Median MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Median - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• इस समस्या में दिए गए आवृत्ति वितरण से माध्य, माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (α), माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (β) और प्रसरण (σ²) की गणना शामिल है।
• माध्य उनकी आवृत्तियों द्वारा भारित सभी मानों का औसत है।
• माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (α) माध्य से निरपेक्ष विचलनों का औसत है, जो आवृत्तियों द्वारा भारित है।
• माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (β) माध्यिका से निरपेक्ष विचलनों का औसत है, जो आवृत्तियों द्वारा भारित है।
• प्रसरण (σ²) माध्य से विचलनों के वर्गों का औसत है, जो आवृत्तियों द्वारा भारित है।

गणना:

दिया गया है,

कुल आवृत्ति योग = 19

वितरण का माध्यिका = 6

मान लीजिये कि अज्ञात आवृत्तियाँ f₁ और f₂ हैं।

कुल आवृत्ति, N = 12 + f₁ + f₂

आवृत्तियों का योग = 19 ⇒ 12 + f₁ + f₂ = 19 ⇒ f₁ + f₂ = 7

माध्यिका वर्ग 6 है। इसलिए, 6 से पहले संचयी आवृत्ति 5 + f₁ (10 से कम होना चाहिए)

चूँकि 5 + f₁ 1 + f₂ > 9, इसलिए f₁ और f₂ को तदनुसार ज्ञात करें:

⇒ 6 + f₁ = 10 ⇒ f₁ = 4, f₂ = 3

अब Σf_ix_i की गणना करें:

Σf_ix_i = 4x5 + 5x4 + 6x1 + 8x3 + 9x3 + 11x1 + 12x2 = 133

माध्य, x̄ = Σf_ix_i / Σf_i = 133 / 19 ≈ 7

माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (α):

α = Σf_i|x_i - x̄| / Σf_i = 48 / 19

⇒ 19α = 48 (Q ⇒ 3)

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (β):

β = Σf_i|x_i - माध्यिका| / Σf_i = 47 / 19

⇒ 19β = 47 (R ⇒ 2)

प्रसरण σ²:

σ² = Σf_ix_i² / Σf_i - (माध्य)² = 146 / 19

⇒ 19σ² = 146 (S ⇒ 1)

अब गणना करें:

7f₁ + 9f₂ = 7x4 + 9x3 = 28 + 27 = 55 (P ⇒ 5)

इसलिए, सही मिलान P ⇒ 5, Q ⇒ 3, R ⇒ 2, S ⇒ 1 है।

इसलिए, विकल्प 3 सही उत्तर है।

गणना

⇒

⇒

⇒

अतः विकल्प 2 सही है। 

प्रयुक्त सूत्र:

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक:

माध्यक =

जहाँ,

l = माध्यक वर्ग की निचली सीमा

N = प्रेक्षणों की संख्या

f = माध्यक वर्ग की आवृत्ति

h = वर्ग आकार

C = माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति।

गणना

माध्यक

⇒

⇒ M = 10.4

⇒ 20M = 208

इसलिए विकल्प(4) सही है।

प्रयुक्त सूत्र:

बहुलक = L + h

जहाँ,

l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा

h = वर्ग अंतराल का आकार

f1 = बहुलक वर्ग की बारंबारता

f0 = बहुलक वर्ग से पहले के वर्ग की बारंबारता

f2 = बहुलक वर्ग के बाद आने वाले वर्ग की बारंबारता

इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।

गणना​:

तालिका से हम देख सकते हैं

उच्चतम बारंबारता वाला वर्ग 25 - 30 = बहुलक वर्ग है

इसलिए,

L = 25, f1 = 11, f0 =  5, f2 = 6, h = 5

इसलिए,

बहुलक = 25 + 

⇒ बहुलक = 27.73

∴ आवश्यक बहुलक 27.73 है

प्रयुक्त सूत्र:

समूहीकृत डेटा की माध्यिका:

माध्यिका =

जहाँ,

l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा

N = अवलोकनों की संख्या

f = माध्यिका वर्ग की बारंबारता

h = वर्ग आकार

C = माध्यिका वर्ग से पहले वर्ग की संचयी बारंबारता।

माध्यिका वर्ग ज्ञात करना: यदि N विषम है, तो माध्यिका (N+1)/2] है।

यदि n सम है, तो माध्यिका n/2^वें और (n/2 +1)^वें अवलोकनों का औसत होगा।

गणना​:

N = 60,

माध्यिका वर्ग 35 - 40 है

l = 35, f = 5, h = 5 और C = 26

माध्यिका = 35 +

माध्यिका = 35 + 4 = 39

∴ अभीष्ट माध्यिका 39 है।

संकल्पना:

माध्य: आंकड़ों के समूह का माध्य या औसत आंकड़ों के समूह में सभी संख्याओं को जोड़कर और फिर समूह में मानों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

बहुलक: बहुलक वह मान है जो आंकड़ों के समूह में सबसे अधिक बार आता है।

माध्यिका: माध्यिका एक संख्यात्मक मान है जो एक समूह के ऊपरी आधे हिस्से को निचले आधे हिस्से से अलग करता है।

माध्य, बहुलक और माध्यिका के बीच संबंध:

