Area MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Area - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

समबाहु त्रिभुज के अंदर एक वृत्त के अंतर्गत वर्ग:

• a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में, अंतर्गत वृत्त (अंतःवृत्त) की त्रिज्या r इस प्रकार दी जाती है:
• r = a × √3 / 6
• यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल और इसके अर्धपरिमाप के बीच संबंध का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
• एक वृत्त के अंतर्गत वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
• यदि एक वर्ग का विकर्ण d है, तो इसकी भुजा d / √2 है, और क्षेत्रफल (d / √2)² = d² / 2 है।

गणना:

दिया गया है, समबाहु त्रिभुज की भुजा = a

⇒ अंतर्गत वृत्त की त्रिज्या = r = a × √3 / 6

⇒ वृत्त का व्यास = 2r = 2 × (a × √3 / 6) = a × √3 / 3

⇒ वर्ग का विकर्ण = a × √3 / 3

अब, वर्ग की भुजा = (विकर्ण) / √2

⇒ भुजा = (a × √3 / 3) / √2 = a × √3 / (3√2)

⇒ क्षेत्रफल = भुजा² = (a × √3 / (3√2))²

⇒ क्षेत्रफल = a² × 3 / (9 × 2) = a² / 6

∴ अंकित वर्ग का क्षेत्रफल a² / 6 है।

एक वृत्त आरेख (या पाई चार्ट) एक वृत्ताकार सांख्यिकीय आरेख होता है जो आँकड़ों को वृत्त के अंशों के रूप में दर्शाता है। प्रत्येक अंश या खंड, कुल आँकड़ों के सम्मुचय के अनुपात को दर्शाता है।

• प्रत्येक खंड का आकार उस मात्रा के समानुपाती होता है जिसको वह दर्शाता है। वृत्त आरेख बनाने के लिए, वृत्त के क्षेत्रफल के लिए गणितीय आधार को समझना आवश्यक है, क्योंकि यह क्षेत्रफल यह निर्धारित करेगा कि आँकड़ों को कैसे दर्शाया जाता है।

Key Points

• एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना πr² सूत्र द्वारा की जाती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
• इस सूत्र का उपयोग वृत्त के कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए किया जाता है, जिसे तब उन खंडों में विभाजित किया जाता है जो वृत्त आरेख में कुल आँकड़ों के विभिन्न अनुपातों को दर्शाते हैं।

Hint

• 2πr वृत्त की परिधि का सूत्र है, क्षेत्रफल नहीं। यह वृत्त के चारों ओर की दूरी की गणना करता है।
• 3πr ज्यामिति में किसी मानक सूत्र के अनुरूप नहीं है और इसका उपयोग वृत्त के क्षेत्रफल या परिधि की गणना करने के लिए नहीं किया जाता है।
• π(r/2) वृत्त का सही क्षेत्रफल नहीं देगा। इसके स्थान पर, यह वृत्त की त्रिज्या या किसी अन्य गणना के सूत्र का गलत निरूपण प्रतीत होता है जो वृत्त के क्षेत्रफल से संबंधित नहीं है।

इसलिए, सही उत्तर πr² है।

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 - 2x = 0

⇒ x2 + y2 - 2x + 1 = 1

⇒ (x - 1)2 + y2 = 1, जो कि (- 1, 0) केंद्र और 1 त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

A1 = \(\frac{3 π+2}{4}\)

A₂ = π - \(\frac{3\pi+2}{4}\)

= \(\frac{π-2}{4}\)

∴ \(\frac{2\left(A_1+A_2\right)}{A_1-3 A_2}\)

= \(\frac{2\left(\frac{3\pi+2}{4}+\frac{\pi-2}{4}\right)}{\left(\frac{3\pi+2}{4}-\frac{3(\pi-2)}{4}\right)}\)

= \(\frac{2\left(\frac{4\pi}{4}\right)}{\left(\frac{2}{4}+\frac{6}{4}\right)}\)

= \(\frac{2\left(\frac{4\pi}{4}\right)}{2}\)

= π

∴ \(\frac{2\left(A_1+A_2\right)}{A_1-3 A_2}\) का मान π है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 - 2x = 0

