Symmetric Relations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Symmetric Relations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 21, 2025
Latest Symmetric Relations MCQ Objective Questions
Symmetric Relations Question 1:
मान लीजिए A = {1, 3, 4, 5, 7} और R, R = {(x, y) ∈ A × A: y - x सम पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध है। तो R में जोड़ने के लिए आवश्यक अवयवों की न्यूनतम संख्या कितनी है, ताकि R सममित संबंध हो?
Answer (Detailed Solution Below)
Symmetric Relations Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
समुच्चय A पर एक संबंध R को सममित संबंध कहा जाता है यदि (a, b) ∈ R का तात्पर्य (b, a) ∈ R है
स्पष्टीकरण:
A = {1, 3, 4, 5, 7} तथा R, R = {(x, y) ∈ A × A: y - x सम पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध है।
तब, R = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7)}
इसलिए, R केवल तभी सममित होगा जब हम R में (3, 1), (5, 1), (7, 1), (5, 3), (7,3), (7, 5) जोड़ें।
इसलिए हमें R में 6 अवयव जोड़ने की आवश्यकता है।
विकल्प (3) सत्य है।
Symmetric Relations Question 2:
मान लीजिए A = {0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} और R, A पर परिभाषित संबंध इस प्रकार है कि R = (x, y) ∈ A × A: x – y विषम धनात्मक पूर्णांक है या x – y = 2}; अवयवों की न्यूनतम संख्या जिसे संबंध R में जोड़ा जाना चाहिए, ताकि यह एक सममित संबंध हो, ______ के बराबर है।
Answer (Detailed Solution Below) 19
Symmetric Relations Question 2 Detailed Solution
अवधारणा -
कोई भी संबंध सममित कहा जाता है यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
स्पष्टीकरण -
हमारे पास है, A = {0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
स्थिति I: x – y विषम है, यदि एक विषम है और एक सम है तथा x > y है।
∴ सम्भावनाएँ {(3, 0), (4, 3), (6, 3), (7, 6), (7, 4), (7, 0 ), (8, 7), (8, 3), (9, 8), (9, 6), (9, 4), (9, 0), (10, 9), (10, 7), (10, 3)} हैं।
स्थितियों की संख्या = 15
स्थिति II: x – y = 2
∴ संभावनाएँ {(6, 4), (8, 6), (9, 7), (10, 8)} हैं।
∴ स्थितियों की संख्या = 4
इसलिए, जोड़ने के लिए न्यूनतम क्रमित युग्म = 15 + 4 = 19
अतः सही उत्तर 19 है।
Symmetric Relations Question 3:
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
1. मान लीजिए A और B दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः चार और दो अवयव हैं, तो समुच्चय A × B के उपसमुच्चयों की संख्या 219 है।
2. मान लें कि R, समुच्चय R पर aRb द्वारा परिभाषित सभी वास्तविक संख्याओं का संबंध है यदि और केवल यदि |a - b| ≤ 1, तो R सममित है।
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Symmetric Relations Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
- एक समुच्चय की गणन-संख्या समुच्चय में तत्वों की कुल संख्या है।
- दो समुच्चय C और D के कार्तीय गुणनफल की गणन-संख्या इन दो समुच्चयों की गणन-संख्या के गुणनफल n(C × D) = n(D × C) = n(C) × n(D) के बराबर है।
- यदि किसी समुच्चय में "n" अवयव हैं, तो दिए गए समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है और दिए गए उपसमुच्चय के उचित उपसमुच्चयों की संख्या 2n-1 से दी गई है।
1. सव्तुल्य: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित है।
- R स्वतुल्य है यदि सभी x ∈ A, xRx के लिए।
2. सममित: यदि कोई एक तत्व किसी अन्य तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले से संबंधित है।
- R सममित है यदि सभी x, y ∈ A, यदि xRy, तो yRx के लिए।
3. संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे से संबंधित है और वह दूसरा तत्व तीसरे से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे से संबंधित है।
- R संक्रामक है यदि सभी x, y, z ∈ A के लिए, यदि xRy और yRz, तो xRz।
