Simpson's 3/8th Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Simpson's 3/8th Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\({\rm{Number\;of\;intervals}} = \frac{{{\rm{b}} - {\rm{a}}}}{{\rm{h}}}{\rm{\;}}\)

जहाँ,

b ऊपरी सीमा है, a निम्न सीमा है, h पद का आकार है

समलंबी नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{{\rm{h}}}{2}\left[ {{{\rm{y}}_{\rm{o}}} + {{\rm{y}}_{\rm{n}}} + 2\left( {{{\rm{y}}_1} + {{\rm{y}}_2} + {{\rm{y}}_3}{\rm{\;}} \ldots } \right)} \right]\)

यह 1-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

सिम्पसन के 1/3 नियम के अनुसार

\({\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_o} + {y_n}} \right) + 2\left( {{y_2} + {y_4} + {y_6} + \ldots } \right)} \right] + 4\left[ {{y_1} + {y_3} + {y_5} + \ldots } \right]}\)

यह 2-डिग्री बहुपद के लिए फिट बैठता है।

सिम्पसन के 3/8 नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_a^b ydx = \frac{{3h}}{8}\left[ {({y_0}+y_n) + 3({y_1} + {y_2}+{y_4} +{y_5}..)+ 2({y_3} + {y_6} + {y_9}..)} \right]\)

यह 3-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

संकल्पना:

संख्यात्मक समाकलन के लिए सिम्पसन का \(\rm \frac 3 8th\) नियम है

\(\rm \int^{x_n}_{x_0} ydx = \frac {3h}{8} \{(y_0 + y_n) + 3(y_1 + y_2 + y_4 + y_5 + ...+y_{n-1}) + 2(y_3 + y_6 + ...+y_{n-2})\}\)

इस नियम को न्यूटन के 3/8 नियम के रूप में भी जाना जाता है।

संकल्पना:

सिम्पसन का \(\frac{1}{3}\) नियम:

\(\mathop \smallint \limits_{{x_0}}^{{x_0} + nh} f\left( x \right)dx = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_0} + {y_n}} \right) + 4\left( {{y_1} + {y_3} + - - - - {y_{n - 1}}} \right)} \right] + 2\left( {{y_2} + {y_4} + - - - - {y_{n - 2}}} \right)\)

दिए गए अंतराल को सम संख्या में समान उपअंतरालों में विभाजित किया जाना चाहिए।

\(h=\frac{b-a}{n}=\frac{6-0}{6}=1\)

विश्लेषण:

\(\displaystyle \int^6_0 \frac{dx}{1+x^2}=\frac{h}{3}\left[(y_0+y_6)+4\times(y_1+y_3+y_5)+2\times(y_2+y_4)\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+\frac{1}{37}\right)+4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{26}\right)+2\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{17}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{38}{37}+4\times\frac{83}{130}+2\times\frac{22}{85}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{38}{37}\times\frac{166}{65}\times\frac{44}{85}\right)\)

= 1.36617 ≈ 1.3662

संकल्पना:

संख्यात्मक समाकलन के लिए सिम्पसन का \(\rm \frac 3 8th\) नियम है

\(\rm \int^{x_n}_{x_0} ydx = \frac {3h}{8} \{(y_0 + y_n) + 3(y_1 + y_2 + y_4 + y_5 + ...+y_{n-1}) + 2(y_3 + y_6 + ...+y_{n-2})\}\)

इस नियम को न्यूटन के 3/8 नियम के रूप में भी जाना जाता है।

सिद्धांत:

सिम्पसन का 3/8 नियम: समाकलन की इस विधि में अंतरापोलन घनीय बहुपद है। प्रत्येक उप-अंतराल की लंबाई h के रूप में दी गई है। सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_n}} ydx = \frac{{3h}}{8}\left[ {\left( {{y_0} + 3{y_1} + 3{y_2} + {y_3}} \right) + \left( {{y_3} + 3{y_4} + 3{y_5} + {y_6}} \right) + \ldots + \left( {{y_{n - 3}} + 3{y_{n - 2}} + 3{y_{n - 1}} + {y_n}} \right)} \right]\)

दिया गया है:

h = 1

परिकलन:

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_n}} \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{3}{8}\left[ {\left( {1 + 3 \times 0.5 + 3 \times 0.2 + 0.1} \right) + \left( {0.1 + 3 \times 0.0588 + 3 \times 0.0385 + 0.027} \right)} \right]\)

= 1.35708

नोट:

संकल्पना:

सामान्य द्विघात सूत्र (G.Q.F):-

\(I = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_n}} f\left( x \right)dx\)

\( = h\left[ {n{y_0} + \frac{{{n^2}}}{2}{\rm{\Delta }}{y_0} + \left( {\frac{{{n^3}}}{3} - \frac{{{n^2}}}{2}} \right){{\rm{\Delta }}^2}\frac{{{y_0}}}{{2!}} \ldots } \right]\)

जहां, h = चरण आकार

n = पट्टियों की संख्या

1) समलम्बाकार नियम: एक बार में n = 1 पट्टी लेना और G.Q.F में दूसरे और उच्च-कोटि के अंतरों की उपेक्षा करने पर

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_1}} f\left( x \right)dx = h\left[ {1.{y_0} + \left( {\frac{1}{2}} \right){\rm{\Delta }}{y_0} + Neglect} \right]\)

\( = h\left[ {{y_0} + \frac{1}{2}\left( {{y_1} - {y_0}} \right)} \right]\)

\( = \frac{h}{2}\left( {{y_0} + {y_1}} \right)\)

पुन:,

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_1}}^{{x_2}} f\left( x \right)dx = h\left[ {1.{y_1} + \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}{y_1} + Neglect} \right]\)

\( = h\left[ {{y_1} + \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {{y_2} - {y_1}} \right)} \right]\)

\( = \frac{h}{2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\)

इसी प्रकार, \(\mathop \smallint \nolimits_{{x_2}}^{{x_3}} f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\) 

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left( {{y_{n - 1}} + {y_n}} \right)\)

\(I = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left[ {{y_0} + {y_n} + 2\left( {{y_1} + {y_2} + {y_3} + \ldots {y_{n - 1}}} \right)} \right]\)

\( \Rightarrow I = \frac{h}{2}\left[ {{y_0} + {y_n} + 2\left( {{y_1} + {y_2} + {y_3} \ldots + {y_{n - 1}}} \right)} \right]\)

2) सिम्पसन का 1/3^वां नियम: यदि हम एक बार में n = 2 पट्टी लेते हैं और G.Q.F में 3 (तीसरी) और उच्च-कोटि अंतर की उपेक्षा करने पर

\(I = \frac{h}{3}\left[ {{y_0} + {y_n} + 4\left( {{y_1} + {y_3} + {y_5} \ldots } \right) + 2\left( {{y_2} + {y_4} \ldots } \right)} \right]\)

3) सिम्पसन का 3/8^वां नियम: यदि हम एक बार में n = 3 पट्टी लेते हैं और G.Q.F में 4^वीं और उच्च-कोटि अंतर की उपेक्षा करने पर

\(I = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_3}} f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_{{x_3}}^{xb} f\left( x \right)dx \ldots \mathop \smallint \nolimits_{{x_{n - 3}}}^{{x_n}} f\left( x \right)dx\)

\(I = \frac{3}{8}h\left[ {{y_0} + {y_n} + 3\left( {{y_1} + {y_2} + {y_4} + {y_5} \ldots } \right) + 2\left( {{y_3} + {y_6} + {y_9}} \right)} \right]\)

4) आयत नियम

आयत नियम में, हम एकल प्रक्षेप बिंदु 'a' का उपयोग करके f|a,b| को सन्निकट करते हैं। हमारा बहुपद इंटरपोलेंट (अंतर्वेश्य) इस प्रकार एक स्थिर बहुपद p(t) = f(a) होगा, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है और हम इसका क्षेत्रफल की निम्न IR का उपयोग करके गणना कर सकते हैं:

I_R = f(a) ⋅ (b - a)

इस प्रकार,

1) समलम्बाकार नियम डिग्री 1 के बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है क्योंकि हमने G.Q.F में दूसरी कोटि के अंतर की उपेक्षा की है जबकि परिणाम उच्च डिग्री बहुपद के लिए सटीक मान से अधिक है।

2) सिम्पसन का 1/3^वां नियम डिग्री 2 के बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है, जबकि परिणाम उच्च डिग्री बहुपद के लिए सटीक मान से अधिक होता है।