⇒ x2 + y2 - 2x + 1 = 1

⇒ (x - 1)2 + y2 = 1, जो कि (- 1, 0) केंद्र और 1 त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

A₁ = ar(ABDEA)

= ar(ΔABF) + ar(AFBDEA)

= \(\frac{1}{2}\times 1\times 1\) + \(\frac{3}{4}\pi(1)^2\)

= \(\frac{3 \pi+2}{4}\)

∴ A1 का मान \(\frac{3 \pi+2}{4}\) है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

हल:

दिया गया है:

• वर्ग की भुजा की लंबाई a है।
• वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है, इसलिए वृत्त की त्रिज्या a/2 है।
• अर्धवृत्त की त्रिज्या वृत्त की त्रिज्या के समान है, जो a/2 भी है।

चरण 1: छायांकित क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

छायांकित क्षेत्रों में वृत्त का क्षेत्रफल और अर्धवृत्त का क्षेत्रफल शामिल है।

वृत्त का क्षेत्रफल:

वृत्त का क्षेत्रफल = π x (a/2)² = π x a²/4 = πa²/4

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2) x π x (a/2)² = (1/2) x π x a²/4 = πa²/8

कुल छायांकित क्षेत्रफल (वृत्त + अर्धवृत्त):

कुल छायांकित क्षेत्रफल = πa²/4 + πa²/8 = (2πa²/8) + (πa²/8) = 3πa²/8

चरण 2: वर्ग और आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

वर्ग का क्षेत्रफल:

वर्ग का क्षेत्रफल = a²

आयत का क्षेत्रफल:

आयत की चौड़ाई अर्धवृत्त का व्यास है, जो a/2 है। इसकी लंबाई वर्ग की भुजा है, a।

आयत का क्षेत्रफल = a x (a/2) = a²/2

वर्ग और आयत का कुल क्षेत्रफल:

कुल क्षेत्रफल (वर्ग + आयत) = a² + a²/2 = (2a²/2) + (a²/2) = 3a²/2

चरण 3: अनुपात ज्ञात कीजिए

वर्ग और आयत के कुल क्षेत्रफल से कुल छायांकित क्षेत्रफल का अनुपात है:

अनुपात = (3πa²/8) / (3a²/2) = (3πa²/8) x (2/3a²) = π/4

सही उत्तर 4) है।

दिया गया है:

वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त का परिमाप

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

वृत्त का परिमाप = 2πr

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

⇒ πr² = 2πr

⇒ rr = 2 इकाई

∴ वृत्त की त्रिज्या 2 इकाई है।

अवधारणा:

वृत्त:

O(a, b) पर केंद्र और त्रिज्या r वाले एक वृत्त का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है: (x - a)2 + (y - b)2 = r2

गणना:

दिए गए समीकरण 4x2 + 4y2 - 8x + 16y + k = 0 को मानक रूप में लिखने पर, वर्गों को पूरा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

⇒ [(2x)2 - 2(2)(2x) + 4] + [(2y)2 + 2(4)(2y) + 16] = -k + 4 + 16

⇒ (2x - 2)2 + (2y + 4)2 = 20 - k

⇒ 4(x - 1)2 + 4(y + 2)2 = 20 - k

⇒ (x - 1)2 + (y + 2)2 = \(\rm20\ -\ k\over4\)

इस समीकरण की तुलना वृत्त के समीकरण के मानक रूप से करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

r² = \(\rm20\ -\ k\over4\)

अब, वृत्त का क्षेत्रफल = πr2 = 9π

⇒ \(\rm\pi\left(20\ -\ k\over4\right)\) = 9π

⇒ 20 - k = 36

⇒ k = -16

प्रयुक्त सूत्र:

क्षेत्र का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²

गणना:

गाय द्वारा चरा जाने वाला क्षेत्र = (θ/360) × πr2, जहाँ θ is 90º

= 90/360{(22/7) × 14²}

= 1/4 × {(22/7) × 142}

= 154 cm²

∴ खेत का वह क्षेत्रफल जिसमें गाय चर सकती है = 154 cm²

प्रयुक्त सूत्र:

1. वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

2. वृत्त की परिधि = 2πr

3. वर्ग का परिमाप = 4a

4. वर्ग का क्षेत्रफल = a²

जहाँ,

r = वृत्त की त्रिज्या और

a = वर्ग की भुजा

गणना:

माना वृत्त की त्रिज्या r है और वर्ग की भुजा a है।

तब एक वृत्त का क्षेत्रफल

A= πr2 = 3.14 r2       ------(1)

प्रश्न के अनुसार,

वृत्त की परिधि = वर्ग का परिमाप

⇒ 2πr = 4a

⇒ a = πr/2 

अत: वर्ग का क्षेत्रफल

\(a^2\ =\ (\frac{π r}{2})^2\)

\(\Rightarrow \ a^2\ =\ 2.46\ r^2\) -----(2)

समीकरण (1) और (2) से हम कह सकते हैं कि, वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल।

अवधारणा:

वृत्त का क्षेत्रफल = πR2

जहाँ R = वृत्त की त्रिज्या

D = 2R

D = वृत्त का व्यास

गणना:

दिया हुआ:

वृत्ताकार प्लेट का व्यास = 6 cm

काटे जाने वाले वृत्त का व्यास = 3 cm

\(Radius \ of \ circular \ plate=\frac{6}{2}=3 \ cm\)

\(Radius \ of \ circle=\frac{3}{2} \ cm \)

आवयश्क क्षेत्रफल = वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल - वृत्त का क्षेत्रफल

क्षेत्रफल = π32 -  π(1.5)2 

\(Area \ =\pi(9 \ - \ \frac{9}{4})\)

\(Area=\frac{27\pi}{4} \ cm^2\)

अत: विकल्प (2) सही उत्तर है

दिया गया है:

वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त का परिमाप

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

वृत्त का परिमाप = 2πr

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

⇒ πr² = 2πr

⇒ rr = 2 इकाई

∴ वृत्त की त्रिज्या 2 इकाई है।

संकल्पना:

पाइथागोरस प्रमेय:

यह बताता है कि, एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

गणना:

मान लीजिए, त्रिज्या r के एक वृत्त में अंकित वर्ग की भुजा a है,

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

a2 + a2 = (व्यास)2

⇒ 2a2 = 4r2

⇒ a = r√2

अत: वर्ग का क्षेत्रफल

A = a2 = [r√2]2

∴  A = 2r2

अवधारणा:

वृत्त:

O(a, b) पर केंद्र और त्रिज्या r वाले एक वृत्त का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है: (x - a)2 + (y - b)2 = r2

गणना:

दिए गए समीकरण 4x2 + 4y2 - 8x + 16y + k = 0 को मानक रूप में लिखने पर, वर्गों को पूरा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

⇒ [(2x)2 - 2(2)(2x) + 4] + [(2y)2 + 2(4)(2y) + 16] = -k + 4 + 16

⇒ (2x - 2)2 + (2y + 4)2 = 20 - k

⇒ 4(x - 1)2 + 4(y + 2)2 = 20 - k

⇒ (x - 1)2 + (y + 2)2 = \(\rm20\ -\ k\over4\)

इस समीकरण की तुलना वृत्त के समीकरण के मानक रूप से करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

r² = \(\rm20\ -\ k\over4\)

अब, वृत्त का क्षेत्रफल = πr2 = 9π

⇒ \(\rm\pi\left(20\ -\ k\over4\right)\) = 9π

⇒ 20 - k = 36

⇒ k = -16

प्रयुक्त सूत्र:

क्षेत्र का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²

गणना:

गाय द्वारा चरा जाने वाला क्षेत्र = (θ/360) × πr2, जहाँ θ is 90º

= 90/360{(22/7) × 14²}

= 1/4 × {(22/7) × 142}

= 154 cm²

∴ खेत का वह क्षेत्रफल जिसमें गाय चर सकती है = 154 cm²

दिया गया है:

एक वृत्त का समीकरण (x - 2)2 + (y - 3)2 = 49

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

एक वृत्त का सामान्य समीकरण

(x - h)2 + (y - k)2 = r²

गणना:

यहाँ, r² = 49 

वृत्त का क्षेत्रफल = π × 49

⇒ (22/7) × 49

⇒ 154 इकाई²

∴ वृत्त का क्षेत्रफल 154 इकाई² है।