Transmissibility and Magnification Factor MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transmissibility and Magnification Factor - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

सबसे पहले, आइए संचालन गति को rpm से रेडियन प्रति सेकंड में बदलते हैं:

संचालन गति (ω) रेडियन प्रति सेकंड में = 2π x (rpm / 60)

यह दिया गया है कि rpm 450 है, हमारे पास है:

ω = 2 x π x (450 / 60)

ω = 2 x π x 7.5

ω = 15π rad/s

यह दिया गया है कि π² = 10, हम 10 का वर्गमूल लेकर π ज्ञात कर सकते हैं:

π = √10

अब, ω = 15 x √10 rad/s

अगला, आइए सूत्र का उपयोग करके सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति (ωₙ) की गणना करें:

ωₙ = √(k/m)

जहाँ m रेफ्रिजरेटर इकाई का द्रव्यमान (44 kg) है और k प्रत्येक स्प्रिंग की कठोरता है। चूँकि समान कठोरता के 3 स्प्रिंग हैं, प्रभावी कठोरता (kₑ) है:

kₑ = 3k

इसलिए, प्राकृतिक आवृत्ति का सूत्र बन जाता है:

ωₙ = √(3k / 44)

अनुमत कठोरता निर्धारित करने के लिए, हम दी गई शर्त का उपयोग करते हैं कि केवल 10% कंपन बल को सहायक संरचना में संचारित करने की अनुमति है। यह 0.1 के संचारण अनुपात (T) से मेल खाता है।

संचारण अनुपात (T) दिया गया है:

\( T_r = \frac{1}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}} \)

जहाँ ζ अवमंदन अनुपात है और r आवृत्ति अनुपात (ω/ωₙ) है।

नगण्य अवमंदन वाले सिस्टम के लिए (ζ ≈ 0), संचारण अनुपात सरल हो जाता है:

T = 1 / √[1 + r²]

दिया गया T = 0.1, हमारे पास है:

0.1 = 1 / √[1 + r²]

दोनों पक्षों का वर्ग:

(0.1)² = 1 / (1 + r²)

0.01 = 1 / (1 + r²)

1 + r² = 100

r² = 99

r = √99

r = ω/ωₙ प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है:

√99 = (15 x √10) / ωₙ

ωₙ = (15 x √10) / √99

ωₙ ≈ 4.77 rad/s

प्राकृतिक आवृत्ति के सूत्र का उपयोग करते हुए:

ωₙ = √(3k / 44)

4.77 = √(3k / 44)

दोनों पक्षों का वर्ग:

(4.77)² = 3k / 44

22.7529 = 3k / 44

3k = 22.7529 x 44

3k = 1001.1276

k = 1001.1276 / 3

k ≈ 333.71 N/m

N/mm में परिवर्तित करना:

k ≈ 333.71 / 1000 N/mm

k ≈ 0.334 N/mm

संकल्पना:

कंपन अलगाव प्रणाली में प्रसारित बल और लागू बल के अनुपात को अलगाव कारक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {\left\{1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} \right\}^2+ {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ω_n = 0 ⇒ TR = 1 है, तो TR = 1 होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब ω/ω_n = 1 और ξ = 0 ⇒ है, तो TR = ∞ होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n = √2 है, तो सभी वक्र अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR =1 से होकर गुजरते हैं। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n < √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से अधिक होता है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n > √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1 है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से कम होता है। इसलिए कंपन अलगाव केवल ω/ω_n > √2 की सीमा में संभव है। यहाँ नींव में प्रसारित बल अवमंदन के बढ़ने पर बढ़ता है। 
• यदि ω/ωn > √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता बढ़ जाती है यदि ω/ωn < √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता घट जाती है 

स्पष्टीकरण:

प्रणाली के लिए स्थिर-स्थिति आयाम:

\(A = \dfrac{{\frac{F}{k}}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

स्थैतिक विक्षेपण (Xst):

\(X_{st}=\dfrac{F}{k}\)

आवर्धन कारक:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

जहां \(r=\dfrac{\omega}{\omega_n}\) ।

इस प्रकार M.F = f(r, ξ)

विकल्प 1:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

r = 1 पर (अनुनाद)

\(M.F= \dfrac{{1}}{{{2ξ}}}\)

इस प्रकार M.F केवल अवमंदन अनुपात का एक फलन है।अर्थात

विकल्प 2:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

r = 1 और ξ = 0 पर

\(M.F= \dfrac{{1}}{{{2ξ}}}=\infty\)

