एक इलेक्ट्रॉन, धनात्मक आवेश Ze वाले नाभिक के चारों ओर एक वृत्त में घूमता है। इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा (E) और उसकी स्थितिज ऊर्जा (U) के बीच सही संबंध है:

सिद्धांत:

वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन: जब एक इलेक्ट्रॉन धनात्मक आवेश (Ze) वाले नाभिक के चारों ओर घूमता है, तो वह गतिज और स्थितिज दोनों ऊर्जा का अनुभव करता है।

इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा (E) उसकी गतिज ऊर्जा (K) और स्थितिज ऊर्जा (U) का योग है।

स्थितिज ऊर्जा: इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच स्थितिज ऊर्जा (U) कूलम्ब के नियम द्वारा दी जाती है:

\( U = -\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r} \)

जहाँ, Z = परमाणु क्रमांक (नाभिक में प्रोटॉन की संख्या), e = इलेक्ट्रॉन का आवेश, \((\epsilon_0)\) = मुक्त स्थान की पारगम्यता

r = इलेक्ट्रॉन की कक्षा की त्रिज्या

गतिज ऊर्जा: वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा (K) कक्षा को बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल से संबंधित है,

\( K = \frac{Ze^2}{8\pi \epsilon_0 r} \)

कुल ऊर्जा: इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा (E) उसकी गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है,

\( E = K + U \)

गणना:

\({F}=\frac{{k}({Ze})({e})}{{r}^2}=\frac{m v^2}{r}\)

\({K}=\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} \frac{{K}({Ze})({e})}{r}\)

\({U}=-\frac{{K}({Ze})({e})}{r} \)

\({E}=\frac{{K}({Ze})({e})}{2 {r}}-\frac{{K}({Ze})({e})}{r}=\frac{-{K}({Ze})({e})}{2 {r}}\)

\({E}=\frac{{U}}{2}\)

2E = U

∴ सही विकल्प (4) है