Equivalent Force System and Free Body Diagram MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equivalent Force System and Free Body Diagram - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

समतलीय बल निकाय

• एक समतलीय बल निकाय एक ऐसा निकाय है जिसमें शामिल सभी बल एक ही तल में स्थित होते हैं। यांत्रिकी और भौतिकी के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि बल एक द्वि-आयामी तल पर कार्य कर रहे हैं, और उनकी क्रिया की रेखाएँ एक ही समतल सतह तक सीमित हैं। यह बलों का विश्लेषण करते समय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि यह निकाय के गणितीय उपचार को सरल करता है, जिससे समतलीय ज्यामिति और सदिश विश्लेषण का उपयोग करने की अनुमति मिलती है।
• उदाहरण के लिए, एक सपाट मेज की सतह पर विचार करें। यदि मेज पर किसी वस्तु पर बल लगाए जाते हैं, जैसे कि उसे धक्का देना या खींचना, तो ये बल मेज के तल के भीतर स्थित होते हैं। यह एक समतलीय बल निकाय का एक विशिष्ट उदाहरण है। बल तल के भीतर विभिन्न दिशाओं में कार्य कर सकते हैं, लेकिन उनकी क्रिया की रेखाएँ तीसरे आयाम में विस्तारित नहीं होती हैं।

समतलीय बल निकायों की मुख्य विशेषताएँ:

• समतलीय बल: सभी बल एक ही ज्यामितीय तल में मौजूद होते हैं।
• सरलीकृत विश्लेषण: चूँकि सभी बल एक ही तल में होते हैं, इसलिए त्रि-आयामी बल निकायों की तुलना में सदिश योग और समाधान करना आसान होता है।
• संतुलन की स्थिति: एक समतलीय बल निकाय के संतुलन में होने के लिए, सभी क्षैतिज बलों का योग (ΣFx = 0), सभी ऊर्ध्वाधर बलों का योग (ΣFy = 0), और किसी भी बिंदु के बारे में सभी आघूर्णों का योग (ΣM = 0) शून्य होना चाहिए।
• अनुप्रयोग: समतलीय बल निकाय आमतौर पर संरचनात्मक इंजीनियरिंग, यांत्रिकी और गतिशीलता में पाए जाते हैं, जहाँ बल द्वि-आयामी संरचनाओं जैसे बीम, ट्रस या प्लेट पर कार्य करते हैं।

समतलीय बल निकायों के उदाहरण:

• एक सपाट, क्षैतिज पुल डेक पर कार्य करने वाले बल।
• एक द्वि-आयामी ट्रस संरचना पर बल।
• एक आनत तल पर आराम कर रही वस्तु पर कार्य करने वाले घर्षण और अभिलम्ब बल।

व्याख्या:

समतलीय समांतर बल निकाय

परिभाषा: एक समतलीय समांतर बल निकाय एक ऐसा निकाय है जिसमें सभी बल एक ही तल में कार्य करते हैं और एक-दूसरे के समानांतर होते हैं। इस प्रकार के बल निकाय आमतौर पर संरचनात्मक इंजीनियरिंग और यांत्रिकी में पाए जाते हैं, जहाँ बीम और स्तंभों पर भार जैसे बलों का विश्लेषण करने की आवश्यकता होती है।

विशेषताएँ:

• सभी बल एक ही तल में स्थित होते हैं।
• बल एक-दूसरे के समानांतर होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी दिशा समान होती है लेकिन उनके परिमाण भिन्न हो सकते हैं।

अनुप्रयोग: समतलीय समांतर बल निकायों का उपयोग अक्सर बीम, ट्रस और फ्रेम जैसी संरचनाओं के विश्लेषण में किया जाता है। वे समस्या को दो आयामों तक कम करके और समानांतर बलों के प्रभावों पर ध्यान केंद्रित करके विश्लेषण को सरल बनाते हैं।

लाभ:

• समस्या को दो आयामों तक कम करके संरचनात्मक तत्वों के विश्लेषण को सरल बनाता है।
• परिणामी बलों और आघूर्णों की सरल गणना की अनुमति देता है।

नुकसान:

