वृत्त x2 + y2 - 8x = 0 व अतिपरवलय \(\rm \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) के लिए धनात्मक ढलान के साथ सामान्य स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

संकल्पना:

• ढलान m वाले एक रेखा का समीकरण निम्न है: y = mx + c

• बिंदु P(x₁, y₁) और रेखा ax + by + c = 0 के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: दूरी = \(\rm \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

• O(a, b) पर केंद्र और त्रिज्या r वाले वृत्त के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (x - a)² + (y - b)² = r².
• अतिपरवलय की स्पर्श रेखा: यदि रेखा y = mx + c अतिपरवलय \(\rm \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) को स्पर्श करती है, तो c² = a²m² - b² है। स्पर्श रेखा का समीकरण: \(\rm y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}\)  है। कोई भी रेखाएं स्पर्श रेखा की समीकरण है लेकिन दोनों की नहीं। 

गणना:

वृत्त के समीकरण को (x - 4)2 + y2 = 42 के रूप में लिखा जा सकता है। 

वृत्त के सामान्य रूप के साथ तुलना करने पर, हमारे पास केंद्र O(4, 0) और त्रिज्या r = 4 है।

दिए गए अतिपरवलय के समीकरण को \(\rm \frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{2^2}=1\) के रूप में लिखा जा सकता है। 

अतिपरवलय के सामान्य रूप के साथ तुलना करने पर, हमारे पास a = 3 और b = 2 है। 

इस अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण निम्न रूप में होगा:

\(\rm y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}\)

⇒ \(\rm y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 4}\)

चूँकि यह रेखा वृत्त की भी स्पर्श रेखा है, इसलिए हमारे पास निम्न होना चाहिए:

वृत्त के केंद्र O(4, 0) से स्पर्श रेखा की दूरी \(\rm y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 4}\) = और वृत्त की त्रिज्या (r = 4) है। 

एक रेखा से बिंदु की दूरी के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \frac{\left|m(4)+(-1)(0)\pm\sqrt{9m^2-4}\right|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=4\)

⇒ \(\rm \left|4m\pm\sqrt{9m^2-4}\right|=4\sqrt{m^2+1}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ \(\rm 16m^2 \pm 8m\sqrt{9m^2-4}+9m^2-4=16m^2+16\)

⇒ \(\rm \pm 8m\sqrt{9m^2-4}=20-9m^2\)

फिर से वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ \(\rm 64m^2(9m^2-4)=400+81m^4-360m^2\)

⇒ \(\rm 576m^4-256m^2=400+81m^4-360m^2\)

⇒ \(\rm 495 m^4 + 104 m^2 - 400=0\)

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 \pm \sqrt{104^2-4(495)(-400)}}{2\times495}\)

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 \pm \sqrt{802816}}{990}\)

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 \pm896}{990}\)

m² के ऋणात्मक मान को रद्द करने पर:

⇒ \(\rm m^2 = \frac{-104 +896}{990}=\frac45\)

चूँकि ढलान धनात्मक दिया गया है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ \(\rm m=\frac{2}{\sqrt5}\)

∴ स्पर्श रेखा का समीकरण निम्न होगा:

\(\rm y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 4}\)

⇒ \(\rm y = \frac{2}{\sqrt5}x \pm \sqrt{9\left(\frac45\right) - 4}\)

⇒ \(\rm y = \frac{2}{\sqrt5}x \pm\frac{4}{\sqrt5}\)

⇒ \(\rm 2x-\sqrt5y\pm4=0\).

Additional Information

• वक्र y = f(x) के लिए बिंदु P(a, b) पर स्पर्श रेखा के ढलान (m) को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=a,y=b}\)
• परवलय की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर परवलय y2 = 4ax की स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: yy1 = 2a(x + x1)

  परवलय का लंब: बिंदु (x1, y1) पर परवलय y2 = 4ax के लिए लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 2a(y - y1) = (-y1)(x - x1).

• वृत्त की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर वृत्त x2 + y2 = r2 के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:xx₁ + yy₁ = r².

  वृत्त का लंब: बिंदु (x1, y1) पर वृत्त x2 + y2 = r2 के लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: yx₁ - xy₁ = 0.

• दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर दीर्घवृत्त के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\)

  दीर्घवृत्त का लंब: बिंदु (x1, y1) पर दीर्घवृत्त के लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\)

• अतिपरवलय की स्पर्श रेखा: बिंदु (x1, y1) पर अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm \frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\)

  अतिपरवलय का लंब: बिंदु (x1, y1) पर अतिपरवलय के लंब के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:  \(\rm \frac{a^2x}{x_1}+\frac{b^2y}{y_1}= a^2+b^2\)