Branches of Root Locus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Branches of Root Locus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 10, 2025
Latest Branches of Root Locus MCQ Objective Questions
Branches of Root Locus Question 1:
एक पुनर्निवेश नियन्त्रण निकाय का अभिलाक्षणिक समीकरण s3 + 5s2 + ( K + 6)s + K = 0 द्वारा दिया गया है,
जहाँ K > 0 एक अदिश चर प्राचल है। निकाय के मूल बिन्दु पथ आरेख में K के बृहदमानों के लिए मूल बिन्दु पथ की अनन्तस्पर्शियाँ s-तल के एक बिन्दु पर मिलती हैं, जिसके निर्देशांक है -
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 1 Detailed Solution
Branches of Root Locus Question 2:
विवृत पाश अंतरण फलन G(s) = \(\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\), के साथ एकल पुनर्भरण तंत्र के लिए, मूल बिंदुपथ की मान्य शाखाओं की संख्या किसके बराबर होती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
मूल बिन्दुपथ की मान्य शाखाओं की संख्या निम्न द्वारा दी जाती है:
B = P - Z
जहाँ, B = शाखाओं की संख्या
P = विवृत पाश ध्रुवों की संख्या
Z = विवृत पाश शून्यकों की संख्या
गणना :
दिया गया है, \(\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)
P = 3
Z =0
B = 3 - 0
B = 3
Additional Information
तीन शाखाओं के लिए अनंतस्पर्शी कोण निम्न द्वारा दिए गए हैं:
\(ϕ_p = {(2q+1) \over P-Z}\times 180\)
जहाँ, q = 0,1,2
ϕp = 60°, 180° और 300°
Branches of Root Locus Question 3:
मान लीजिए एक नियंत्रण प्रणाली है जिसमें मूल बिन्दुपथ आलेख दिया गया है। तो खुला लूप स्थानांतरण फलन क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
मूलबिन्दुपथ में वास्तविक ध्रुव सदैव ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर होते हैं।
सम्मिश्र ध्रुव सदैव संयुग्म युग्मों में होते हैं और jω अक्ष के बाएँ पक्ष पर कहीं भी हो सकते हैं।
वर्णन:
दिए गए मूल बिन्दुपथ आरेख में हम देखते हैं कि ध्रुव x = 0 पर है।
साथ ही, ध्रुवों का सम्मिश्र संयुग्म युग्म मूल बिन्दुपथ में है।
दिए गए विकल्पों में से केवल विकल्प 1 दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है।
सम्मिश्र ध्रुवों के स्थान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
s2 + 2s + 2 = 0
\(s= {{-2±\sqrt{4-4(1)(2)} \over 2}}\)
s = -1 ± j
Branches of Root Locus Question 4:
नियंत्रण प्रणाली के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 4 Detailed Solution
आइए हम प्रत्येक विकल्प को एक-एक करके देखें,
1) दो ध्रुवों के विराम बिंदु पर, मूल बिन्दुपथ की शाखाएं वास्तविक अक्ष के साथ 180° का कोण बनाती हैं। इसलिए यहाँ वास्तविक अक्ष के साथ 180°/2 = 90° बनाएगी।
2) जब हम अलग प्रणाली पैरामीटर 0 से ∞ द्वारा एक नियंत्रण प्रणाली के लिए मूल बिन्दुपथ खीचतें है, तो ऐसा हो सकता है कि K के किसी भी मान के लिए, बिन्दुपथ jω अक्ष या K के उच्च मानों के लिए प्रवेश करता है, बिन्दुपथ RHP में प्रवेश करता है। और अस्थिर हो जाता है या यदि मूल बिन्दुपथ पहले से ही RHP से शुरू हो रहा है, तो यह संभव हो सकता है कि K के बड़े मानों के लिए, मूल बिन्दुपथ LHP में प्रवेश करता है और प्रणाली अस्थिर हो जाती है।
3) यदि प्रतिक्रिया धनात्मक है, तो मूल बिन्दुपथ के प्रारंभ और अंतिम बिंदु में कोई परिवर्तन नहीं है। धनात्मक प्रतिक्रिया प्रणाली के लिए मूल बिन्दुपथ G(s) H(s) के परिमित और अनंत ध्रुवों पर शुरू होता है और G (s) H (s) के परिमित और अनंत शून्य पर समाप्त होता है।
4) केंद्र पर खुले लूप ध्रुव को रखकर स्थिर-अवस्था त्रुटि को सुधारा जा सकता है क्योंकि तब प्रणाली प्रकार 1 से बढ़ जाता है। अब, उदाहरण के लिए, एक प्रकार 0 प्रणाली इकाई चरण इनपुट के लिए स्थिर-अवस्था त्रुटि होने पर शून्य देता है। यदि एक प्रकार से वृद्धि हुई है तो त्रुटि।
Branches of Root Locus Question 5:
एक मूलपथ आलेख में अलग-अलग बिंदु पथों की संख्या किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 5 Detailed Solution