3) सिम्पसन का 3/8^वां नियम घन बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है।

4) आयत नियम एक स्थिर फलन के लिए सटीक परिणाम देता है।

व्याख्या:

\({\rm{Number\;of\;intervals}} = \frac{{{\rm{b}} - {\rm{a}}}}{{\rm{h}}}{\rm{\;}}\)

जहाँ,

b ऊपरी सीमा है, a निम्न सीमा है, h पद का आकार है

समलंबी नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{{\rm{h}}}{2}\left[ {{{\rm{y}}_{\rm{o}}} + {{\rm{y}}_{\rm{n}}} + 2\left( {{{\rm{y}}_1} + {{\rm{y}}_2} + {{\rm{y}}_3}{\rm{\;}} \ldots } \right)} \right]\)

यह 1-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

सिम्पसन के 1/3 नियम के अनुसार

\({\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_o} + {y_n}} \right) + 2\left( {{y_2} + {y_4} + {y_6} + \ldots } \right)} \right] + 4\left[ {{y_1} + {y_3} + {y_5} + \ldots } \right]}\)

यह 2-डिग्री बहुपद के लिए फिट बैठता है।

सिम्पसन के 3/8 नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_a^b ydx = \frac{{3h}}{8}\left[ {({y_0}+y_n) + 3({y_1} + {y_2}+{y_4} +{y_5}..)+ 2({y_3} + {y_6} + {y_9}..)} \right]\)

यह 3-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

संकल्पना:

सिम्पसन का \(\frac{1}{3}\) नियम:

\(\mathop \smallint \limits_{{x_0}}^{{x_0} + nh} f\left( x \right)dx = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_0} + {y_n}} \right) + 4\left( {{y_1} + {y_3} + - - - - {y_{n - 1}}} \right)} \right] + 2\left( {{y_2} + {y_4} + - - - - {y_{n - 2}}} \right)\)

दिए गए अंतराल को सम संख्या में समान उपअंतरालों में विभाजित किया जाना चाहिए।

\(h=\frac{b-a}{n}=\frac{6-0}{6}=1\)

विश्लेषण:

\(\displaystyle \int^6_0 \frac{dx}{1+x^2}=\frac{h}{3}\left[(y_0+y_6)+4\times(y_1+y_3+y_5)+2\times(y_2+y_4)\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+\frac{1}{37}\right)+4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{26}\right)+2\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{17}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{38}{37}+4\times\frac{83}{130}+2\times\frac{22}{85}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{38}{37}\times\frac{166}{65}\times\frac{44}{85}\right)\)

= 1.36617 ≈ 1.3662

संकल्पना:

संख्यात्मक समाकलन के लिए सिम्पसन का \(\rm \frac 3 8th\) नियम है

\(\rm \int^{x_n}_{x_0} ydx = \frac {3h}{8} \{(y_0 + y_n) + 3(y_1 + y_2 + y_4 + y_5 + ...+y_{n-1}) + 2(y_3 + y_6 + ...+y_{n-2})\}\)

इस नियम को न्यूटन के 3/8 नियम के रूप में भी जाना जाता है।

सिद्धांत:

सिम्पसन का 3/8 नियम: समाकलन की इस विधि में अंतरापोलन घनीय बहुपद है। प्रत्येक उप-अंतराल की लंबाई h के रूप में दी गई है। सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_n}} ydx = \frac{{3h}}{8}\left[ {\left( {{y_0} + 3{y_1} + 3{y_2} + {y_3}} \right) + \left( {{y_3} + 3{y_4} + 3{y_5} + {y_6}} \right) + \ldots + \left( {{y_{n - 3}} + 3{y_{n - 2}} + 3{y_{n - 1}} + {y_n}} \right)} \right]\)

दिया गया है:

h = 1

परिकलन:

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_n}} \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{3}{8}\left[ {\left( {1 + 3 \times 0.5 + 3 \times 0.2 + 0.1} \right) + \left( {0.1 + 3 \times 0.0588 + 3 \times 0.0385 + 0.027} \right)} \right]\)

= 1.35708

नोट:

संकल्पना:

सामान्य द्विघात सूत्र (G.Q.F):-

\(I = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_n}} f\left( x \right)dx\)

