Question
Download Solution PDFरैखिक प्रोगामन समरस्या पर विचार करें
x + 3y को अधिकतमीकृत करें यदि A\(\left(\begin{array}{l} \rm x \\ \rm y\end{array}\right)\) ≤ b,
जहां A = \(\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & -1\end{array}\right)\) तथा b = \(\left(\begin{array}{c}-1 \\ 5 \\ 5 \\ 14 \\ 0\end{array}\right)\)हैं।
निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
x + 3y को अधिकतम करें, A\(\left(\begin{array}{l} \rm x \\ \rm y\end{array}\right)\) ≤ b के अधीन,
जहां A = \(\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & -1\end{array}\right)\) और b = \(\left(\begin{array}{c}-1 \\ 5 \\ 5 \\ 14 \\ 0\end{array}\right)\)
इसलिए व्यवरोध हैं
-x - y ≤ -1...(i)
y ≤ 5...(ii)
-x + y ≤ 5...(iii)
x + 2y ≤ 14...(iv)
-y ≤ 0 ...(v)
मान लीजिए z = x + 3y....(vi)
हम जानते हैं कि अधिकतम समाधान हमेशा सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है।
(1): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 5\end{array}\right)\) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
x = 0, y = 5 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है
-0 - 5 < -1 इसलिए (i) संतुष्ट होता है। इसी तरह सभी व्यवरोध संतुष्ट होती हैं।
यहां z = 0 + 3 × 5 = 15
इसलिए यह एक अधिकतम समाधान हो सकता है।
(2): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में \(\left(\begin{array}{c}-2 \\ 3\end{array}\right)\) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
x = -2, y = 3 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है
यहां z = -2 + 3 x 3 = 7, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 7
इसलिए विकल्प (2) सही नहीं हो सकता है
(3): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
x = 1, y = 0 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है
यहां z = 1 + 3 × 0 = 1, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 1
इसलिए विकल्प (3) सही नहीं हो सकता है
(4): x = 14, y = 0 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है
यहां z = 14 + 3 × 0 = 14, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 14
इसलिए उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में \(\left(\begin{array}{c}14 \\ 0\end{array}\right)\) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।
इसलिए विकल्प (4) सही विकल्प है।
Last updated on Jul 8, 2025
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