मूलपथ आलेख के शाखाओं/बिंदुपथों की संख्या निम्न है:
यदि P ≥ Z है, तो N = P है।
यदि P ≤ Z है, तो = Z है।
1. मूलपथ आलेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममितीय है।
2. मूलपथ आलेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
3. केन्द्रक:
यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया गया है।
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण:
5. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों के कुल संख्या का योग विषम है, तो मूलपथ आलेख उस अनुभाग में मौजूद होता है।
6. भंजन/दूरस्थ बिंदु:
ये तब मौजूद होते हैं जब मूलपथ आलेख पर कई मूल होते हैं।
भंजन बिंदुओं पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
अतः मूल भंजन बिंदु हैं।
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एकल पुनर्निवेश प्रणाली का मूल बिन्दुपथ चित्र में दिखाया गया है।
प्रणाली का बंद लूप अंतरण फलन _____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
\(\frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{K}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right) - K}}\)
Branches of Root Locus Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
मूल-बिन्दुपथ शाखा मौजूद होती है, जहां दाईं ओर (ध्रुव + शून्यक) की संख्या सम होती है।
यदि ध्रुव + शून्यक की संख्या दाईं ओर विषम है तो यह व्युत्क्रम मूल बिन्दुपथ है।
गणना:
दिया गया मूल बिन्दुपथ आरेख:
यहाँ s तल के दायीं ओर एक शून्यक है अर्थात हमारे पास विषम संख्या में ध्रुव + शून्यक है
इसका मतलब है कि मूल-बिन्दुपथ प्लॉट उलटा मूल-बिन्दुपथ है
उलटा मूल-बिन्दुपथ धनात्मक पुनर्निवेश वाली प्रणाली के समान है
धनात्मक पुनर्निवेश और लाभ के लिए 0 से ∞ तक भिन्न के लिए
अंतरण फलन निम्न द्वारा दिया जाता है
\(\frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{G(s)}{{( 1 - G(s)H(s))}}\) ......(1)
\(G\left( s \right) = \frac{K}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}\)
\(\frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{K}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right) - K}}\) दिए गए आरेख का मूल-बिन्दुपथ देगा।
Additional Information
व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ के निर्माण नियम:
1. व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा खुले-लूप शून्य (K = -∞) से शुरू होती है और खुले-लूप स्थानांतरण फलन के ध्रुव (K = 0) पर समाप्त होती है।
2. व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संदर्भ सममित होता है। यदि वास्तविक अक्ष पर किसी बिंदु के संबंध में ध्रुव-शून्य आलेख सममित है, तो IRLD भी उस बिंदु के संबंध में सममित है, बशर्ते कि उस बिंदु पर कोई ध्रुव या शून्य न हो।
3. व्युत्क्रम मूल बिन्दुपथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:
यदि P ≥ Z है, तो N = P है।
यदि P ≤ Z है, तो = Z है।
⇒ मूल पथ आरेख की शाखाओं की संख्या प्रणाली के क्रम के बराबर है।
जहाँ P और Z G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों और शून्यों की संख्या है
4. व्युत्क्रम मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शियों की संख्या = |P - Z|
5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है यानी केन्द्रक वास्तविक है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।
केन्द्रक व्युत्क्रम मूल पथ आरेख का हिस्सा हो भी सकता है और नहीं भी।
\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्यकों के वास्तविक भागों का योग है।
6. अनन्तस्पर्शी कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l } \right)\pi }}{{P - Z}}\)
l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1
7. वास्तविक अक्ष का एक खंड व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ आरेख पर मौजूद होता है यदि G(s)H(s) के ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग सम है।
