करती है, तो इसका अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और उस बिंदु पर ढलान समान होते हैं।
• यदि कोई फलन चर सीमाओं के साथ निश्चित समाकल का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, तो लेबनिज नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न को नियंत्रित किया जाता है।

गणना:

(I) क्रांतिक बिंदुओं की संख्या

दिया गया है,

f(x) = x^3/5 x ≤ 1 के लिए

    = −(x − 2)³ x > 1 के लिए

⇒ f″(x) = 0, x = 2 के लिए और x = 0 पर अस्तित्व नहीं है। 

⇒ कुल क्रांतिक बिंदु = 3 (A, B, C)

∴ (I) → Q

(II) वास्तविक हलों की संख्या

दिया गया है, log₂²x + (x − 1) log₂ x = 6 − 2x

⇒ माना y = log₂ x

⇒ y² + (x − 1)y = 6 − 2x

⇒ y में एक द्विघात बनाएँ और वास्तविक x के लिए हल करने पर,

⇒ हल: x = 1/4 और x = 2

उनका गुणनफल = 1/2

∴ (II) → S

(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि रेखा 3x + 4y = c वक्र x⁴/2 = x + y को स्पर्श करती है

दिया गया है, dy/dx = −1 + 2x³

⇒ dy/dx = −3/4 (रेखा का ढलान) सेट करने पर,

⇒ −1 + 2x₁³ = −3/4 ⇒ x₁ = 1/2

⇒ वक्र से: x⁴/2 = x + y

⇒ (1/2)⁴/2 = 1/2 + y₁

⇒ 1/32 = 1/2 + y₁

⇒ y₁ = −15/32

⇒ c = 3x + 4y = 3/2 + 4(−15/32) = −3/8

∴ (III) → P

(IV) f(x) = ∫_x^x²(t − 1) dt , 1 ≤ x ≤ 2

⇒ f′(x) = 2x(x² − 1) − (x − 1) = 2x³ − 3x + 1

⇒ f′(x) (1, 2) में हमेशा धनात्मक है। 

⇒ इसलिए, फलन [1, 2] में वर्धमान है। 

⇒ अधिकतम मान x = 2 पर है। 

∴ (IV) → T

अंतिम मिलान: (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T है। 

व्याख्या:

f(x) = cos2x + x [-π/2, π/2] पर

\(f (\frac{-\pi}{2}) =-1 - \frac{\pi}{2}\)

\(f (\frac{\pi}{2}) =-1 + \frac{\pi}{2}\)

इसलिए f(x) का न्यूनतम मान \(-1 - \frac{\pi}{2}\)

∴ विकल्प (a) सही है

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

• फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = \(\frac12\)

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x = \(\frac12\) पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f(\(\frac12\)) = (\(\frac12\))² - \(\frac12\) + 2 = \(\frac74\)

अतः विकल्प (3) सही है। 

धारणा:

प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

गणना:

माना कि f(x) = |x + 3| - 2

जैसा कि हम जानते हैं कि प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

∴ |x + 3| ≥ 0

फलन का न्यूनतम मान प्राप्त होता है जब |x + 3| = 0

इसलिए f(x) का न्यूनतम मान = 0 – 2 = -2 

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) के लिए:

• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।

गणना:

दिए गए फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 के लिए पहले स्थानीय उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदु खोजें:

f'(x) = 12x³ + 12x² - 24x = 0

⇒ 12x(x² + x - 2) = 0

⇒ x(x + 2)(x - 1) = 0

⇒ x = 0 या x = -2 या x = 1

f''(x) = 36x² + 24x - 24

f''(0) = 36(0)2 + 24(0) - 24 = -24

f''(-2) = 36(-2)2 + 24(-2) - 24 = 144 - 48 - 24 = 72

f''(1) = 36(1)2 + 24(1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36

चूँकि x = 0 पर मान f''(0) = -24 < 0, फलन का स्थानीय अधिकतम मान x = 0 पर होता है।

संकल्पना:

निम्नलिखित चरण अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं। 

• फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है। 

1. f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 
2. यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = e^x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f’(x) = e^x

अधिकतम मान f’(x) = 0 के लिए 

∴ f’(x) = e^x = 0

घातांक फलन को x के किसी भी मान के लिए कभी भी शून्य नहीं माना जा सकता है, इसलिए फलन में स्थानीय उच्चिष्ट और निम्निष्ट नहीं हैं। 

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट ज्ञात करने के निम्नलिखित चरण हैं। 

• फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
• अब हमें द्वितीय अवकलज ज्ञात करना है। 
• f"(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 

गणना:

यहाँ, f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 6 

f'(x) = 3x2 + 4x - 4

f'(x) = 0 निर्दिष्ट कीजिए 

3x2 + 4x - 4 = 0 

⇒3x2 + 6x - 2x - 4 = 0

⇒ 3x(x + 2) - 2(x + 2) = 0

⇒ (3x - 2)(x + 2) = 0

इसलिए, x = -2 या x = 2/3

अब, f''(x) = 6x + 4

f''(-2) = -12 + 4 = -8 < 0

∴ x = - 2 पर, f(x) का अधिकतम मान मौजूद है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

निम्नलिखित चरण अवकलजों का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं। 

• फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है। 

1. f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 
2. यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

माना कि f(x) = x³ - 12x² + kx – 8

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f’(x) = 3x² – 24x + k

यह दिया गया है कि फलन x = 2 पर अंतराल [0, 3] के इसके अधिकतम मान को प्राप्त करता है। 

∴ f’(2) = 0

⇒ 3 × 2² – (24 × 2) + k = 0

∴ k = 36

संकल्पना:

वक्र की ढलान m को dy/dx = 0 द्वारा दिया गया है 

और, ढलान के अधिकतम होने की स्थिति: d2y/dx2 = 0

(dy/dx)x = a अधिकतम ढलान का मान देता है।

गणना:

y = – x3 + 3x2 + 9x – 27

dy/dx = – 3x2 + 6x + 9 = वक्र का ढलान 

अब, दोहरा अवकलन:

d2y/dx2 = – 6x + 6 = – 6 (x – 1)

d2y/dx2 = 0

⇒ – 6 (x – 1) = 0

⇒ x = 1

 x के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से, d3y/dx3 = – 6 < 0 है

∴ ढलान अधिकतम है यदि x = 1 है।

(dy/dx)x = 1 = – 3 (1)2 + 6 × 1 + 9 = 12

फलन:

यदि फलन f(x) में x = a पर चरममान है, तो f'(a) = 0 है। 

गणना:

दिया गया है, फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\)  है। 

⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + \dfrac {3\;cos \;3x}{3}\)

⇒ f'(x) = \(\rm p\;cos \; x + cos \;3x\)

⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \;3(\dfrac {\pi}{3})\)

⇒ f'(\(\rm \dfrac {\pi}{3}\)) = \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\)

फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\)  पर चरममान है। 

इसलिए,  \(\rm f'(\dfrac {\pi}{3}) = 0\)

⇒ \(\rm p\;cos \; (\dfrac {\pi}{3}) + cos \; \pi\) = 0

⇒ \(\rm \dfrac p 2 -1 = 0\)

⇒ \(\rm \dfrac p 2 =1\)

⇒ \(\rm p = 2\)

अतः p का वह मान 2 है, जिसके लिए फलन \(\rm f(x)= p \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3}\) में  \(\rm x=\dfrac{\pi}{3}\) पर चरममान है। 

संकल्पना:

एक फलन y = f(x) के लिए:

• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।

गणना:

मान लीजिए कि फलन y = f(x) = 2x3 - 21x2 + 36x - 20 है।

∴ f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) = 6x 2 - 42x + 36।

और, f''(x) = \(\rm \dfrac{d^2}{dx^2}f(x)=\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{d}{dx}f(x)\right]=\dfrac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) = 12x - 42।

उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं के लिए, f'(x) = 0।

⇒ 6x2 - 42x + 36 = 0

⇒ x2 - 7x + 6 = 0

⇒ x2 - 6x - x + 6 = 0

⇒ x(x - 6) - (x - 6) = 0

⇒ (x - 6)(x - 1) = 0

⇒ x - 6 = 0 या x - 1 = 0

⇒ x = 6 या x = 1

अब, इन बिंदुओं पर f '(x) के मानों का निरीक्षण करके उच्चिष्ट/निम्निष्ट के लिए इन बिंदुओं की जाँच करें।

f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30

f''(1) = 12(1) - 42 = 12 - 42 = -30

चूंकि, f''(6) = 30 > 0, यह न्यूनतम मान का बिंदु है।

और न्यूनतम मान f(6) है:

= 2(6)3 - 21(6)2 + 36(6) - 20

= 432 - 756 + 216 - 20

= -128

संकल्पना:

किसी वर्ग में अंकित वृत्त का केंद्र वर्ग के केंद्र के समान है। 

गणना:

वर्ग का निर्माण करने वाली दी गयी रेखाएं निम्न हैं:

x2 - 7x + 12 = 0

⇒ (x - 4)(x - 3) = 0

⇒ x = 4 और x = 3

और, y2 - 13y + 42 = 0

⇒ (y - 7)(y - 6) = 0

⇒ y = 7 और y = 6

केंद्र के निर्देशांक भुजाओं के मध्य-बिंदु होंगे: (3.5, 6.5)