आवर्धन कारक अनंत है।

विकल्प 3:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

किसी दिए गए ξ के लिए, r का मान जिस पर M.F अधिकतम होता है, ropt कहलाता है।

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

जब हर न्यूनतम होगा, तो MF अधिकतम होगा।

\(\dfrac{d}{dr}\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}}=0\)

\(r_{opt}=\sqrt{1-2\xi^2}\)

संकल्पना:

कंपन अलगाव प्रणाली में प्रसारित बल और लागू बल के अनुपात को अलगाव कारक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {\left\{1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} \right\}^2+ {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ω_n = 0 ⇒ TR = 1 है, तो TR = 1 होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब ω/ω_n = 1 और ξ = 0 ⇒ है, तो TR = ∞ होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n = √2 है, तो सभी वक्र अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR =1 से होकर गुजरते हैं। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n < √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से अधिक होता है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n > √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1 है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से कम होता है। इसलिए कंपन अलगाव केवल ω/ω_n > √2 की सीमा में संभव है। यहाँ नींव में प्रसारित बल अवमंदन के बढ़ने पर बढ़ता है। 
• यदि ω/ωn > √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता बढ़ जाती है यदि ω/ωn < √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता घट जाती है 

स्पष्टीकरण:

प्रणाली के लिए स्थिर-स्थिति आयाम:

\(A = \dfrac{{\frac{F}{k}}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

स्थैतिक विक्षेपण (Xst):

\(X_{st}=\dfrac{F}{k}\)

आवर्धन कारक:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

जहां \(r=\dfrac{\omega}{\omega_n}\) ।

इस प्रकार M.F = f(r, ξ)

विकल्प 1:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

r = 1 पर (अनुनाद)

\(M.F= \dfrac{{1}}{{{2ξ}}}\)

इस प्रकार M.F केवल अवमंदन अनुपात का एक फलन है।अर्थात

विकल्प 2:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

r = 1 और ξ = 0 पर

\(M.F= \dfrac{{1}}{{{2ξ}}}=\infty\)

आवर्धन कारक अनंत है।

विकल्प 3:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

किसी दिए गए ξ के लिए, r का मान जिस पर M.F अधिकतम होता है, ropt कहलाता है।

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

जब हर न्यूनतम होगा, तो MF अधिकतम होगा।

\(\dfrac{d}{dr}\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}}=0\)

\(r_{opt}=\sqrt{1-2\xi^2}\)

स्पष्टकीरण:

अनुनाद (ω = ω_n) पर फेज कोण ϕ ,90° है।

जब ω/ω_n ≫ 1 है; तो फेज कोण 180° के बहुत करीब होगा। यहाँ जड़त्व बल में बहुत तेजी से वृद्धि होती है और इसका परिमाण बहुत अधिक होता है।

संकल्पना:

कंपन प्रणाली में प्रसार्यता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\epsilon =\frac{{{F}_{T}}}{{{F}_{O}}}\)

जहाँ F_T = भूमि में संचारित अधिकतम बल

\(\epsilon =\frac{\sqrt{1+{{\left( 2\xi \frac{\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1-{{\left( \frac{\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\xi \omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}}}\)

प्राकृतिक आवृत्ति \({{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{K}{m}}\)

K = स्प्रिंग कठोरता, m = द्रव्यमान 

गणना:

दिया गया है, आवर्त्त उद्दीपन बल: F(t) = F₀cos(ωt)

F_T = F_O

\(\epsilon =\frac{{{F}_{T}}}{{{F}_{O}}}\)

∴ प्रसार्यता, ϵ = 1

साथ ही, \(\epsilon =\frac{\sqrt{1+{{\left( 2\xi \frac{w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1-{{\left( \frac{w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\xi w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}}}}=1\)

माना कि \(\frac{\omega }{{{\omega }_{n}}}=x\)

इसलिए, 1 + (2ξ x)² = (1 – x²)² + (2ξ x)²

(1 – x²)² = 1

1 – x² = ± 1

धनात्मक चिन्ह लेने पर x² = 0

∴ ऋणात्मक चिन्ह लेने पर

x² = 2

x का मान रखने पर:

(ω/ω_n)² = 2

\(\frac{\omega }{{{\omega }_{n}}}=\sqrt{2}\)

∴ ω = √2ω_n

∵ प्राकृतिक आवृत्ति \({{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{K}{m}}\)

संकल्पना:

कंपन अलगाव प्रणाली में प्रसारित बल और लागू बल के अनुपात को अलगाव कारक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {\left\{1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} \right\}^2+ {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ω_n = 0 ⇒ TR = 1 है, तो TR = 1 होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब ω/ω_n = 1 और ξ = 0 ⇒ है, तो TR = ∞ होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n = √2 है, तो सभी वक्र अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR =1 से होकर गुजरते हैं। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n < √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से अधिक होता है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n > √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1 है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से कम होता है। इसलिए कंपन अलगाव केवल ω/ω_n > √2 की सीमा में संभव है। यहाँ नींव में प्रसारित बल अवमंदन के बढ़ने पर बढ़ता है। 
• यदि ω/ωn > √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता बढ़ जाती है यदि ω/ωn < √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता घट जाती है 

संकल्पना:

आवेग (I) = संवेग में परिवर्तन (ΔP)

गणना

दिया गया है

द्रव्यमान, m = 5 kg

स्प्रिंग की कठोरता, k = 10 kN/m

t = 0 पर द्रव्यमान u = 0 पर विरामावस्था पर है। 

बल F = 5 kN को समय, t = 10^-4 सेकेंड के लिए लगाया जाता है। 

आवेग संवेग प्रमेय का प्रयोग करने पर 

आवेग (I) = संवेग में परिवर्तन (ΔP)

F × t = m × (v – u)

5 × 10³ × 10^-4  = 1 × (v – 0)

\(v = 0.5~\frac{m}{{sec}}\)

ऊर्जा संतुलन का प्रयोग करने पर 

\(\frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}k{X^2}\)

\(1 \times {0.5^2} = 10 \times {10^3} \times {X^2}\)

X = 5 × 10^-3 = 5 mm

बलकृत कंपन के अधिकतम विस्थापन और स्थैतिक बल (F) के कारण होने वाले विक्षेपण के अनुपात को आवर्धन कारक के रूप में जाना जाता है।

\(A = \frac{{\frac{{{F_0}}}{k}}}{{\sqrt {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]}^2} + {{\left( {2\xi \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }} = \frac{{{X_s}}}{{\sqrt {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]}^2} + {{\left( {2\xi \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

\(MF\; = \;\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _n^2}}} \right)}^2}\; + \;{{\left( {\frac{{2{\rm{\zeta \omega }}}}{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

संचारित बल और लागू बल के अनुपात को पृथक कारक या प्रसार्यता कारक ϵ के रूप में जाना जाता है।

\(\varepsilon = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{2c\omega }}{{{c_c}.{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2c\omega }}{{{c_c}.{\omega _n}}}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \;\frac{{{\omega ^2}}}{{{\omega _n}^2}}} \right)}^2}\;} }}\)

लघुगणकीय न्यूनीकरण को आयाम न्यूनन कारक के प्राकृतिक लघुगुणक के रूप में परिभाषित किया जाता है। आयाम न्यूनन कारक औसत स्थिति के समान पक्ष पर किसी भी दो क्रमागत आयामों का अनुपात होता है।

\(\delta = {\log _e}\left( {\frac{{{x_n}}}{{{x_{n + 1}}}}} \right)\)

कंपन का आयाम संतुलित स्थिति से कंपन निकाय का अधिकतम विस्थापन होता है।

संकल्पना:

कंपन विलगन प्रणाली में, लागू बल के लिए प्रेषित बल के अनुपात को विलगन गुणांक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है।

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ωn = 0 ⇒ TR = 1, (independent of ζ से स्वतंत्र होता है)
• जब ω/ωn = 1 और ξ = 0 ⇒ TR = ∞, (independent of ζ से स्वतंत्र होता है)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn = √2 होता है,तो अवमंदन गुणांक ξ के सभी मान के लिए सभी वक्र बिंदु TR = 1 से गुजरते हैं ।
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn < √2 होता है,तो अवमंदन गुणांक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 होता है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ आलम्बन के माध्यम से नींव को प्रेषित बल लागू बल से अधिक होता है।
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn > √2 होता है,तो अवमंदन गुणांक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1होता है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ आलम्बन के माध्यम से प्रेषित बल लागू बल से कम होता है। इस प्रकार कंपन विलगन केवल ω/ωn > √2 सीमा में संभव है।यहां नींव में प्रेषित बल बढ़ जाता है क्योंकि अवमंदन बढ़ जाता है।

व्याख्या:

एक कम अवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में मौजूदा अवमंदक के साथ समानांतर में एक अतिरिक्त अवमंदक जोड़ने से सिस्टम में अवमंदन बढ़ जाएगा। इस बढ़े हुए अवमंदन से सिस्टम के मुक्त दोलनों के आयाम में कमी आएगी और मुक्त दोलन के आवर्तकाल में वृद्धि होगी।