8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं।
विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।
विवृत पाश अंतरण फलन G(s) = \(\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\), के साथ एकल पुनर्भरण तंत्र के लिए, मूल बिंदुपथ की मान्य शाखाओं की संख्या किसके बराबर होती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
मूल बिन्दुपथ की मान्य शाखाओं की संख्या निम्न द्वारा दी जाती है:
B = P - Z
जहाँ, B = शाखाओं की संख्या
P = विवृत पाश ध्रुवों की संख्या
Z = विवृत पाश शून्यकों की संख्या
गणना :
दिया गया है, \(\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)
P = 3
Z =0
B = 3 - 0
B = 3
Additional Information
तीन शाखाओं के लिए अनंतस्पर्शी कोण निम्न द्वारा दिए गए हैं:
\(ϕ_p = {(2q+1) \over P-Z}\times 180\)
जहाँ, q = 0,1,2
ϕp = 60°, 180° और 300°
एक मूलपथ आलेख में अलग-अलग बिंदु पथों की संख्या किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFमूलपथ आलेख के शाखाओं/बिंदुपथों की संख्या निम्न है:
यदि P ≥ Z है, तो N = P है।
यदि P ≤ Z है, तो = Z है।
1. मूलपथ आलेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममितीय है।
2. मूलपथ आलेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
3. केन्द्रक:
यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया गया है।
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण:
5. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों के कुल संख्या का योग विषम है, तो मूलपथ आलेख उस अनुभाग में मौजूद होता है।
6. भंजन/दूरस्थ बिंदु:
ये तब मौजूद होते हैं जब मूलपथ आलेख पर कई मूल होते हैं।
भंजन बिंदुओं पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
अतः मूल भंजन बिंदु हैं।
मान लीजिए एक नियंत्रण प्रणाली है जिसमें मूल बिन्दुपथ आलेख दिया गया है। तो खुला लूप स्थानांतरण फलन क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
मूलबिन्दुपथ में वास्तविक ध्रुव सदैव ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर होते हैं।
सम्मिश्र ध्रुव सदैव संयुग्म युग्मों में होते हैं और jω अक्ष के बाएँ पक्ष पर कहीं भी हो सकते हैं।
वर्णन:
दिए गए मूल बिन्दुपथ आरेख में हम देखते हैं कि ध्रुव x = 0 पर है।
साथ ही, ध्रुवों का सम्मिश्र संयुग्म युग्म मूल बिन्दुपथ में है।
दिए गए विकल्पों में से केवल विकल्प 1 दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है।
सम्मिश्र ध्रुवों के स्थान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
s2 + 2s + 2 = 0
\(s= {{-2±\sqrt{4-4(1)(2)} \over 2}}\)
s = -1 ± j
Branches of Root Locus Question 10:
नियंत्रण प्रणाली के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 10 Detailed Solution
आइए हम प्रत्येक विकल्प को एक-एक करके देखें,
1) दो ध्रुवों के विराम बिंदु पर, मूल बिन्दुपथ की शाखाएं वास्तविक अक्ष के साथ 180° का कोण बनाती हैं। इसलिए यहाँ वास्तविक अक्ष के साथ 180°/2 = 90° बनाएगी।
2) जब हम अलग प्रणाली पैरामीटर 0 से ∞ द्वारा एक नियंत्रण प्रणाली के लिए मूल बिन्दुपथ खीचतें है, तो ऐसा हो सकता है कि K के किसी भी मान के लिए, बिन्दुपथ jω अक्ष या K के उच्च मानों के लिए प्रवेश करता है, बिन्दुपथ RHP में प्रवेश करता है। और अस्थिर हो जाता है या यदि मूल बिन्दुपथ पहले से ही RHP से शुरू हो रहा है, तो यह संभव हो सकता है कि K के बड़े मानों के लिए, मूल बिन्दुपथ LHP में प्रवेश करता है और प्रणाली अस्थिर हो जाती है।
3) यदि प्रतिक्रिया धनात्मक है, तो मूल बिन्दुपथ के प्रारंभ और अंतिम बिंदु में कोई परिवर्तन नहीं है। धनात्मक प्रतिक्रिया प्रणाली के लिए मूल बिन्दुपथ G(s) H(s) के परिमित और अनंत ध्रुवों पर शुरू होता है और G (s) H (s) के परिमित और अनंत शून्य पर समाप्त होता है।
