यदि किसी आयत की लंबाई 5 मीटर बढ़ा दी जाए और चौड़ाई 7 मीटर घटा दी जाए, तो उसका क्षेत्रफल 8 वर्ग मीटर बढ़ जाता है। यदि लंबाई 5 मीटर घटा दी जाए और चौड़ाई 8 मीटर बढ़ा दी जाए, तो उसका क्षेत्रफल 33 वर्ग मीटर बढ़ जाता है। मूल आयत का परिमाप (मीटर में) क्या है?

दिया गया है:

स्थिति 1: लंबाई 5 मीटर बढ़ा दी जाए और चौड़ाई 7 मीटर घटा दी जाए, तो उसका क्षेत्रफल 8 वर्ग मीटर बढ़ जाता है

स्थिति 2: लंलंबाई 5 मीटर घटा दी जाए और चौड़ाई 8 मीटर बढ़ा दी जाए, तो उसका क्षेत्रफल 33 वर्ग मीटर बढ़ जाता है

प्रयुक्त सूत्र:

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई (l × b)

आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

गणनाएँ:

मान लीजिए आयत की मूल लंबाई 'l' मीटर और मूल चौड़ाई 'b' मीटर है।

मूल क्षेत्रफल = l × b

स्थिति 1 से:

नई लंबाई = (l + 5) मीटर

नई चौड़ाई = (b - 7) मीटर

नया क्षेत्रफल = (l + 5)(b - 7)

दिया गया है कि क्षेत्रफल 8 वर्ग मीटर बढ़ गया है:

(l + 5)(b - 7) = lb + 8

⇒ lb - 7l + 5b - 35 = lb + 8

⇒ -7l + 5b = 8 + 35

⇒ -7l + 5b = 43 (समीकरण 1)

स्थिति 2 से:

नई लंबाई = (l - 5) मीटर

नई चौड़ाई = (b + 8) मीटर

नया क्षेत्रफल = (l - 5)(b + 8)

दिया गया है कि क्षेत्रफल 33 वर्ग मीटर बढ़ गया है:

(l - 5)(b + 8) = lb + 33

⇒ lb + 8l - 5b - 40 = lb + 33

⇒ 8l - 5b = 33 + 40

⇒ 8l - 5b = 73 (समीकरण 2)

अब, हमारे पास दो रैखिक समीकरणों का एक निकाय है:

1) -7l + 5b = 43

2) 8l - 5b = 73

समीकरण 1 और समीकरण 2 को जोड़ें:

(-7l + 5b) + (8l - 5b) = 43 + 73

⇒ -7l + 8l + 5b - 5b = 116

⇒ l = 116

समीकरण 1 में l का मान प्रतिस्थापित करें:

-7(116) + 5b = 43

⇒ -812 + 5b = 43

⇒ 5b = 43 + 812

⇒ 5b = 855

⇒ b = 171

इसलिए, मूल लंबाई (l) = 116 मीटर और मूल चौड़ाई (b) = 171 मीटर।

मूल आयत का परिमाप = 2 × (l + b)

⇒ परिमाप = 2 × (116 + 171)

⇒ परिमाप = 2 × 287

⇒ परिमाप = 574 मीटर

∴ मूल आयत का परिमाप 574 मीटर है।