• केवल उन प्रणालियों पर लागू होता है जहाँ बल वास्तव में समतलीय और समानांतर होते हैं।
• तीन आयामी संरचनाओं में वास्तविक दुनिया की बल अंतःक्रियाओं की जटिलता का पूरी तरह से प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

सही विकल्प विश्लेषण:

सही विकल्प है:

विकल्प 4: बल एक ही तल में कार्य करते हैं और समांतर होते हैं।

यह विकल्प सही ढंग से एक समतलीय समांतर बल निकाय का वर्णन करता है। सभी बल एक ही तल में हैं और एक-दूसरे के समानांतर हैं, जो इस प्रकार के बल निकाय की परिभाषित विशेषता है।

Additional Information

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: बल विभिन्न तलों में कार्य करते हैं और समांतर होते हैं।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह उन बलों का वर्णन करता है जो समानांतर हैं लेकिन समतलीय नहीं हैं। यदि बल विभिन्न तलों में कार्य करते हैं, तो उन्हें समतलीय बल निकाय का हिस्सा नहीं माना जा सकता है।

विकल्प 2: बल एक ही तल में कार्य करते हैं लेकिन समांतर नहीं होते हैं।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह एक समतलीय बल निकाय का वर्णन करता है, लेकिन समानांतर नहीं। बल एक ही तल में हैं लेकिन अलग-अलग दिशाएँ हैं, जो समतलीय समांतर बल निकाय की परिभाषा में फिट नहीं होता है।

विकल्प 3: बल विभिन्न तलों में कार्य करते हैं और समांतर नहीं होते हैं।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह ऐसी स्थिति का वर्णन करता है जहाँ बल न तो समतलीय हैं और न ही समानांतर। यह परिदृश्य समतलीय समांतर बल निकाय की परिभाषा में फिट नहीं होता है।

निष्कर्ष:

एक समतलीय समांतर बल निकाय की विशेषताओं को समझना संरचनात्मक तत्वों और यांत्रिक प्रणालियों का सटीक विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है। एक समतलीय समांतर बल निकाय में वे बल शामिल होते हैं जो एक ही तल में स्थित होते हैं और समानांतर होते हैं, जिससे परिणामी बलों और आघूर्णों का विश्लेषण और गणना सरल हो जाती है। यह मौलिक अवधारणा विभिन्न संरचनाओं की स्थिरता और अखंडता सुनिश्चित करने के लिए इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

संप्रत्यय:

जब दो बल समकोण (90°) पर कार्य करते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर सदिश योग का उपयोग करके उनका परिणामी बल ज्ञात किया जाता है।

यदि:

• बल 1 = F1
• बल 2 = F2
• उनके बीच का कोण = 90°

परिणामी बल सूत्र:

\( R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \)

यह सूत्र दो लंबवत सदिशों के परिणामी के परिमाण को देता है।

व्याख्या:

घूर्णन साम्यावस्था

• घूर्णन साम्यावस्था एक दृढ़ पिंड की उस अवस्था को संदर्भित करती है जहाँ किसी भी अक्ष के परितः कार्य करने वाले सभी बल आघूर्णों (आघूर्णों) का योग शून्य होता है।
• दूसरे शब्दों में, किसी पिंड के घूर्णन साम्यावस्था में होने के लिए, कोई भी परिणामी बल आघूर्ण नहीं होना चाहिए जो इसे घूमना शुरू करने या इसकी घूर्णन गति को बदलने का कारण बने।

घूर्णन साम्यावस्था के लिए शर्त:

• किसी पटल या किसी दृढ़ पिंड के घूर्णन साम्यावस्था में होने के लिए, उस पर कार्य करने वाले सभी बल आघूर्णों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

Στ = 0

जहाँ Στ पिंड पर कार्य करने वाले सभी बल आघूर्णों के योग को दर्शाता है।

संकल्पना:

लैमी का प्रमेय

यदि एक निकाय तीन बलों के क्रिया के तहत समतुल्यता में है, तो प्रत्येक बल अन्य दो बलों के बीच कोण के sine के समानुपाती है। 

\({F_1\over \sin(α) }={F_2\over \sin(β)}={F_3\over \sin(γ )}\)

