Equation of a Tangent MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equation of a Tangent - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0

केंद्र (1, -2), r = 3

2x - 3y + 5 = 0 के सापेक्ष (1, -2) का प्रतिबिंब

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{-2(2+6+5)}{13}=-2\)

x = -3, y = 4

वृत्त 'C' का समीकरण

C : (x+3)² + (y- 4)² = 9

\(\ell(\operatorname{arcAB})=\frac{1}{6} \times 2 \pi \mathrm{r}\)

⇒ \(\mathrm{r} \theta=\frac{1}{6} \times 2 \pi \mathrm{r}\)

⇒ \(\theta=\frac{\pi}{3}\)

(α + 6)² + (β - 4)² = 27

⇒ \(\frac{(\alpha+3)^{2} \pm(\beta-4)^{2}=9}{(\alpha+6)^{2}-(\alpha+3)^{2}=18}\)

⇒ 6α = -9

⇒ \(\alpha=\frac{-3}{2}, \beta=\left(4-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)\)

∴ \(\beta-\sqrt{3} \alpha\)

\(\left(4-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)+\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)

= 4

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

संप्रत्यय:

अतिपरवलय और परवलय की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा:

• दिया गया प्रश्न अतिपरवलय और परवलय दोनों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के समीकरण के लिए पूछता है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम वक्रों के गुणों और स्पर्शता की स्थिति का उपयोग करते हैं।
• अतिपरवलय का सामान्य समीकरण x²/a² - y²/b² = 1 है, और परवलय के लिए, यह y² = 8x है। एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर दोनों वक्रों को स्पर्श करेगी।
• धनात्मक ढाल वाली दोनों वक्रों की स्पर्श रेखा को प्रत्येक वक्र की स्पर्श रेखाओं के ढालों पर विचार करके और यह सुनिश्चित करके प्राप्त किया जा सकता है कि वे स्पर्श बिंदु पर समान हैं।

गणना:

अतिपरवलय का समीकरण है:

x²/a² - y²/b² = 1

परवलय का समीकरण है:

y² = 8x

हमें दिया गया है कि स्पर्श रेखा का ढाल धनात्मक है।

मान लीजिए कि उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण y = mx + c के रूप में है, जहाँ m ढाल है और c, y-अंतःखंड है।

परवलय y² = 8x के लिए, ढाल m वाली स्पर्श रेखा का समीकरण है:

y = mx + c (परवलय की स्पर्श रेखा)

अतिपरवलय के लिए, हम इसी प्रकार स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि यह दोनों वक्रों के लिए स्पर्शिता की स्थिति को संतुष्ट करता है।

स्पर्शिता की स्थिति के लिए समीकरणों के निकाय को हल करने के बाद, हम पाते हैं कि धनात्मक ढाल वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है:

y - 2x - 1 = 0

इसलिए, सही उत्तर: (2) y - 2x - 1 = 0 है। 

संकल्पना:

यदि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है तो ढलान 0 है।

हल:

दिया गया है वृत्त x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 .....(1)

x के सापेक्ष उपरोक्त ​का अवकलन करने पर 

⇒ 2x + 2yy' - 2 - 4y' = 0

⇒ y'(y - 2) = 1 - x

⇒ \(y'=\frac{1-x}{y-2}\)

यदि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है तो ढलान 0 है।

⇒ \(y'=\frac{1-x}{y-2}=0\)

⇒ \(\frac{1-x}{y-2}=0\)

⇒ x = 1

y का मान प्राप्त करने के लिए x के उपरोक्त मान को समीकरण (1) में रखने पर 

इस प्रकार,

1² + y² - 2(1) - 4y + 1 = 0

⇒ 1 + y² - 2 - 4y + 1 = 0

⇒ y² - 4y = 0

⇒ y(y - 4 ) = 0

⇒ y = 0, 4

इस प्रकार दो बिंदु हैं,

(1, 0) और (1, 4)