4. R एक तुल्यता संबंध है यदि A खाली नहीं है और R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।
समाधान:
कथन I: मान लीजिए A और B दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः चार और दो अवयव हैं, तो समुच्चय A × B के उपसमुच्चयों की संख्या 219 है।
दिया गया है, n(A) = 4 और n(B) = 2
तब n(A × B) = n(A) × n(B)
n(A × B) = 4 × 2 = 8
समुच्चय A × B के उपसमुच्चयों की संख्या = 28 = 256
∴ कथन I गलत है।
कथन II: मान लें कि R, समुच्चय R पर aRb द्वारा परिभाषित सभी वास्तविक संख्याओं का संबंध है यदि और केवल यदि |a - b| ≤ 1, तो R सममित है।
यदि aRb, |a - b| ≤ 1
⇒ |b - a| ≤ 1
⇒ bRa
इसलिए, (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
अतः R सममित है।
∴ कथन II सही है।
अत: सही विकल्प (2) है।
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मान लीजिए L किसी तल की सभी सरल रेखाओं के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लीजिए कि एक संबंध R को lRm द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि और केवल यदि l, m ∀ l, m ∈ L पर लंबवत है, तब R है:
Answer (Detailed Solution Below)
Symmetric Relations Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
स्वतुल्य संबंध: संबंध स्वतुल्य होता है, यदि (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A होता है।
सममित संबंध: संबंध सममित होता है, यदि (a, b) ∈ R, तब (b, a) ∈ R होता है।
संक्रामक संबंध: संबंध संक्रामक होता है, यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तब (a, c) ∈ R होता है।
यदि संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, तो इसे तुल्यता संबंध के रूप में जाना जाता है।
चूँकि कोई भी रेखा स्वयं पर लंबवत नहीं होती है⇒ (l,l) ∉ R
⇒ R स्वतुल्य नहीं है।
दोनों रेखाओं के लिए l,m ∈ L यदि l ⊥ m, तब इसी प्रकार m ⊥ l
अर्थात, (l, m) ∈ R ⇒ (m, l) ∈ R
⇒ R सममित है।
यदि एक रेखा l, m के लंबवत है और m, k के लंबवत है, तो l, k के समानांतर होगी, लंबवत नहीं।
∴ R संक्रामक नहीं है।
Symmetric Relations Question 5:
मान लीजिए A = {1, 3, 4, 5, 7} और R, R = {(x, y) ∈ A × A: y - x सम पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध है। तो R में जोड़ने के लिए आवश्यक अवयवों की न्यूनतम संख्या कितनी है, ताकि R सममित संबंध हो?
Answer (Detailed Solution Below)
Symmetric Relations Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
समुच्चय A पर एक संबंध R को सममित संबंध कहा जाता है यदि (a, b) ∈ R का तात्पर्य (b, a) ∈ R है
स्पष्टीकरण:
A = {1, 3, 4, 5, 7} तथा R, R = {(x, y) ∈ A × A: y - x सम पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध है।
तब, R = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7)}
इसलिए, R केवल तभी सममित होगा जब हम R में (3, 1), (5, 1), (7, 1), (5, 3), (7,3), (7, 5) जोड़ें।
इसलिए हमें R में 6 अवयव जोड़ने की आवश्यकता है।
विकल्प (3) सत्य है।
Symmetric Relations Question 6:
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
1. मान लीजिए A और B दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः चार और दो अवयव हैं, तो समुच्चय A × B के उपसमुच्चयों की संख्या 219 है।
2. मान लें कि R, समुच्चय R पर aRb द्वारा परिभाषित सभी वास्तविक संख्याओं का संबंध है यदि और केवल यदि |a - b| ≤ 1, तो R सममित है।
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Symmetric Relations Question 6 Detailed Solution
संकल्पना:
- एक समुच्चय की गणन-संख्या समुच्चय में तत्वों की कुल संख्या है।
- दो समुच्चय C और D के कार्तीय गुणनफल की गणन-संख्या इन दो समुच्चयों की गणन-संख्या के गुणनफल n(C × D) = n(D × C) = n(C) × n(D) के बराबर है।
- यदि किसी समुच्चय में "n" अवयव हैं, तो दिए गए समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है और दिए गए उपसमुच्चय के उचित उपसमुच्चयों की संख्या 2n-1 से दी गई है।