\( = h\left[ {n{y_0} + \frac{{{n^2}}}{2}{\rm{\Delta }}{y_0} + \left( {\frac{{{n^3}}}{3} - \frac{{{n^2}}}{2}} \right){{\rm{\Delta }}^2}\frac{{{y_0}}}{{2!}} \ldots } \right]\)

जहां, h = चरण आकार

n = पट्टियों की संख्या

1) समलम्बाकार नियम: एक बार में n = 1 पट्टी लेना और G.Q.F में दूसरे और उच्च-कोटि के अंतरों की उपेक्षा करने पर

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_1}} f\left( x \right)dx = h\left[ {1.{y_0} + \left( {\frac{1}{2}} \right){\rm{\Delta }}{y_0} + Neglect} \right]\)

\( = h\left[ {{y_0} + \frac{1}{2}\left( {{y_1} - {y_0}} \right)} \right]\)

\( = \frac{h}{2}\left( {{y_0} + {y_1}} \right)\)

पुन:,

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_1}}^{{x_2}} f\left( x \right)dx = h\left[ {1.{y_1} + \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}{y_1} + Neglect} \right]\)

\( = h\left[ {{y_1} + \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {{y_2} - {y_1}} \right)} \right]\)

\( = \frac{h}{2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\)

इसी प्रकार, \(\mathop \smallint \nolimits_{{x_2}}^{{x_3}} f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\) 

\(\mathop \smallint \nolimits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left( {{y_{n - 1}} + {y_n}} \right)\)

\(I = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left[ {{y_0} + {y_n} + 2\left( {{y_1} + {y_2} + {y_3} + \ldots {y_{n - 1}}} \right)} \right]\)

\( \Rightarrow I = \frac{h}{2}\left[ {{y_0} + {y_n} + 2\left( {{y_1} + {y_2} + {y_3} \ldots + {y_{n - 1}}} \right)} \right]\)

2) सिम्पसन का 1/3^वां नियम: यदि हम एक बार में n = 2 पट्टी लेते हैं और G.Q.F में 3 (तीसरी) और उच्च-कोटि अंतर की उपेक्षा करने पर

\(I = \frac{h}{3}\left[ {{y_0} + {y_n} + 4\left( {{y_1} + {y_3} + {y_5} \ldots } \right) + 2\left( {{y_2} + {y_4} \ldots } \right)} \right]\)

3) सिम्पसन का 3/8^वां नियम: यदि हम एक बार में n = 3 पट्टी लेते हैं और G.Q.F में 4^वीं और उच्च-कोटि अंतर की उपेक्षा करने पर

\(I = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_{{x_0}}^{{x_3}} f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_{{x_3}}^{xb} f\left( x \right)dx \ldots \mathop \smallint \nolimits_{{x_{n - 3}}}^{{x_n}} f\left( x \right)dx\)

\(I = \frac{3}{8}h\left[ {{y_0} + {y_n} + 3\left( {{y_1} + {y_2} + {y_4} + {y_5} \ldots } \right) + 2\left( {{y_3} + {y_6} + {y_9}} \right)} \right]\)

4) आयत नियम

आयत नियम में, हम एकल प्रक्षेप बिंदु 'a' का उपयोग करके f|a,b| को सन्निकट करते हैं। हमारा बहुपद इंटरपोलेंट (अंतर्वेश्य) इस प्रकार एक स्थिर बहुपद p(t) = f(a) होगा, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है और हम इसका क्षेत्रफल की निम्न IR का उपयोग करके गणना कर सकते हैं:

I_R = f(a) ⋅ (b - a)

इस प्रकार,

1) समलम्बाकार नियम डिग्री 1 के बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है क्योंकि हमने G.Q.F में दूसरी कोटि के अंतर की उपेक्षा की है जबकि परिणाम उच्च डिग्री बहुपद के लिए सटीक मान से अधिक है।

2) सिम्पसन का 1/3^वां नियम डिग्री 2 के बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है, जबकि परिणाम उच्च डिग्री बहुपद के लिए सटीक मान से अधिक होता है।

3) सिम्पसन का 3/8^वां नियम घन बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है।

4) आयत नियम एक स्थिर फलन के लिए सटीक परिणाम देता है।

व्याख्या:

\({\rm{Number\;of\;intervals}} = \frac{{{\rm{b}} - {\rm{a}}}}{{\rm{h}}}{\rm{\;}}\)

जहाँ,

b ऊपरी सीमा है, a निम्न सीमा है, h पद का आकार है

समलंबी नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{{\rm{h}}}{2}\left[ {{{\rm{y}}_{\rm{o}}} + {{\rm{y}}_{\rm{n}}} + 2\left( {{{\rm{y}}_1} + {{\rm{y}}_2} + {{\rm{y}}_3}{\rm{\;}} \ldots } \right)} \right]\)

यह 1-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

सिम्पसन के 1/3 नियम के अनुसार

\({\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_o} + {y_n}} \right) + 2\left( {{y_2} + {y_4} + {y_6} + \ldots } \right)} \right] + 4\left[ {{y_1} + {y_3} + {y_5} + \ldots } \right]}\)

यह 2-डिग्री बहुपद के लिए फिट बैठता है।

सिम्पसन के 3/8 नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_a^b ydx = \frac{{3h}}{8}\left[ {({y_0}+y_n) + 3({y_1} + {y_2}+{y_4} +{y_5}..)+ 2({y_3} + {y_6} + {y_9}..)} \right]\)

यह 3-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

संकल्पना:

सिम्पसन का \(\frac{1}{3}\) नियम:

\(\mathop \smallint \limits_{{x_0}}^{{x_0} + nh} f\left( x \right)dx = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_0} + {y_n}} \right) + 4\left( {{y_1} + {y_3} + - - - - {y_{n - 1}}} \right)} \right] + 2\left( {{y_2} + {y_4} + - - - - {y_{n - 2}}} \right)\)

दिए गए अंतराल को सम संख्या में समान उपअंतरालों में विभाजित किया जाना चाहिए।

\(h=\frac{b-a}{n}=\frac{6-0}{6}=1\)

विश्लेषण:

\(\displaystyle \int^6_0 \frac{dx}{1+x^2}=\frac{h}{3}\left[(y_0+y_6)+4\times(y_1+y_3+y_5)+2\times(y_2+y_4)\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+\frac{1}{37}\right)+4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{26}\right)+2\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{17}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{38}{37}+4\times\frac{83}{130}+2\times\frac{22}{85}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{38}{37}\times\frac{166}{65}\times\frac{44}{85}\right)\)

= 1.36617 ≈ 1.3662

संकल्पना:

संख्यात्मक समाकलन के लिए सिम्पसन का \(\rm \frac 3 8th\) नियम है

\(\rm \int^{x_n}_{x_0} ydx = \frac {3h}{8} \{(y_0 + y_n) + 3(y_1 + y_2 + y_4 + y_5 + ...+y_{n-1}) + 2(y_3 + y_6 + ...+y_{n-2})\}\)

इस नियम को न्यूटन के 3/8 नियम के रूप में भी जाना जाता है।

व्याख्या:

\({\rm{Number\;of\;intervals}} = \frac{{{\rm{b}} - {\rm{a}}}}{{\rm{h}}}{\rm{\;}}\)

जहाँ,

b ऊपरी सीमा है, a निम्न सीमा है, h पद का आकार है

समलंबी नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{{\rm{h}}}{2}\left[ {{{\rm{y}}_{\rm{o}}} + {{\rm{y}}_{\rm{n}}} + 2\left( {{{\rm{y}}_1} + {{\rm{y}}_2} + {{\rm{y}}_3}{\rm{\;}} \ldots } \right)} \right]\)

यह 1-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

सिम्पसन के 1/3 नियम के अनुसार

\({\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = \frac{h}{3}\left[ {\left( {{y_o} + {y_n}} \right) + 2\left( {{y_2} + {y_4} + {y_6} + \ldots } \right)} \right] + 4\left[ {{y_1} + {y_3} + {y_5} + \ldots } \right]}\)

यह 2-डिग्री बहुपद के लिए फिट बैठता है।

सिम्पसन के 3/8 नियम के अनुसार

\(\mathop \smallint \limits_a^b ydx = \frac{{3h}}{8}\left[ {({y_0}+y_n) + 3({y_1} + {y_2}+{y_4} +{y_5}..)+ 2({y_3} + {y_6} + {y_9}..)} \right]\)

यह 3-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।