∴ सही विकल्प (3) है

संकल्पना

बिंदु (h,k) की रेखा ax + by + c = 0 से दूरी \( {|ah+bk+c| \over \sqrt{a^2 +b^2}}\) है

केंद्र (h,k) और त्रिज्या R वाले वृत्त का समीकरण है,

 (x - h)2 + (y - k)2 = R2

गणना:

केंद्र (2, -1) की स्पर्शरेखा 3x + y = 0 से दूरी वृत्त की त्रिज्या है,

⇒ R = \( {|3(2) +1(-1)| \over \sqrt{3^2 +1^2}}\)= \(\sqrt{5 \over 2}\)

 अब केंद्र (2,-1) और त्रिज्या \(\sqrt{5 \over 2}\) वाले वृत्त का समीकरण है

(x - 2)2 + (y + 1)2 = \(5 \over 2\)  __(1)

अब मूल से होकर जाने वाली एक अन्य स्पर्श रेखा का समीकरण y = mx है 

(1) में रखने पर,

⇒ (x - 2)2 + (mx + 1)2 = \(5 \over 2\) 

⇒ (1 + m²)x2 + (2m - 4)x + 5 = \(5 \over 2\) 

⇒ (1 + m2)x2 + (2m - 4)x + \(5 \over 2\) = 0 जिसका केवल एक ही हल है।

⇒ विविक्तकर  = (2m - 4)² - 4(1 + m2)\(5 \over 2\) = 0

⇒ 4m² - 16m + 16 - 10 - 10m² = 0

⇒ 6m2 + 16m - 6 = 0

⇒ 2(3m - 1)(m + 3) = 0

⇒ m = -3, \(1 \over 3\)

⇒ 3x + y = 0 के अतिरिक्त अन्य स्पर्शरेखा का समीकरण x - 3y = 0 है 

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

संकल्पना:

यदि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है तो ढलान 0 है।

हल:

दिया गया है वृत्त x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 .....(1)

x के सापेक्ष उपरोक्त ​का अवकलन करने पर 

⇒ 2x + 2yy' - 2 - 4y' = 0

⇒ y'(y - 2) = 1 - x

⇒ \(y'=\frac{1-x}{y-2}\)

यदि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है तो ढलान 0 है।

⇒ \(y'=\frac{1-x}{y-2}=0\)

⇒ \(\frac{1-x}{y-2}=0\)

⇒ x = 1

y का मान प्राप्त करने के लिए x के उपरोक्त मान को समीकरण (1) में रखने पर 

इस प्रकार,

1² + y² - 2(1) - 4y + 1 = 0

⇒ 1 + y² - 2 - 4y + 1 = 0

⇒ y² - 4y = 0

⇒ y(y - 4 ) = 0

⇒ y = 0, 4

इस प्रकार दो बिंदु हैं,

(1, 0) और (1, 4)

∴ सही विकल्प (3) है

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के लिए स्पर्श रेखा का ढलान m = \(\rm dy\over dx\) है। 

लम्बवत का ढलान = \(\rm -{1\over m}\) = \(\rm -{1\over {dy\over dx}}\)

गणना:

दिया गया है वक्र y2 - 3x3 + 2 = 0

x के संबंध में समीकरण का अवकलन करने पर 

⇒ 2y\(\rm dy\over dx\) - 9x2 + 0 = 0

⇒ 2y   = 9x2

(1, -1) पर ढलान 

2(-1) \(\rm dy\over dx\) = 9 (1)

⇒ -2\(\rm dy\over dx\) = 9

⇒ \(\rm dy\over dx\) = -4.5

स्पर्श रेखा का ढलान (m) = \(\rm {dy\over dx}\)

∴ m = -4.5

अवधारणा:

वक्र के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के चरण:

f(x) का पहला अवकलज ज्ञात कीजिए। 

स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए बिंदु-ढलान सूत्र का प्रयोग कीजिए। 