जहां F1 , F2 और F3 साम्यावस्था निकाय पर तीन बल हैं, α = बल F2 और F3 के बीच का कोण, β = बल F1 और F3 के बीच का कोण, γ = बल F1 और F2 के बीच का कोण।

गणना​:

दिया गया:

तीन बलों की क्रिया के तहत संतुलन में

W = रोलर का वजन, F = खिंचाव बल, और R = प्रतिक्रिया बल

आकृति की ज्यामिति से α = 120°, β = 150°, और γ = 90°

लैमी के प्रमेय को लागू करना

\({W\over \sin(α) }={F\over \sin(β)}={R\over \sin(γ )}\)

\({W\over \sin(120) }={F\over \sin(150)}={R\over \sin(90)}\)

\({F}={W\;\times\; sin (150)\over \sin(120)}=\frac{W}{\sqrt{3}}\)

\(F= \frac{W}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}W}{3}\)

वर्णन:

बल-निर्देशक आरेख: इन आरेखों का प्रयोग दी गयी स्थिति में एक वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के सापेक्षिक परिमाण और दिशा को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाने वाला आरेख है। बल-निर्देशक आरेख सदिश आरेखों का एक विशेष उदाहरण है। 

बल-निर्देशक आरेख बनाने के लिए कुछ सामान्य नियम:

• एक बल-निर्देशक आरेख में तीर का आकार बल के परिमाण को दर्शाता है। 
• तीर की दिशा उस दिशा को दर्शाती है जिस दिशा में बल कार्य करता है।
• आरेख में प्रत्येक बल तीर बल के सटीक प्रकार को दर्शाने के लिए चिन्हित होता है। 
• यह सामान्यतौर पर एक बक्शे द्वारा वस्तु को दर्शाने और बल के कार्य करने की दिशा में बाहर की ओर बक्शे के केंद्र से बल के तीर के निशान को खींचने के लिए बल-निर्देशक आरेख में व्यावहारिक होता है।

उदाहरण:

संकल्पना:

लामी का प्रमेय:

लामी का प्रमेय तीन समतलीय, समवर्ती और गैर-संरेखीय बलों के परिमाणों को जोड़ने वाला एक समीकरण है, जो एक वस्तु को संबंधित बलों के प्रत्यक्ष रूप से विपरीत कोणों के साथ स्थैतिक समतुल्यता में रखता है। प्रमेय के अनुसार:

\(\frac{A}{{\sin \alpha }} = \frac{B}{{\sin\beta }} = \frac{C}{{\sin\gamma }}\)

गणना:

दिया गया है:

दी गयी आकृति से हमारे पास निम्न है

\(\frac{T_1}{sin~(120)}~=~\frac{T_2}{sin~(150)}~=~\frac{T_3}{sin~(90)}\)

उपरोक्त समीकरण को हल करने पर हमारे पास निम्न हैं,

\(\frac{T_1}{T_2}~=~\sqrt3\) और \(\frac{T_1}{T_3}~={\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

वर्णन:

जब रोलर सीढ़ी के ठीक ऊपर चढ़ने वाला होता है तो,

• बिंदु A पर स्थैतिक घर्षण शून्य होता है क्योंकि जब बेलन लगभग फुटपाथ से निकलने वाली होती है, तो यह A पर अपना संपर्क खो देगी, और संपर्क केवल बिंदु B पर रहेगा। 
• बिंदु B पर रोलर शुद्ध घूर्णन की अवस्था में होगा इसलिए सतह के रुक्ष होने पर भी बिंदु B पर कोई घर्षण नहीं होगा। 
• बल F, बिंदु B पर संपर्क बल, और रोलर का वजन W बिंदु C पर समवर्ती होंगे।

अतः बल निर्देशक आरेख निम्न होगी

अवधारणा:

लामी की प्रमेय​:

यह बताता है कि यदि एक बिंदु पर कार्यरत तीन बल संतुलन में हैं, तो प्रत्येक बल अन्य दो बलों के बीच के कोण की ज्या के समानुपाती होता है। एक दूसरे के साथ α, β, और γ कोण बनाने वाले एक कण या कठोर निकाय पर कार्यरत तीन बलों FA, FB, FC पर विचार करें।

इसलिए, \(\frac{{{F_A}}}{{sin\ \alpha }} = \frac{{{F_B}}}{{sin\ \beta }} = \frac{{{F_C}}}{{sin\ \gamma }}\)

