Combination Function and its properties MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Combination Function and its properties - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है:

कुल वस्तुओं की संख्या, n = 6

हमें r = 0, 1, 2, और 3 के लिए चयन की कुल संख्या की गणना करने की आवश्यकता है:

r = 0 के लिए

\( ^6C_0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = \frac{1}{1} = 1 \)

⇒ 0 वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = 1

r = 1 के लिए

\( ^6C_1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6}{1} = 6 \)

⇒ 1 वस्तु का चयन करने के तरीकों की संख्या = 6

r = 2 के लिए

\( ^6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)

⇒ 2 वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = 15

r = 3 के लिए

\( ^6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)

⇒ 3 वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = 20

चयनों की कुल संख्या:

\( ^6C_0 + ^6C_1 + ^6C_2 + ^6C_3 = 1 + 6 + 15 + 20 = 42 \)

∴ 6 भिन्न चीजों में से अधिकतम 3 चीजों के चयन की कुल संख्या 42 है।

गणना:

दिया गया है,

हमें अंकों 1, 3, 5, 7 और 9 का उपयोग करके, बिना पुनरावृत्ति के, 5000 और 10000 के बीच (5000 और 10000 को शामिल नहीं करते हुए) सभी 4-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं।

हमें ऐसी संख्याओं की कुल संख्या ज्ञात करनी है।

चरण 1: हजारवें स्थान का अंक चुनें।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि संख्या ≥ 5000 है, अग्रणी अंक 5, 7 या 9 में से एक होना चाहिए।

हजारवें स्थान के लिए विकल्पों की संख्या: \(3\) (अर्थात् 5, 7, 9).

चरण 2: शेष तीन अंकों को व्यवस्थित करें।

हजारवें स्थान का अंक निर्धारित करने के बाद, 4 अंक शेष रहते हैं। हमें इनमें से किन्हीं 3 को सैकड़ों, दहाई और इकाई के स्थानों पर चुनना और व्यवस्थित करना होगा।

तरीकों की संख्या: \(P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24 \).

चरण 3: कुल की गणना करें।

कुल मान्य संख्याएँ = (हजारवें स्थान के लिए विकल्प) x (अन्य तीन स्थानों की व्यवस्थाएँ):

\(3 \times 24 = 72 \).

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

व्याख्या:

चूँकि 4 रेखाएँ हैं, इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या ⁴C₂ = 6 है।

4 रेखाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन की अधिकतम संख्या 4 x 2 = 8 है।

आवश्यक प्रतिच्छेदन बिंदु = 6 + 8 = 14

∴ सही उत्तर विकल्प 3 अर्थात् 14 है

गणना

दिया गया है:

⁶C_m + 2(6Cm+1) + 6Cm+2 > 8C3

⇒ 7Cm+1 + 7Cm+2 > 8C3

⇒ 8Cm+2 > 8C3

⇒ m = 2

और ^n-1P₃ : ⁿP₄ = 1 : 8

⇒ \( \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}=\frac{1}{8}\)

⇒ n = 8
∴ⁿP_m+1 + ⁿ⁺¹C_m = ⁸P₃ + ⁹C₂

⇒ _{\( 8 \times 7 \times 6+\frac{9 \times 8}{2} \)}

⇒ 372

इसलिए, विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

n क्रमगुणित के लिए सूत्र है:

n! = n × (n−1)!

इसका मतलब है कि किसी भी संख्या का क्रमगुणित, दी गई संख्या, पिछली संख्या के भाज्य से गुणा किया जाता है।

गणना​:

प्रश्न के अनुसार

व्यवस्था BGBGBGB जैसी हो

अब, हम यहाँ देख सकते हैं

4 लड़कों को 4! तरीकों में बैठाया जा सकता है

और 3 लड़कियों को 3! तरीकों में बैठाया जा सकता है

तो, तरीकों की अभीष्ट संख्या = 4! × 3!

⇒ 144

∴ तरीकों की आवश्यक संख्या 144 है।

अवधारणा:

• ⁿC_r = ⁿC_n-r
• यदि nCx = nCy तो x = y या x + y = n।
• nCr + nCr-1 = n+1Cr।

गणना:

\(\rm \begin{pmatrix} 15\\ 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 15\\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \rm n\\ \rm r\end{pmatrix}\)

⇒ 15C8 + 15C7 = nCr

nCr + nCr-1 = n+1Cr का उपयोग करके:

⇒ ​15C8 + 15C8-1 = ¹⁵⁺¹C₈ = nCr

⇒ ​16C8 = nCr

⇒ n = 16 और r = 8

धारणा:

संकेतन C (n, r) एक बार में r चीजें लेने वाली n विभिन्न चीजों के संयोजन/समूहों की संख्या है और इसे निम्न द्वारा दिया गया है:\(C\;\left( {n,\;r} \right) = \frac{{{\rm{n}}!}}{{{\rm{r}}!\left( {{\rm{n\;}} - {\rm{\;r}}} \right)!}}\)

यदि C(n, x) = C(n, y), तो x + y = n।

गणना:

दिया हुआ C(20, n + 2) = C(20, n – 2)

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि C(n, x) = C(n, y), तो x + y = n।

⇒ (n + 2) + (n – 2) = 20

⇒ 2n = 20

अवधारणा:

यदि \(\rm ^nC_x={^nC_y}\) तो x + y = n

\(\rm ^nC_r=\frac{n\times(n-1)\times....(n-r+1)}{r!}\)

गणना:

दिया गया है कि: nC5 = nC7

यह केवल तभी संभव है जब n = 5 + 7 = 12 हो

∴ \(\rm ^nC_4=^{12}C_4=\frac{12\times11\times10\times9}{4!}\)

\(=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2}\)

= 495

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

दिए गए n चीजों में से r चीजों का चयन करने के तरीकों की संख्या को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है जहाँ r ≤ n है: \({\;^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\; \times \left( {n - r} \right)!}}\)

गणना:

दिया गया है: 5 विषय हैं और परीक्षा में एक छात्र को उत्तीर्ण होने के लिए 5 विषयों में से प्रत्येक विषय में उत्तीर्ण होना है। 

यहाँ, हमें यह ज्ञात करना है कि कितने तरीकों में एक छात्र परीक्षा में अनुत्तीर्ण हो सकता है। 

परीक्षा में अनुत्तीर्ण होने के लिए छात्र  प्रत्येक स्थिति में 5 विषयों में से 1 या 2 या 3 या 4 या 5 विषयों में अनुत्तीर्ण हो सकता है।

स्थिति 1: छात्र 5 विषयों में से किसी 1 विषय में अनुत्तीर्ण होता है। 

उन तरीकों की संख्या जिसमें छात्र 5 विषयों में से किसी 1 विषय में अनुत्तीर्ण हो सकता है = \({\;^5}{C_1}\)

स्थिति 2: छात्र 5 विषयों में से किसी 2 विषय में अनुत्तीर्ण होता है। 

उन तरीकों की संख्या जिसमें छात्र 5 विषयों में से किसी 2 विषय में अनुत्तीर्ण हो सकता है = \({\;^5}{C_2}\)

स्थिति 3: छात्र 5 विषयों में से किसी 3 विषय में अनुत्तीर्ण होता है। 

उन तरीकों की संख्या जिसमें छात्र 5 विषयों में से किसी 3 विषय में अनुत्तीर्ण हो सकता है = \({\;^5}{C_3}\)

स्थिति 4: छात्र 5 विषयों में से किसी 4 विषय में अनुत्तीर्ण होता है। 

उन तरीकों की संख्या जिसमें छात्र 5 विषयों में से किसी 4 विषय में अनुत्तीर्ण हो सकता है = \({\;^5}{C_4}\)

स्थिति 5: छात्र सभी 5 विषयों में अनुत्तीर्ण होता है। 

उन तरीकों की संख्या जिसमें छात्र सभी 5 विषयों में अनुत्तीर्ण हो सकता है = \({\;^5}{C_5}\)

∴ उन तरीकों की कुल संख्या जिसमें एक छात्र परीक्षा में अनुत्तीर्ण हो सकता है = \({\;^5}{C_1}\) + \({\;^5}{C_2}\) + \({\;^5}{C_3}\) + \({\;^5}{C_4}\) + \({\;^5}{C_5}\) = 31

संकल्पना:

एक समय (r ≤ n) में r लिए गए n विशिष्ट वस्तुओं के सभी संयोजनों की संख्या निम्न है:

\(^{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)

गणना:

चूँकि 2nC3 : nC2 = 12 : 1

\(⇒ \frac{2n!}{(2n-3)!\space 3!}:\frac{n!}{(n-2)!\space 2!}=12:1\)

\(⇒ \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3\times 2\times 1}:\frac{n(n-1)}{2\times 1}=12:1\)

⇒ 2n - 1 = 9

⇒ n = 5

अवधारणा:

• nCr = nCn - r.
• यदि nCx = nCy तो x + y = n
• nCr + nCr - 1 = n + 1Cr

गणना:

दिया हुआ: nC15 = nC8

जैसा कि हम जानते हैं, nCx = nCy, तो x + y = n

इसलिए n = 15 + 8 = 23

संकल्पना:

दिए गए n चीजों में से r चीजों का चयन करने के तरीकों की संख्या को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है जहाँ r ≤ n है: \({^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\; × \left( {n - r} \right)!}}\)