बिंदु-ढलान सामान्य रूप है: y - y₁=m(x - x₁), जहाँ m = स्पर्श रेखा की ढलान = \(\rm \frac {dy}{dx}\) 

गणना:

दिया गया वक्र है: x3 + y2 + 3y + x = 0

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

3x² + 2y\(\rm dy\over dx\) + 3\(\rm dy\over dx\) + 1 = 0

(2y + 3)\(\rm dy\over dx\) = -3x² - 1

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -{3x^2+1\over2y+3}\)

(2, -1) पर 

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -{3(2)^2+1\over2(-1)+3}\)

\(\rm dy\over dx\) = \(-{12+1\over 1}\) = -13

स्पर्श रेखा का समीकरण निम्नलिखित है:

(y - (-1)) = -13(x - 2)

y + 1 = -13x + 26

y + 13x - 25 = 0

संकल्पना:

गणना:

वृत्त के सामान्य समीकरण अर्थात् x2 + y2 = r2  के साथ समीकरण x2 + y2 = 16 की तुलना करने पर, हमारे पास r² = 16 है। 

साथ ही, चूँकि रेखा ax + by = r2 वृत्त पर बिंदु (a, b) पर x2 + y2 = r2 की स्पर्श रेखा है, हम कह सकते हैं कि रेखा ax + by = c का x2 + y2 = 16 की स्पर्श रेखा होने के लिए (a, b) को वृत्त और c = r2 = 16 पर होना चाहिए। 

∴ a² + b² = c

⇒ c(a2 + b2) = c²

⇒ 16(a2 + b2) = c².

अवधारणा:

किसी भी सीधी रेखा y = mx + c के लिए, m = ढलान या प्रवणता और c = अवरोधन

बिंदु (x1,y1) पर स्पर्शरेखा का समीकरण वृत्त x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है:

xx1 + yy1 = a2

गणना:

दिया गया समीकरण निम्न है,

x2 + y2 = a2

हम जानते हैं कि किसी भी वृत्त के लिए, वृत्त के बिंदु (x1,y1) पर स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न है

xx1 + yy1 = a2

तो, दिया गया बिंदु (h, h) है 

इसलिए, स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न है,

hx + hy =a2

⇒y = -x + \(\rm a^2 \over h\)

y = mx + c के साथ समीकरण की तुलना ढलान -1 होगी।

अवधारणा:

बिंदु (x1, y1) से वक्र x2 + y2 = a2 पर स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

xx1 + yy1 = a2

गणना:

दिया गया समीकरण निम्न है,

x2 + y2 = a2

हम जानते हैं कि किसी भी वृत्त के लिए, बिंदु (x1, y1) से गुजरने वाले स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न है

xx1 + yy1 = a2

तो, दिया गया बिंदु (h,h) है 

इसलिए, स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न है,

hx + hy =a2

संकल्पना:

1. संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा त्रिज्या के लंबवत होती है।

2. दो रेखाओं के बीच का कोण: प्रवणता m1 और m2 वाली रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है

\(\tan \theta = \;\left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + \;{m_1}\;{m_2}}}} \right|\)

3. चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग = 360° 

गणना:

दिया गया है, बिंदु A और B पर वृत्त की स्पर्श रेखा को सीधी रेखाओं PA और PB के युग्म द्वारा दर्शाया जाता है

x2 - 3y2 - 2x + 1 = 0 -----(1)

समीकरण (1) से

x2 - 3y2 - 2x + 1 = 0

⇒ (x - 1)2 = 3y2

⇒ x - 1 = ± √3y

इसलिए, स्पर्शरेखा PA और PB के समीकरण हैं

x + √3y - 1 = 0    ----(2)

x - √3y - 1 = 0    ----(3)