गणना:

दिया हुआ है:

हमारे पास कोण BAC = 180° - (30° + 60°) = 90° है

कोण BAC = 90°

लामी की प्रमेय​ से,

\(\frac{{{800}}}{{sin~90°}} = \frac{{{T_{AC}}}}{{sin~150° }}\)

TAC = 400 N

लामी का प्रमेय: यदि एक कण पर तीन समतलीय और समवर्ती बल इसे साम्यावस्था में बनाए रखने के लिए इस पर कार्य करते हैं, तो प्रत्येक बल अन्य दो के बीच के कोण के साइन के समानुपाती होता है और अनुपातिक का स्थिरांक समान होता है।

एक कण या ठोस निकाय पर कार्य करने वाले बल F1, F2, F3 को मान लें, यह बल एक दुसरे के साथ कोण α, β, और γ बनाते हैं।

संकल्पना:

प्रत्येक ब्लॉक का मुक्त निकाय आरेख बनाना:

धनात्मक में संतुलित बल x दिशा

∴ F = μR_N1 + μR_N2 = μ(R_N1 + R_N2)

जहाँ, R_N1 = ब्लॉक R पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल और RN₂ = ब्लॉक S पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल

गणना:

दिया है:

μ = 0.4

R_N1 = 100g = 100 × 9.81 = 981 N

R_N2 = (100 + 150)g = 250 × 9.81 = 2452.5 N

न्यूनतम बल (F) है

F = μ(RN1 + RN2)

F = 0.4 × (981 + 2452.5)  = 1373.4 N = 1.37 kN

अवधारणा:

समांतर चतुर्भुज बलों का नियम:

यह नियम बताता है कि यदि किसी पिंड पर एक बिंदु पर एक साथ दो बल कार्य कर रहे हैं, जिन्हें समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, तो उनके परिणाम को समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, जो बलों का प्रतिनिधित्व करने वाली दो भुजाओं के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर गुजरता है।

कुल परिणामी बल, \({{R}} = \sqrt {{{{a}}^2} + {{{b}}^2}} \) \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacaqGsbGaeyypa0ZaaOaaa8aabaWdbiaabggapaWaaWbaaSqabeaa % peGaaGOmaaaakiabgUcaRiaabkgapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaa % aaaeqaaaaa!3CE6! {\rm{R}} = \sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} \)

गणना:

दिया गया है:

\(\rm Let\;{\rm{\vec a}} = 800{\rm{\;N}},{\rm{\;\vec b}} = 200{\rm{\;N}},{\rm{\;\vec c}} = 400{\rm{\;N}},{\rm{\;\vec d}} = 600{\rm{\;N}}\) \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qaceqGHbWdayaalaWdbiabg2da9iaaiIdacaaIWaGaaGimaiaabcka % caqGobGaaiilaiaabckaceqGIbWdayaalaWdbiabg2da9iaaikdaca % aIWaGaaGimaiaabckacaqGobGaaiilaiaabckaceqGJbWdayaalaWd % biabg2da9iaaisdacaaIWaGaaGimaiaabckacaqGobGaaiilaiaabc % kaceqGKbWdayaalaWdbiabg2da9iaaiAdacaaIWaGaaGimaiaabcka % aaa!53CD! {\rm{\vec a}} = 800{\rm{\;N}},{\rm{\;\vec b}} = 200{\rm{\;N}},{\rm{\;\vec c}} = 400{\rm{\;N}},{\rm{\;\vec d}} = 600{\rm{\;}}\)

ΣX = 200 – 600 = -400 N

ΣY = 400 – 800 = -400 N

\({\rm{\theta }} = {\tan ^{ - 1}}\frac{{Σ {\rm{X}}}}{{Σ {\rm{Y}}}} = {\tan ^{ - 1}}\frac{{400}}{{400}} = 45^\circ \), जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

\({\rm{R}} = \sqrt {{{\left( {Σ {\rm{X}}} \right)}^2} + {{\left( {Σ {\rm{Y}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{400}^2} + {{400}^2}} = 400\sqrt 2 {\rm{\;N}}\)