गणना:

दिया गया है: 7 व्यंजक और 4 स्वर हैं। 

यहाँ, हमें यह ज्ञात करना है कि ऐसे कितने शब्दों का निर्माण किया जा सकता है जिससे इसमें 3 व्यंजक और 2 स्वर हैं। 

4 स्वरों में से 2 स्वरों का चयन करने के तरीकों की संख्या = \({^4}{C_2} \)

7 व्यंजकों में से 3 व्यंजकों का चयन करने के तरीकों की संख्या = \({^7}{C_3} \)

∴ उन शब्दों की संख्या जिसे बनाया जा सकता है जिसमें 3 व्यंजक और 2 स्वर शामिल हैं = \({^4}{C_2} \) × \({^7}{C_3} \)

चूँकि हम जानते हैं कि, \({^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\; × \left( {n - r} \right)!}}\)

⇒ \({^4}{C_2}\) × \({\;^7}{C_3} \) = 6 × 35 = 210

3 व्यंजक और 2 स्वरों वाले शब्दों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 210 × 5! = 25200

इसलिए, विकल्प 3 सही उत्तर है।

संकल्पना:

दिए गए n चीजों में से r चीजों के चयन के तरीकों की संख्या जिसमें r ≤ n है निम्न रूप में दिया गया है: \({\;^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\; \times \left( {n - r} \right)!}}\)

गणना:

दिया गया है: समूह में 10 पुरुष और 8 महिला है। 

यहाँ, हमें 3 पुरुष या 2 महिलाओं की एक टीम बनाने की आवश्यकता है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, दिए गए n चीजों में से r चीजों के चयन के तरीकों की संख्या जिसमें r ≤ n निम्न रूप में दिया गया है: \({\;^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\; \times \left( {n - r} \right)!}}\)

∴ 3 पुरुषों की एक टीम बनाने के तरीकों की संख्या  \(= {\;^{10}}{C_3} = \frac{{10!}}{{3!\; \times \left( {10 - 3} \right)!}}\)

∴ 2 महिलाओं की एक टीम बनाने के तरीकों की संख्या \(= {\;^8}{C_2} = \frac{{8!}}{{2!\; \times \left( {8 - 2} \right)!}}\)

∴3 पुरुष या 2 महिलाओं की एक टीम बनाने के तरीकों की संख्या \(= {\;^{10}}{C_3} + {\;^{8}}{C_2} = 148\)

संकल्पना:

दिए गए n चीजों में से r चीजों का चयन करने के तरीकों की संख्या को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है जहाँ r ≤ n है: \({\;^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\; × \left( {n - r} \right)!}}\)

गणना:

दिया गया है: 6 शिक्षक और 8 छात्र हैं जिसमें से हमें 11 सदस्यों वाली एक समिति का गठन करने की आवश्यकता है जिससे समिति में ठीक 4 शिक्षक हो। 

यदि समिति के 11 सदस्यों में से 4 शिक्षक है, तो 7 सदस्य छात्र हैं। 

इसलिए, समिति में 4 शिक्षक और 7 छात्र शामिल हैं। 

उन तरीकों की संख्या जिसमें 4 शिक्षकों का चयन 6 शिक्षकों से किया जा सकता है = \({\;^{6}}{C_4}\)

उन तरीकों की संख्या जिसमें 7 छात्रों में से 8 छात्रों का चयन किया जा सकता है = \({\;^{8}}{C_7}\)

इसलिए, उन तरीकों की संख्या जिसमें समिति का गठन किया जा सकता है = \({\;^{6}}{C_4} \times {\;^{8}}{C_7}\)

चूँकि हम जानते हैं कि, \({\;^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\; × \left( {n - r} \right)!}}\)

\({\;^{6}}{C_4} \times {\;^{8}}{C_7} = 120\)

अतः समिति का गठन 120 तरीकों में किया जा सकता है। 

अवधारणा:

कॉम्बिनेटरिक्स:

• ⁿC_r = \(\rm \frac {n!}{r!(n\ -\ r)!}\)
• n! = 1 × 2 × 3 × ... × n
• 0! = 1

गणना:

दिया गया समीकरण है: 3(6C3) = 10(xC2)

⇒ \(\rm 3×\left[\frac {6!}{3!(6\ -\ 3)!}\right]=10×\left[\frac {x!}{2!(x\ -\ 2)!}\right]\)

⇒ \(\rm 3×\left(\frac {6\ ×\ 5\ ×\ 4}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\right)=10×\left[\frac {x(x\ -\ 1)}{2\ ×\ 1}\right]\)

⇒ x(x - 1) = 12 = 4 × 3

⇒ x = 4