Forms of Fourier Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Forms of Fourier Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 20, 2025
Latest Forms of Fourier Series MCQ Objective Questions
Forms of Fourier Series Question 1:
x(t) = sin2t का चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला गुणांक C0 क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 1 Detailed Solution
धारणा:
मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,
\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)
जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)
अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-
\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)
गणना:
\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)
\(x\left( t \right) = \frac{{1 + \cos \left( {2t} \right)}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\) ---- (1)
हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}{e^{j2t}} + \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)
फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके
हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)
Forms of Fourier Series Question 2:
किसी सम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में नहीं होता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 2 Detailed Solution
अंतराल α < x < α + 2π में फलन f(x) के लिए फूरियर श्रेणी इस प्रकार दी गई है:
\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\cos nx + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin nx\)
जहाँ
\({a_o} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)dx;\;{a_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\cos nxdx;\;{b_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\sin nxdx\)
एक सम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = f(x)
उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..
एक विषम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = -f(x)
उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..
\(\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx,\;\;जब\;f\left( x \right)\;एक\;सम\;फलन\;हो}\\ {0,\;\;जब\;f\left( x \right)\;एक\;विषम\;फलन\;हो} \end{array}} \right.\)
जब f, 2L आवर्त का एक सम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन (संभवतः, अचर पद सहित) पद होते हैं।
\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\frac{{\cos n\pi x}}{L}\)
\({a_o} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx\)
\({a_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx\)
जब f, 2L आवर्त का एक विषम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।
\(f\left( x \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin \frac{{n\pi x}}{L}\)
\({b_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx\)
|
सममिति |
शर्त |
फूरियर श्रेणी |
|
सम |
f(t) = f(-t) |
DC और कोसाइन पद मौजूद हो सकते हैं |
|
विषम |
f(t) = -f(-t) |
साइन पद मौजूद हो सकते हैं |
|
अर्ध तरंग |
f(t ± T/2) = -f(t) |
विषम हार्मोनिक्स |
|
|
f(t ± T/2) = f(t) |
सम हार्मोनिक्स |
Forms of Fourier Series Question 3:
आवधिक संकेत x(t) = sin2t के लिए फूरियर श्रृंखला गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 3 Detailed Solution
अवधारणा :
किसी दिए गए फूरियर श्रृंखला गुणांक cn के लिए संकेत निम्न द्वारा दिया जाता है:
\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty {c_n}{e^{jn{\omega _0}t}}\)
उपरोक्त का विस्तार करते हुए, हम लिख सकते हैं:
\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j{\omega _0}t}} + \ldots \)
ω0 = मौलिक आवृत्ति
ω0 = 2 के लिए उपरोक्त विस्तार को इस प्रकार लिखा जा सकता है
\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j2t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j2t}} + \ldots \) ---(1)
अनुप्रयोग:
\({\sin ^2}t = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2t}}{2}\)
sin2t की मौलिक अवधि होगी:
\({T_0} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \)
और मौलिक आवृत्ति ω0 = 2
sin 2 t को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
\({\sin ^2}t = {\left( {\frac{{{e^{jt}} - {e^{ - jt}}}}{{2j}}} \right)^2}\)
\({\sin ^2}t = \frac{{ - 1}}{4}\left( {{e^{2jt}} - 2 + {e^{ - 2jt}}} \right)\;\) ---(2)
समीकरण (2) की तुलना समीकरण (1) के मानक व्यंजक से करते हुए हम लिख सकते हैं:
\({c_n} = \frac{{ - 1}}{4}\delta \left( {n - 1} \right) + \frac{1}{2}\delta \left( n \right) - \frac{1}{4}\delta \left( {n + 1} \right)\;\;\)
Forms of Fourier Series Question 4:
x(t) = sin2t का चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला गुणांक C0 क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 4 Detailed Solution
धारणा:
मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,
\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)
जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)
अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-
\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)
गणना:
\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\) ---- (1)
हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{e^{j2t}} - \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)
फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके
हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)
Forms of Fourier Series Question 5:
एक डिजिटल बोर्ड में 250 MHz की एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी है। यदि बोर्ड पर सभी स्थानों पर घड़ी में सभी हार्मोनिक घटक होने चाहिए जिनमें DC मान का 10% से अधिक हो, तो बोर्ड को कम से कम किसके लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:
इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,
\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T}x\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt\)
\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{0.5T}A{{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt=-\frac{A}{Tn{{\omega }_{o}}}\left. {{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}} \right|_{0}^{\frac{T}{2}}\)
\(=-\frac{A}{jn2\pi }\left[ {{e}^{-jn}}.\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}-1 \right]\)
\(=-\frac{A}{j2n\pi }\left[ {{e}^{-jn\pi }}-1 \right]\)
\(=\frac{Aj}{2\pi n}\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}-1 \right]\)
|Cn| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,
\(\left| {{C}_{n}} \right|=\frac{A}{\pi n},~यदि~n~विषम~है।\)
|Cn| = 0, यदि n सम है।
उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,
\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}x\left( t \right)dt\)
\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}Adt=\frac{1}{T}.\frac{T}{2}.A=\frac{A}{2}=0.5A\)
इस मान का 10% 0.05 A है
अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,
\(\Rightarrow 0.05A<\frac{A}{\pi n}\)
इसलिए, n < 6.366।
इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,
लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f0 = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।
और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।
और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।
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x(t) = sin2t का चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला गुणांक C0 क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,
\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)
जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)
अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-
\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)
गणना:
\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\) ---- (1)
हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{e^{j2t}} - \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)
फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके
हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)
किसी सम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में नहीं होता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअंतराल α < x < α + 2π में फलन f(x) के लिए फूरियर श्रेणी इस प्रकार दी गई है:
\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\cos nx + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin nx\)
जहाँ
\({a_o} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)dx;\;{a_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\cos nxdx;\;{b_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\sin nxdx\)
एक सम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = f(x)
उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..
