\(\rm\displaystyle\int_{-a}^a (x^2+sin \ x) dx\) किसके बराबर है?

संकल्पना:

यदि f(x) विषम फलन है, तो f(-x) = -f(x) है। 

निश्चित समाकल का गुण

यदि f(x) सम फलन है, तो\(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\) है। 

यदि f(x) विषम फलन है, तो\(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} =0\) है। 

गणना:

माना कि I = \(\rm\displaystyle\int_{-a}^a (x^2+sin \ x) dx\) है। 

\(= \rm\displaystyle\int_{-a}^a x^2 \; dx+ \displaystyle\int_{-a}^a sin \ x\; dx\)

= I₁ + I₂

अब,

I₁ \(= \rm\displaystyle\int_{-a}^a x^2 \; dx \)

यहाँ f(x) = x²

x को -x से प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ f(-x) = (-x)² = x²

⇒ f(-x) = f(x)

इसलिए, f(x) सम फलन है। 

चूँकि हम जानते हैं, यदि  f(x) सम फलन है, तो \(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\) है। 

इसलिए, I₁ = \(2\rm\displaystyle\int_{0}^a x^2 \; dx \)

\(= \rm 2\times [\frac{x^{3}}{3}]_0^a\)

\(= \rm 2\times [\frac{a^{3}}{3}-0] = \frac{2a^{3}}{3}\)

अब,

I₂ = \(\rm \displaystyle\int_{-a}^a sin \ x\; dx\)

यहाँ f(x) = sin x

x को -x से प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ f(-x) = sin (-x) = -sin x                (∵ sin (-θ) = - sin θ)

⇒ f(-x) = -f(x)

इसलिए, f(x) विषम फलन है। 

चूँकि हम जानते हैं, यदि f(x) सम फलन है, तो \(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} =0\)  है। 

I = I₁ + I₂ = \(\rm \frac{2a^{3}}{3}\) + 0 = \(\rm \frac{2a^{3}}{3}\)