हम जानते हैं कि रेखा ax + by + c = 0 की प्रवणता -a/b है। इसलिए,

रेखा (2) और (3) की प्रवणता -1/√3 और 1/√3 है

इसलिए, स्पर्शरेखा PA और PB के बीच कोण

\(\theta \ =\ tan^{-1}[\frac{\frac{1}{\sqrt 3}\ -\ (\frac{-1}{\sqrt 3})}{1\ +\ (\frac{1}{\sqrt 3})(\frac{-1}{\sqrt 3})}]\)

\(⇒ \theta \ =\ tan^{-1}(\sqrt 3)\ =\ 60^∘\)

हम जानते हैं कि,

∠ O + ∠ A + ∠ P + ∠ B = 360∘ 

⇒ ∠ O = 360∘ - 180∘ - 60∘ 

⇒ ∠ O = 120∘

अत: विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

• ढलान m वाले एक रेखा का समीकरण निम्न है: y = mx + c

• बिंदु P(x₁, y₁) और रेखा ax + by + c = 0 के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: दूरी = \(\rm \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

• O(a, b) पर केंद्र और त्रिज्या r वाले वृत्त के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (x - a)² + (y - b)² = r².
• अतिपरवलय की स्पर्श रेखा: यदि रेखा y = mx + c अतिपरवलय \(\rm \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) को स्पर्श करती है, तो c² = a²m² - b² है। स्पर्श रेखा का समीकरण: \(\rm y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}\)  है। कोई भी रेखाएं स्पर्श रेखा की समीकरण है लेकिन दोनों की नहीं। 

गणना:

वृत्त के समीकरण को (x - 4)2 + y2 = 42 के रूप में लिखा जा सकता है। 

वृत्त के सामान्य रूप के साथ तुलना करने पर, हमारे पास केंद्र O(4, 0) और त्रिज्या r = 4 है।

दिए गए अतिपरवलय के समीकरण को \(\rm \frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{2^2}=1\) के रूप में लिखा जा सकता है। 

अतिपरवलय के सामान्य रूप के साथ तुलना करने पर, हमारे पास a = 3 और b = 2 है। 

इस अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण निम्न रूप में होगा:

\(\rm y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}\)

⇒ \(\rm y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 4}\)

चूँकि यह रेखा वृत्त की भी स्पर्श रेखा है, इसलिए हमारे पास निम्न होना चाहिए:

वृत्त के केंद्र O(4, 0) से स्पर्श रेखा की दूरी \(\rm y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 4}\) = और वृत्त की त्रिज्या (r = 4) है। 

एक रेखा से बिंदु की दूरी के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \frac{\left|m(4)+(-1)(0)\pm\sqrt{9m^2-4}\right|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=4\)

⇒ \(\rm \left|4m\pm\sqrt{9m^2-4}\right|=4\sqrt{m^2+1}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ \(\rm 16m^2 \pm 8m\sqrt{9m^2-4}+9m^2-4=16m^2+16\)

⇒ \(\rm \pm 8m\sqrt{9m^2-4}=20-9m^2\)

फिर से वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ \(\rm 64m^2(9m^2-4)=400+81m^4-360m^2\)

⇒ \(\rm 576m^4-256m^2=400+81m^4-360m^2\)

⇒ \(\rm 495 m^4 + 104 m^2 - 400=0\)

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 \pm \sqrt{104^2-4(495)(-400)}}{2\times495}\)

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 \pm \sqrt{802816}}{990}\)

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 \pm896}{990}\)

m² के ऋणात्मक मान को रद्द करने पर:

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 +896}{990}=\frac45\)

चूँकि ढलान धनात्मक दिया गया है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ \(\rm m=\frac{2}{\sqrt5}\)

∴ स्पर्श रेखा का समीकरण निम्न होगा:

\(\rm y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 4}\)

⇒ \(\rm y = \frac{2}{\sqrt5}x \pm \sqrt{9\left(\frac45\right) - 4}\)

⇒ \(\rm y = \frac{2}{\sqrt5}x \pm\frac{4}{\sqrt5}\)

⇒ \(\rm 2x-\sqrt5y\pm4=0\).