1. सव्तुल्य: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित है।
- R स्वतुल्य है यदि सभी x ∈ A, xRx के लिए।
2. सममित: यदि कोई एक तत्व किसी अन्य तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले से संबंधित है।
- R सममित है यदि सभी x, y ∈ A, यदि xRy, तो yRx के लिए।
3. संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे से संबंधित है और वह दूसरा तत्व तीसरे से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे से संबंधित है।
- R संक्रामक है यदि सभी x, y, z ∈ A के लिए, यदि xRy और yRz, तो xRz।
4. R एक तुल्यता संबंध है यदि A खाली नहीं है और R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।
समाधान:
कथन I: मान लीजिए A और B दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः चार और दो अवयव हैं, तो समुच्चय A × B के उपसमुच्चयों की संख्या 219 है।
दिया गया है, n(A) = 4 और n(B) = 2
तब n(A × B) = n(A) × n(B)
n(A × B) = 4 × 2 = 8
समुच्चय A × B के उपसमुच्चयों की संख्या = 28 = 256
∴ कथन I गलत है।
कथन II: मान लें कि R, समुच्चय R पर aRb द्वारा परिभाषित सभी वास्तविक संख्याओं का संबंध है यदि और केवल यदि |a - b| ≤ 1, तो R सममित है।
यदि aRb, |a - b| ≤ 1
⇒ |b - a| ≤ 1
⇒ bRa
इसलिए, (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
अतः R सममित है।
∴ कथन II सही है।
अत: सही विकल्प (2) है।
Symmetric Relations Question 7:
मान लीजिए A = {0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} और R, A पर परिभाषित संबंध इस प्रकार है कि R = (x, y) ∈ A × A: x – y विषम धनात्मक पूर्णांक है या x – y = 2}; अवयवों की न्यूनतम संख्या जिसे संबंध R में जोड़ा जाना चाहिए, ताकि यह एक सममित संबंध हो, ______ के बराबर है।
Answer (Detailed Solution Below) 19
Symmetric Relations Question 7 Detailed Solution
अवधारणा -
कोई भी संबंध सममित कहा जाता है यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
स्पष्टीकरण -
हमारे पास है, A = {0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
स्थिति I: x – y विषम है, यदि एक विषम है और एक सम है तथा x > y है।
∴ सम्भावनाएँ {(3, 0), (4, 3), (6, 3), (7, 6), (7, 4), (7, 0 ), (8, 7), (8, 3), (9, 8), (9, 6), (9, 4), (9, 0), (10, 9), (10, 7), (10, 3)} हैं।
स्थितियों की संख्या = 15
स्थिति II: x – y = 2
∴ संभावनाएँ {(6, 4), (8, 6), (9, 7), (10, 8)} हैं।
∴ स्थितियों की संख्या = 4
इसलिए, जोड़ने के लिए न्यूनतम क्रमित युग्म = 15 + 4 = 19
अतः सही उत्तर 19 है।
Symmetric Relations Question 8:
मान लीजिए L किसी तल की सभी सरल रेखाओं के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लीजिए कि एक संबंध R को lRm द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि और केवल यदि l, m ∀ l, m ∈ L पर लंबवत है, तब R है:
Answer (Detailed Solution Below)
Symmetric Relations Question 8 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
स्वतुल्य संबंध: संबंध स्वतुल्य होता है, यदि (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A होता है।
सममित संबंध: संबंध सममित होता है, यदि (a, b) ∈ R, तब (b, a) ∈ R होता है।
संक्रामक संबंध: संबंध संक्रामक होता है, यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तब (a, c) ∈ R होता है।
यदि संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, तो इसे तुल्यता संबंध के रूप में जाना जाता है।
चूँकि कोई भी रेखा स्वयं पर लंबवत नहीं होती है⇒ (l,l) ∉ R
⇒ R स्वतुल्य नहीं है।
दोनों रेखाओं के लिए l,m ∈ L यदि l ⊥ m, तब इसी प्रकार m ⊥ l
अर्थात, (l, m) ∈ R ⇒ (m, l) ∈ R
⇒ R सममित है।
यदि एक रेखा l, m के लंबवत है और m, k के लंबवत है, तो l, k के समानांतर होगी, लंबवत नहीं।
∴ R संक्रामक नहीं है।