ΣMA = 400 × 1 + 600 × 1 = 1000 Nm

मान लीजिए x, A से x-अक्ष के अनुदिश दूरी है, जहाँ परिणामी AB को काटता है। तब,

\({\rm{x}} = \frac{{\Sigma {{\rm{M}}_{\rm{A}}}}}{{\Sigma {\rm{Y}}}} = \frac{{1000}}{{400}} = 2.5{\rm{\;m}}\)

स्पष्टीकरण:

साम्यावस्था के सिद्धांत

1. दो बल सिद्धांत: यदि केवल दो बल एक ऐसे निकाय पर कार्य करते हैं जो साम्यावस्था में है, तो वे परिमाण में समान, संरेख और अर्थ में विपरीत होने चाहिए।

2. तीन बल सिद्धांत: यदि साम्यावस्था में एक निकाय पर तीन बलों द्वारा कार्य किया जाता है, तो किसी भी दो बलों का परिणाम तीसरे बल के साथ बराबर, विपरीत और संरेख होना चाहिए। यदि तीन-बल सदस्य साम्यावस्था में है और बल समानांतर नहीं हैं, तो उन्हें समवर्ती होना चाहिए। इसलिए, ऐसे सदस्य पर क्रिया करने वाले तीनों बलों की क्रिया की रेखाओं को एक सामान्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए; इसलिए कोई एकल बल अन्य दो बलों का साम्यक होता है।

यदि यह एक सामान्य बिंदु से नहीं गुजरता है, तो यह एक युग्म उत्पन्न करेगा।

एक ठोस निकाय तीन बलों पर लागू होता है जिनकी कार्य की दिशा समानांतर नहीं होती हैं, साम्य में है यदि तीन निम्न स्थितियां संतुष्ट करती हैं:

1. क्रिया की रेखाएं समतलीय (एक समान समतल में) हैं।
2. क्रिया की रेखा एक बिंदु पर मिलती हैं।
3. इन बलों की सदिश राशि शून्य सदिश के बराबर होती है।

संप्रत्यय:

मुक्त पिंड आरेख से:

F - N = Ma … (i)

और N = ma … (ii)

इसलिए, \(a = \frac{{F}}{{\left( {m + M} \right)}}\)

समीकरण (ii) से, हमें प्राप्त होता है

\(N = \frac{{mF}}{{\left( {m + M} \right)}}\)

अवधारणा:

बलों का समांतर चतुर्भुज का नियम:

इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर काम करने वाले दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इसके अनुसार यदि दो बल, जो एक बिंदु पर कार्य करते हैं, समानांतर चतुर्भुज के दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा के रूप मे दर्शाये जाते हैं तो उनके परिणामी को दो आसन्न बलों के बीच में निहित समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा के रूप में दर्शाया जाएगा, जो कि एक उभयनिष्ठ बिंदु से होकर गुजरता है।"

मान लीजिए एक दूसरे के साथ कोण θ पर झुकी हुई निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा परिमाण और दिशा में निरूपित दो बल F1 और F2, बिंदु O पर कार्य कर रहे हैं।

तब यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है, परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

\(R = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}cos\theta }\)

गणना:

दिया गया है

यदि दो बलों (P + Q) और (P - Q) का परिणाम \(\sqrt {3{P^2} + {Q^2}}\) के बराबर है

माना (P + Q) = A और (P - Q) = B

∵ परिणाम R = \(\sqrt{A^2~+~B^2~+~2AB\cos θ}\)

और R = \(\sqrt {3{P^2} + {Q^2}}\)

⇒ R2 = 3P2 + Q2

⇒ 3P2 + Q2 = (P + Q)2 + (P - Q)2 + 2 × (P + Q) × (P - Q) × cosθ

⇒ 3P2 + Q2 = P2 + Q2 + 2PQ + P2 + Q2 - 2PQ + 2 × (P2 - Q2) × Cos θ

⇒ 3P2 + Q2 = 2P2 + 2Q2 + 2 × (P2 - Q2) × Cos θ

⇒ P2 - Q2 = 2 × (P2 - Q2) × Cosθ

⇒ 2 × Cosθ = 1

⇒ Cosθ = \(\frac{1}{2}\)

⇒ θ = 60°