L-C दोलन परिपथ के पूर्ण आवेशित होने पर संधारित्र पर आवेश Q होता है। जब संधारित्र पर आवेश आधा रह जाए तो परिपथ में धारा ज्ञात कीजिए।

अवधारणा:

LC दोलन:

• हम जानते हैं कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र क्रमशः विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं।
• जब एक संधारित्र (आरंभिक रूप से आवेशित) एक प्रेरित्र से जुड़ा होता है, तो संधारित्र पर आवेश और परिपथ में धारा यांत्रिक प्रणालियों में दोलनों के समान विद्युत दोलनों की परिघटना को प्रदर्शित करती है।
• मान लीजिए कि एक संधारित्र और एक प्रेरित्र जुड़े हुए हैं जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
• मान लीजिए कि संधारित्र को t = 0 sec पर Q_o द्वारा आवेशित किया जाता है।
• जैसे ही परिपथ पूरा हो जाता है, संधारित्र पर आवेश कम होने लगता है, जिससे परिपथ में धारा बढ़ने लगती है।
• दोलन की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\(⇒ ω_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

जहां L = स्व-प्रेरकत्व और C = धारिता

• संधारित्र पर आवेश समय के साथ साइनसॉइडली रूप से बदलता रहता है,

⇒ Q = Q_ocos(ω_ot)

• किसी भी समय t पर परिपथ में धारा इस प्रकार है-

⇒ I = Iosin(ωot)

जहाँ I_o = परिपथ में अधिकतम धारा

• अधिकतम आवेश और अधिकतम धारा के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है,

व्याख्या:

मान लीजिये U_C = संधारित्र में संचित ऊर्जा और U_I = प्रेरित्र में संचित ऊर्जा

• चूंकि LC दोलन परिपथ पूरी तरह आवेशित होने पर संधारित्र पर आवेश  Q है।
• तो LC दोलन परिपथ में संग्रहीत कुल ऊर्जा इस प्रकार दी गई है,
•  

\(⇒ U=\frac{Q^2}{2C}\)     -----(1)

मान लीजिए कि परिपथ में धारा I है, जब संधारित्र पर आवेश आधा हो जाता है।

∴ \(Q'=\frac{Q}{2}\)     -----(2)

तो संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा जब संधारित्र पर आवेश आधा हो जाता है, तो यह इस प्रकार है,

\(⇒ U_C=\frac{(Q')^2}{2C}\)

\(⇒ U_C=\frac{Q^2}{8C}\)     -----(3)

• हम जानते हैं कि प्रेरित्र में संग्रहीत ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है,

\(⇒ U_I=\frac{1}{2}LI^2\)     -----(4)

जहाँ L = स्व-प्रेरकत्व और I = धारा

हम जानते हैं कि एक LC दोलन परिपथ के लिए,

⇒ UC + UI = U

\(⇒ \frac{Q^2}{8C}+\frac{1}{2}LI^2=\frac{Q^2}{2C}\)

\(⇒LI^2=\frac{Q^2}{C}-\frac{Q^2}{4C}\)

\(⇒LI^2=\frac{3Q^2}{4C}\)

\(⇒I=\frac{\sqrt3Q}{2\sqrt{LC}}\)

• अतः विकल्प 1 सही है।