एक विषम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = -f(x)
उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..
\(\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx,\;\;जब\;f\left( x \right)\;एक\;सम\;फलन\;हो}\\ {0,\;\;जब\;f\left( x \right)\;एक\;विषम\;फलन\;हो} \end{array}} \right.\)
जब f, 2L आवर्त का एक सम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन (संभवतः, अचर पद सहित) पद होते हैं।
\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\frac{{\cos n\pi x}}{L}\)
\({a_o} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx\)
\({a_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx\)
जब f, 2L आवर्त का एक विषम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।
\(f\left( x \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin \frac{{n\pi x}}{L}\)
\({b_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx\)
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सममिति |
शर्त |
फूरियर श्रेणी |
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सम |
f(t) = f(-t) |
DC और कोसाइन पद मौजूद हो सकते हैं |
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विषम |
f(t) = -f(-t) |
साइन पद मौजूद हो सकते हैं |
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अर्ध तरंग |
f(t ± T/2) = -f(t) |
विषम हार्मोनिक्स |
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f(t ± T/2) = f(t) |
सम हार्मोनिक्स |
एक डिजिटल बोर्ड में 250 MHz की एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी है। यदि बोर्ड पर सभी स्थानों पर घड़ी में सभी हार्मोनिक घटक होने चाहिए जिनमें DC मान का 10% से अधिक हो, तो बोर्ड को कम से कम किसके लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:
इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,
\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T}x\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt\)
\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{0.5T}A{{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt=-\frac{A}{Tn{{\omega }_{o}}}\left. {{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}} \right|_{0}^{\frac{T}{2}}\)
\(=-\frac{A}{jn2\pi }\left[ {{e}^{-jn}}.\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}-1 \right]\)
\(=-\frac{A}{j2n\pi }\left[ {{e}^{-jn\pi }}-1 \right]\)
\(=\frac{Aj}{2\pi n}\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}-1 \right]\)
|Cn| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,
\(\left| {{C}_{n}} \right|=\frac{A}{\pi n},~यदि~n~विषम~है।\)
|Cn| = 0, यदि n सम है।
उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,
\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}x\left( t \right)dt\)
\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}Adt=\frac{1}{T}.\frac{T}{2}.A=\frac{A}{2}=0.5A\)
इस मान का 10% 0.05 A है
अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,
\(\Rightarrow 0.05A<\frac{A}{\pi n}\)
इसलिए, n < 6.366।
इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,
लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f0 = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।
और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।
और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।
आवर्त T = 8s के लिए नीचे दिखाए गए आवर्ती सिग्नल x(t) के लिए, 10वें संनादी में शक्ति कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सम समरूपता:
⇒ एक सम सिग्नल का FS प्रसार साइन पद को सन्तुष्ट नहीं करता है
विषम समरूपता:
⇒ एक विषम सिग्नल के FS प्रसार में केवल साइन पद होता है
अर्ध तरंग समरूपता:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right) = - x\left( {t + \frac{{{T_o}}}{2}} \right)}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} \downarrow \\ {{c_n} = - {c_n}.{e^{\frac{{Jn{\omega _0}{T_0}}}{2}}}} \end{array}} \end{array}\)
समय विस्थापन
\(\begin{array}{*{20}{c}} \;\\ {x\left( {t - {t_0}} \right)⇋{c_n}e} \end{array} - jn{\omega _0}{t_0}\)
\(1 = - {e^{\frac{{Jn{\omega _0}{T_o}}}{2}}},\frac{{{\omega _o}{T_o}}}{2} = \pi \)
1 = -eJnπ
1 + (eJπ)n = 0
∴ eπj = -1
1 + (-1)n = 0 -----(1)
समीकरण (1) n = विषम - पूर्णांक के लिए संतुष्ट होगी
nω0 = विषम संनादी
∴ H.W.S के F.S प्रसार में केवल ODD संनादी होती है
सम + H.W.S:
⇒ H.W.S सिग्नल के F.S प्रसार में विषम संनादी के साथ कोसाइन पद शामिल हैं।
ODD संनादी के साथ Cos शर्तें
विषम + H.W.S
⇒ H.W.S सिग्नल के F.S प्रसार में सम संनादी के साथ साइन पद शामिल हैं।
अनुप्रयोग:
दी गई आकृति विषम और अर्ध तरंग समरूपता है इसलिए इसमें केवल विषम संनादी शामिल हैं
∴ 10वाँ शून्य होगा
एक 33.33% ड्यूटी चक्र वाले आयताकार तरंग को स्पेक्ट्रम विश्लेषक के इनपुट पर दिया जाता है। क्या देखा जाएगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसिद्धांत:
ड्यूटी चक्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(\frac{{{T_{on}}}}{{{T_{on\;}} + {T_{off}}}}\), जहाँ Ton वह समय है जिसके लिए तरंग उच्च (1) है और Toff = वह समय जिसके लिए तरंग 0 या निम्न है
एक आवधिक सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक इस प्रकार दिया गया है:
\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T}x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)
गणना:
दिया गया ड्यूटी चक्र = 33.33%
\(ie.\frac{{{t_{on}}}}{{{t_{on}} + {t_{off}}}} = \frac{1}{3}\)
⇒ 3ton = ton + toff
⇒ 2ton = toff ----(1)
इसके अलावा ⇒ ton + toff = T
⇒ ton + 2ton = T
3 ton = T
\({t_{on}} = \frac{T}{3}\) ----(2)
तरंग नीचे दिखाए अनुसार होगी;
मान लीजिये,
A = दिए गए आयताकार तरंग का आयाम।
उपरोक्त तरंग का फूरियर श्रेणी गुणांक होगा:
\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T/3} A{e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)
\(\frac{A}{T}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{T}{3}} {e^{ - jk{\omega _o}t}}dt = \frac{A}{{T\left( { - jk{\omega _0}} \right)}}.\left( {{e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}} - 1} \right)\)
\(\frac{A}{{Tjk{\omega _0}}}\left[ {1 - {e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}}} \right]\)
जहाँ, \({\omega _o} = \frac{{2\pi }}{T}\)
\(= \frac{A}{{\frac{{Tjk2\pi }}{T}}}.[1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{3}\;\)
\(= \frac{A}{{jk2\pi }}\left[ {1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{3}} \right]\)
स्पष्ट रूप से, 3 के गुणजों के लिए गुणांक ck = 0 इसलिए, 33.33% ड्यूटी चक्र वाली दी गई आयताकार स्पंद के लिए 3 के गुणज अर्थात् तृतीय, षष्ठ, नवम, गुणज अनुपस्थित होंगे।Forms of Fourier Series Question 11:
x(t) = sin2t का चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला गुणांक C0 क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 11 Detailed Solution
धारणा:
मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,
\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)
जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)
अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-
\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)
गणना:
\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\) ---- (1)
हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)
\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{e^{j2t}} - \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)
फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके
हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)
Forms of Fourier Series Question 12:
यदि x(t) एक वास्तविक आवधिक फलन है, तो x(t) के घातांकीय फॉरियर श्रृंखला के बारे में सही विकल्प की पहचान कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 12 Detailed Solution
घातांकीय फॉरियर श्रृंखला गुणांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
\({C_n} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x\left( t \right){e^{ - jn{\omega _0}t}}dt\)
\({C_{ - n}} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x\left( t \right){e^{jn{\omega _0}t}}dt\)
उपरोक्त समीकरण से Cn और C-n सम्मिश्र संयुग्म हैं।
Cn = C*n
इसलिए, |Cn| = |C-n|
परिमाण वर्णक्रम सममितीय होता है।
\(\begin{array}{l} {C_n} = \left| {{C_n}} \right|{e^{j{\theta _n}}}\\ {C_{ - n}} = \left| {{C_n}} \right|{e^{ - j{\theta _n}}} \end{array}\)
Cn का चरण θn है, हालाँकि C-n का चरण -θn है। अतः चरण वर्णक्रम प्रतिसममितीय है।
Forms of Fourier Series Question 13:
आवधिक संकेत x(t) = sin2t के लिए फूरियर श्रृंखला गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 13 Detailed Solution
अवधारणा :
किसी दिए गए फूरियर श्रृंखला गुणांक cn के लिए संकेत निम्न द्वारा दिया जाता है:
\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty {c_n}{e^{jn{\omega _0}t}}\)
उपरोक्त का विस्तार करते हुए, हम लिख सकते हैं:
\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j{\omega _0}t}} + \ldots \)
ω0 = मौलिक आवृत्ति
ω0 = 2 के लिए उपरोक्त विस्तार को इस प्रकार लिखा जा सकता है
\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j2t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j2t}} + \ldots \) ---(1)
अनुप्रयोग:
\({\sin ^2}t = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2t}}{2}\)