Additional Information

• वक्र y = f(x) के लिए बिंदु P(a, b) पर स्पर्श रेखा के ढलान (m) को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=a,y=b}\)
• परवलय की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर परवलय y2 = 4ax की स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: yy1 = 2a(x + x1)

  परवलय का लंब: बिंदु (x1, y1) पर परवलय y2 = 4ax के लिए लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 2a(y - y1) = (-y1)(x - x1).

• वृत्त की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर वृत्त x2 + y2 = r2 के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:xx₁ + yy₁ = r².

  वृत्त का लंब: बिंदु (x1, y1) पर वृत्त x2 + y2 = r2 के लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: yx₁ - xy₁ = 0.

• दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर दीर्घवृत्त के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\)

  दीर्घवृत्त का लंब: बिंदु (x1, y1) पर दीर्घवृत्त के लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\)

• अतिपरवलय की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\)

  अतिपरवलय का लंब: बिंदु (x1, y1) पर अतिपरवलय के लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:  \(\rm \frac{a^2x}{x_1}+\frac{b^2y}{y_1}= a^2+b^2\)

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के लिए स्पर्श रेखा का ढलान m = \(\rm dy\over dx\) है। 

लम्बवत का ढलान = \(\rm -{1\over m}\) = \(\rm -{1\over {dy\over dx}}\)

गणना:

दिया गया है वक्र y2 - 3x3 + 2 = 0

x के संबंध में समीकरण का अवकलन करने पर 

⇒ 2y\(\rm dy\over dx\) - 9x2 + 0 = 0

⇒ 2y   = 9x2

(1, -1) पर ढलान 

2(-1) \(\rm dy\over dx\) = 9 (1)

⇒ -2\(\rm dy\over dx\) = 9

⇒ \(\rm dy\over dx\) = -4.5

स्पर्श रेखा का ढलान (m) = \(\rm {dy\over dx}\)

∴ m = -4.5

अवधारणा:

वक्र के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के चरण:

f(x) का पहला अवकलज ज्ञात कीजिए। 

स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए बिंदु-ढलान सूत्र का प्रयोग कीजिए। 

बिंदु-ढलान सामान्य रूप है: y - y₁=m(x - x₁), जहाँ m = स्पर्श रेखा की ढलान = \(\rm \frac {dy}{dx}\) 

गणना:

दिया गया वक्र है: x3 + y2 + 3y + x = 0

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

3x² + 2y\(\rm dy\over dx\) + 3\(\rm dy\over dx\) + 1 = 0

(2y + 3)\(\rm dy\over dx\) = -3x² - 1

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -{3x^2+1\over2y+3}\)

(2, -1) पर 

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -{3(2)^2+1\over2(-1)+3}\)

\(\rm dy\over dx\) = \(-{12+1\over 1}\) = -13

स्पर्श रेखा का समीकरण निम्नलिखित है:

(y - (-1)) = -13(x - 2)

y + 1 = -13x + 26

y + 13x - 25 = 0

संकल्पना:

गणना:

वृत्त के सामान्य समीकरण अर्थात् x2 + y2 = r2  के साथ समीकरण x2 + y2 = 16 की तुलना करने पर, हमारे पास r² = 16 है। 

साथ ही, चूँकि रेखा ax + by = r2 वृत्त पर बिंदु (a, b) पर x2 + y2 = r2 की स्पर्श रेखा है, हम कह सकते हैं कि रेखा ax + by = c का x2 + y2 = 16 की स्पर्श रेखा होने के लिए (a, b) को वृत्त और c = r2 = 16 पर होना चाहिए। 

∴ a² + b² = c

⇒ c(a2 + b2) = c²

⇒ 16(a2 + b2) = c².