प्रयुक्त अवधारणा:

\(ω_d = \sqrt{1 - ξ^2} . ω_n~\)

जहाँ

ω_d = अवमंदित कंपन की आवृत्ति, ωn = कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति, ξ = अवमंदन अनुपात

हम जानते हैं कि दोलन का आवर्तकाल निम्न द्वारा दिया गया है

\(T_d = \frac{2 \pi}{ω_d}\)

एकल-डिग्री-ऑफ-स्वतंत्रता वाले कम अवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में समानांतर में एक अवमंदक जोड़ने से मुक्त दोलन का आवर्तकाल क्यों बढ़ता है:
एक स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में, मुक्त दोलन का आवर्तकाल प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात पर निर्भर करता है। प्राकृतिक आवृत्ति उस अंतर्निहित दर को निर्धारित करती है जिस पर सिस्टम बिना किसी बाहरी प्रभाव के दोलन करता है, जबकि अवमंदन अनुपात यह प्रभावित करता है कि समय के साथ दोलन कितनी तेज़ी से क्षय होते हैं।

मौजूदा अवमंदक के समानांतर में एक अवमंदक जोड़ने से सिस्टम के कुल अवमंदन गुणांक (c) में प्रभावी रूप से वृद्धि होती है। जबकि द्रव्यमान (m) और स्प्रिंग स्थिरांक (k) समान रहते हैं, c में वृद्धि सीधे अवमंदन अनुपात (ζ) को निम्न प्रकार से प्रभावित करती है:

⇒ जैसे-जैसे अवमंदन गुणांक बढ़ता है, अवमंदन अनुपात भी बढ़ता है।

⇒ ω_d घटेगा और जैसे ω_d ↓ T_d ↑ क्योंकि वे व्युत्क्रमानुपाती हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु

संक्रामकता \(ε=\frac{\sqrt{1+\left(\frac{2 ξ \omega}{\omega_{n}}\right)^{2}}}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}\right]^{2}+\left[\frac{2 ξ \omega}{\omega_{n}}\right]^{2}}}\)

अवमंदित प्रणाली में

ε ↓ यदि ξ ↑ के लिए \(\frac{\omega}{\omega_n} < \sqrt 2\)

ε ↑ यदि ξ ↑ के लिए \(\frac{\omega}{\omega_n} > \sqrt 2\)

ε समान रहेगा यदि \(\frac{\omega}{\omega_n} = \sqrt 2\)

इसलिए ε ξ और साथ ही \(\frac{\omega}{\omega_n}\) पर निर्भर करता है और \(\frac{\omega}{\omega_n}\) से संबंधित कोई जानकारी प्रदान नहीं की गई है

इसलिए विकल्प (1) और (3) हमारा उत्तर नहीं होगा।

इसलिए सही उत्तर विकल्प (4) है दोलन का आवर्तकाल बढ़ जाएगा।

धारणा:

आवर्धन कारक:

\(MF=\frac{A}{{{X_s}}} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} \right]}^2} + {{\left( {2\xi \frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} }}\)

गणना:

अनुनाद पर ω/ωn= 1

तो आवर्धन कारक बनता है, \(MF=\frac{1}{2\xi }\)

अवमंदन अनुपात

\(\xi = \frac{C}{{{C_c}}}\)

क्रांतिक अवमंदन अनुपात:

\({c_c} = 2m\;{ω _n} = 2\sqrt {sm}\)

अब आवर्धन कारक,

\(MF = \frac{1}{{2\xi }} = \frac{1}{{\frac{{2c}}{{{c_c}}}}} = \frac{1}{{\frac{{2c}}{{2\sqrt {sm} }}}} = \frac{{\sqrt {sm} }}{c}\)

⇒ \(MF = \frac{{\sqrt {sm} }}{c} \times \frac{{\sqrt s }}{{\sqrt s }} = \frac{s}{{c\sqrt {\frac{s}{m}} }} = \frac{s}{{c{\omega _n}\;}}\)

महत्वपूर्ण सूत्र:

स्थिर स्थिती प्रतिक्रिया का आयाम

\(A = \frac{{\frac{{{F_0}}}{s}}}{{\sqrt {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} \right]}^2} + {{\left( {2\xi \frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} }} = \frac{{{X_s}}}{{\sqrt {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} \right]}^2} + {{\left( {2\xi \frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} }}\)

प्रसार्यता:

\(T.R = \frac{{{F_T}}}{F} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\xi \frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} \right]}^2} + {{\left( {2\xi \frac{ω }{{{ω _n}}}} \right)}^2}} }}\)