4) केंद्र पर खुले लूप ध्रुव को रखकर स्थिर-अवस्था त्रुटि को सुधारा जा सकता है क्योंकि तब प्रणाली प्रकार 1 से बढ़ जाता है। अब, उदाहरण के लिए, एक प्रकार 0 प्रणाली इकाई चरण इनपुट के लिए स्थिर-अवस्था त्रुटि होने पर शून्य देता है। यदि एक प्रकार से वृद्धि हुई है तो त्रुटि।
Branches of Root Locus Question 11:
निम्नलिखित प्रणाली के अभिलक्षणिक समीकरण के लिए बिन्दुपथ आरेख में अनंत की ओर जाने वाले मूलों की संख्या ____।
s6 + 4s5 + 4s3 + (2 + K) s2 + (s + 8)K + 6K = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 11 Detailed Solution
संकल्पना:
बिन्दुपथ आरेख में मूलों की संख्या जो अनंत तक जाती है, ध्रुवों और शून्यों की संख्या में अंतर के बराबर होती है:
|P - Z|
विश्लेषण:
s6 + 4s5 + 4s3 + (2 + K) s2 + (s + 8)K + 6K = 0
s6 + 4s5 + 4s3 + 2s2 + (s2 + s + 14)K = 0
\(1 + \frac{{{\rm{K}}\left( {{{\rm{s}}^2} + {\rm{s}} + 14} \right)}}{{{{\rm{s}}^2}\left( {{{\rm{s}}^4} + 4{{\rm{s}}^3} + 4{\rm{s}} + 2} \right)}} = 0\)
\(\\ \therefore {\rm{G}}\left( {\rm{s}} \right){\rm{H}}\left( {\rm{s}} \right) = \frac{{\left( {{{\rm{s}}^2} + {\rm{s}} + 14} \right)}}{{{{\rm{s}}^2}\left( {{{\rm{s}}^4} + 4{{\rm{s}}^3} + 4{\rm{s}} + 2} \right){\rm{}}}}\)
∴ मूलों की संख्या अनंत N = P - Z = 6 - 2 = 4 तक जाती है
Branches of Root Locus Question 12:
एकल पुनर्निवेश प्रणाली का मूल बिन्दुपथ चित्र में दिखाया गया है।
प्रणाली का बंद लूप अंतरण फलन _____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
\(\frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{K}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right) - K}}\)
Branches of Root Locus Question 12 Detailed Solution
अवधारणा:
मूल-बिन्दुपथ शाखा मौजूद होती है, जहां दाईं ओर (ध्रुव + शून्यक) की संख्या सम होती है।
यदि ध्रुव + शून्यक की संख्या दाईं ओर विषम है तो यह व्युत्क्रम मूल बिन्दुपथ है।
गणना:
दिया गया मूल बिन्दुपथ आरेख:
यहाँ s तल के दायीं ओर एक शून्यक है अर्थात हमारे पास विषम संख्या में ध्रुव + शून्यक है
इसका मतलब है कि मूल-बिन्दुपथ प्लॉट उलटा मूल-बिन्दुपथ है
उलटा मूल-बिन्दुपथ धनात्मक पुनर्निवेश वाली प्रणाली के समान है
धनात्मक पुनर्निवेश और लाभ के लिए 0 से ∞ तक भिन्न के लिए
अंतरण फलन निम्न द्वारा दिया जाता है
\(\frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{G(s)}{{( 1 - G(s)H(s))}}\) ......(1)
\(G\left( s \right) = \frac{K}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}\)
\(\frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{K}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right) - K}}\) दिए गए आरेख का मूल-बिन्दुपथ देगा।
Additional Information
व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ के निर्माण नियम:
1. व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा खुले-लूप शून्य (K = -∞) से शुरू होती है और खुले-लूप स्थानांतरण फलन के ध्रुव (K = 0) पर समाप्त होती है।
2. व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संदर्भ सममित होता है। यदि वास्तविक अक्ष पर किसी बिंदु के संबंध में ध्रुव-शून्य आलेख सममित है, तो IRLD भी उस बिंदु के संबंध में सममित है, बशर्ते कि उस बिंदु पर कोई ध्रुव या शून्य न हो।
3. व्युत्क्रम मूल बिन्दुपथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:
यदि P ≥ Z है, तो N = P है।
यदि P ≤ Z है, तो = Z है।
⇒ मूल पथ आरेख की शाखाओं की संख्या प्रणाली के क्रम के बराबर है।
जहाँ P और Z G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों और शून्यों की संख्या है
4. व्युत्क्रम मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शियों की संख्या = |P - Z|
5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है यानी केन्द्रक वास्तविक है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।
केन्द्रक व्युत्क्रम मूल पथ आरेख का हिस्सा हो भी सकता है और नहीं भी।