sin2t की मौलिक अवधि होगी:
\({T_0} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \)
और मौलिक आवृत्ति ω0 = 2
sin 2 t को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
\({\sin ^2}t = {\left( {\frac{{{e^{jt}} - {e^{ - jt}}}}{{2j}}} \right)^2}\)
\({\sin ^2}t = \frac{{ - 1}}{4}\left( {{e^{2jt}} - 2 + {e^{ - 2jt}}} \right)\;\) ---(2)
समीकरण (2) की तुलना समीकरण (1) के मानक व्यंजक से करते हुए हम लिख सकते हैं:
\({c_n} = \frac{{ - 1}}{4}\delta \left( {n - 1} \right) + \frac{1}{2}\delta \left( n \right) - \frac{1}{4}\delta \left( {n + 1} \right)\;\;\)
Forms of Fourier Series Question 14:
किसी सम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में नहीं होता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 14 Detailed Solution
अंतराल α < x < α + 2π में फलन f(x) के लिए फूरियर श्रेणी इस प्रकार दी गई है:
\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\cos nx + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin nx\)
जहाँ
\({a_o} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)dx;\;{a_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\cos nxdx;\;{b_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\sin nxdx\)
एक सम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = f(x)
उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..
एक विषम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = -f(x)
उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..
\(\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx,\;\;जब\;f\left( x \right)\;एक\;सम\;फलन\;हो}\\ {0,\;\;जब\;f\left( x \right)\;एक\;विषम\;फलन\;हो} \end{array}} \right.\)
जब f, 2L आवर्त का एक सम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन (संभवतः, अचर पद सहित) पद होते हैं।
\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\frac{{\cos n\pi x}}{L}\)
\({a_o} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx\)
\({a_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx\)
जब f, 2L आवर्त का एक विषम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।
\(f\left( x \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin \frac{{n\pi x}}{L}\)
\({b_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx\)
|
सममिति |
शर्त |
फूरियर श्रेणी |
|
सम |
f(t) = f(-t) |
DC और कोसाइन पद मौजूद हो सकते हैं |
|
विषम |
f(t) = -f(-t) |
साइन पद मौजूद हो सकते हैं |
|
अर्ध तरंग |
f(t ± T/2) = -f(t) |
विषम हार्मोनिक्स |
|
|
f(t ± T/2) = f(t) |
सम हार्मोनिक्स |
Forms of Fourier Series Question 15:
एक डिजिटल बोर्ड में 250 MHz की एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी है। यदि बोर्ड पर सभी स्थानों पर घड़ी में सभी हार्मोनिक घटक होने चाहिए जिनमें DC मान का 10% से अधिक हो, तो बोर्ड को कम से कम किसके लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Forms of Fourier Series Question 15 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:
इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,
\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T}x\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt\)
\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{0.5T}A{{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt=-\frac{A}{Tn{{\omega }_{o}}}\left. {{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}} \right|_{0}^{\frac{T}{2}}\)
\(=-\frac{A}{jn2\pi }\left[ {{e}^{-jn}}.\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}-1 \right]\)
\(=-\frac{A}{j2n\pi }\left[ {{e}^{-jn\pi }}-1 \right]\)
\(=\frac{Aj}{2\pi n}\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}-1 \right]\)
|Cn| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,
\(\left| {{C}_{n}} \right|=\frac{A}{\pi n},~यदि~n~विषम~है।\)
|Cn| = 0, यदि n सम है।
उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,
\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}x\left( t \right)dt\)
\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}Adt=\frac{1}{T}.\frac{T}{2}.A=\frac{A}{2}=0.5A\)
इस मान का 10% 0.05 A है
अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,
\(\Rightarrow 0.05A<\frac{A}{\pi n}\)
इसलिए, n < 6.366।
इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,
लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f0 = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।
और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।
और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।