\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्यकों के वास्तविक भागों का योग है।
6. अनन्तस्पर्शी कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l } \right)\pi }}{{P - Z}}\)
l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1
7. वास्तविक अक्ष का एक खंड व्युत्क्रम मूल बिंदुपथ आरेख पर मौजूद होता है यदि G(s)H(s) के ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग सम है।
8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं।
विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।
Branches of Root Locus Question 13:
विवृत पाश अंतरण फलन G(s) = \(\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\), के साथ एकल पुनर्भरण तंत्र के लिए, मूल बिंदुपथ की मान्य शाखाओं की संख्या किसके बराबर होती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 13 Detailed Solution
अवधारणा:
मूल बिन्दुपथ की मान्य शाखाओं की संख्या निम्न द्वारा दी जाती है:
B = P - Z
जहाँ, B = शाखाओं की संख्या
P = विवृत पाश ध्रुवों की संख्या
Z = विवृत पाश शून्यकों की संख्या
गणना :
दिया गया है, \(\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)
P = 3
Z =0
B = 3 - 0
B = 3
Additional Information
तीन शाखाओं के लिए अनंतस्पर्शी कोण निम्न द्वारा दिए गए हैं:
\(ϕ_p = {(2q+1) \over P-Z}\times 180\)
जहाँ, q = 0,1,2
ϕp = 60°, 180° और 300°
Branches of Root Locus Question 14:
एक मूलपथ आलेख में अलग-अलग बिंदु पथों की संख्या किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 14 Detailed Solution
मूलपथ आलेख के शाखाओं/बिंदुपथों की संख्या निम्न है:
यदि P ≥ Z है, तो N = P है।
यदि P ≤ Z है, तो = Z है।
1. मूलपथ आलेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममितीय है।
2. मूलपथ आलेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|
3. केन्द्रक:
यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया गया है।
ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
ΣZi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण:
5. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों के कुल संख्या का योग विषम है, तो मूलपथ आलेख उस अनुभाग में मौजूद होता है।
6. भंजन/दूरस्थ बिंदु:
ये तब मौजूद होते हैं जब मूलपथ आलेख पर कई मूल होते हैं।
भंजन बिंदुओं पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।
अतः मूल भंजन बिंदु हैं।
Branches of Root Locus Question 15:
\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{k{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}}\) के लिए विशेषता समीकरण के संमिश्र संयुग्म मूल निम्न में से किस पर होते हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Branches of Root Locus Question 15 Detailed Solution
\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{k{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}}\)
ध्रुव = -2, -2; शून्य = -1, -1
अनन्तस्पर्शी की संख्या = p – z = 0
केन्द्रक मौजूद नहीं हैं क्योंकि अनन्तस्पर्शी का कोई कोण नहीं होता है।
विच्छेद बिंदु, \(\frac{{dk}}{{ds}} = 0\)
\(1 + \frac{{k{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {s + 2} \right)}^2}}} = 0\)
\(k = \frac{{ - {{\left( {s + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{dk}}{{ds}} = \frac{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}d\left( { - {{\left( {s + 2} \right)}^2}} \right) - \left( { - {{\left( {s + 2} \right)}^2}} \right)d\left( {{{\left( {s + 1} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^4}}}\)
\(\frac{{dk}}{{ds}} = \frac{{ - 2\left( {s + 2} \right){{\left( {s + 1} \right)}^2} + 2\left( {s + 1} \right){{\left( {s + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^4}}}\)
\(\frac{{dk}}{{ds}} = 0 \Rightarrow s = - 1, - 2\)
अब, मूल लोकस आलेख नीचे निम्न रूप में दर्शाया गया है।