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)

गणना:

दिया है कि,

आंकड़ों का माध्य = 4 और आंकड़ों का बहुलक = 10

हम जानते हैं कि,

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)

⇒ 10 = 3(माध्यिका) - 2(4)

⇒ 3(माध्यिका) = 18

⇒ माध्यिका = 6

अतः, आंकड़ों की माध्यिका 6 होगी।

संकल्पना:

माध्यिका: माध्यिका संख्याओं के वर्गीकृत-आरोही या अवरोही सूची में मध्य संख्या होती है। 

स्थिति 1: यदि अवलोकनों (n) की संख्या सम होती है। 

स्थिति 2: यदि अवलोकनों की संख्या (n) विषम होती है। 

गणना:

दिया गया मान 2, 6, 6, 8, 4, 2, 7, 9 

आरोही क्रम में अवलोकनों को व्यवस्थित करने पर:

2, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 9

यहाँ, n = 8 = सम 

चूँकि हम जानते हैं, यदि n सम है तो,

= 

= 

अतः माध्यक = 6

दिया गया है:

मोड = 24

माध्य = 60

प्रयोग किया गया सूत्र:

माध्य - मोड = 3(माध्य - माध्यक)

गणना:

माना कि माध्यक x है। 

(60 - 24) = 3(60 - x)

⇒ 36/3 = (60 - x)

⇒ 12 = (60 - x)

⇒ 60 - 12 = x

⇒ x = 48

∴ माध्यक 48 है। 

धारणा:

माध्यिका

स्थिती 1: यदि अवलोकनों की संख्या (n) सम है

स्थिती 2: यदि अवलोकनों की संख्या (n) विषम है

गणना:

आरोही क्रम में अवलोकनों को व्यवस्थित करें

1, 2, 3, 6, 8, 9

यहाँ, n = 6 = सम

इसलिए तीसरा और चौथा अवलोकन 3 और 6 है

∴ 

अवधारणा:

जब डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, तो 'n' प्रेक्षणों की माध्यिका केंद्रीय स्थिति पर मान होती है।

• विषम n के लिए, माध्यिका स्थिति पर मान है।
• सम n के लिए, माध्यिका  और स्थितियों पर मानों का माध्य है।

गणना:

संचयी आवृत्तियों को लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं

चूँकि n = 198 सम है, माध्यिका = 99^वें स्थान और 99 + 1 = 100^वें स्थान पर मानों का माध्य होगा।

उपरोक्त तालिका से, 99 ^वें और 100 ^वें दोनों मान 3 हैं।

अत: उपरोक्त आँकड़ों की माध्यिका 3 है ।

प्रयुक्त सूत्र:

जहाँ माध्यिका वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी संचयी बारंबारता N/2 है।

N = बारंबारताओं का योग, L = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा,

f = माध्यिका वर्ग की बारंबारता, h = वर्ग की चौड़ाई

C = माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
गणना:

हम देख सकते हैं कि बारंबारता का योग

N = 130

N/2 = 65

अत: 50 - 60 माध्यिका वर्ग होगा, जहाँ

L = 50, f = 60, h = 10 और c = 22

⇒ माध्यिका = 57.16

∴ आंकड़ों की माध्यिका 57.16 है।

संकल्पना:

माध्यक: माध्यक संख्याओं की सूची में आरोही या अवरोही में वर्गीकृत एक मध्य संख्या होती है।

स्थिति 1: यदि अवलोकन (n) की संख्या सम है। 

स्थिति 2: यदि अवलोकन (n) की संख्या विषम है। 

गणना:

दिया गया मान 2, 9, 3, 7, 5, 4, 3, 2, 10 

आरोही क्रम में अवलोकनों को व्यवस्थित करने पर:

2, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 9, 10

यहाँ, n = 9 = विषम 

चूँकि हम जानते हैं, यदि n विषम है, तो 

अतः माध्यक = 4

धारणा:

माध्यिका:

स्थिती 1: यदि अवलोकनों की संख्या (n) सम है

स्थिती 2: यदि अवलोकनों की संख्या (n) विषम है

गणना:

Given numbers are 50, 48, 47, 48.5, 50.5, 52, 48.8, 46

Arranging the number in increasing order

46, 47, 48, 48.5, 48.8, 50, 50.5, 52

The number of terms n = 8, which is even.

Therefore,

Median 

Hence, the median of the given numbers is 48.65.

दिया गया है:

प्रेक्षणों 25, 29, 25, 32, 24 और x का माध्य 27 है

प्रयुक्त अवधारणा:

माध्य = सभी प्रेक्षणों का योग / प्रेक्षणों की कुल संख्या

माध्यि

संख्याओं के दिए गए समूह का माध्यक सूत्र, जिसमें 'n' विषम संख्या में प्रेक्षण हैं, को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
माध्यक =  वाँ पद

संख्याओं के दिए गए समूह का माध्यक सूत्र, जिसमें 'n' सम संख्या में प्रेक्षण हैं, को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
माध्यक =  वाँ पद

गणना: 

प्रेक्षणों का माध्य =  25 + 29 + 25 + 32 + 24 + x / 6 = 27

x = 27 × 6 - 135

⇒ 162 - 135 

⇒ 27

पदों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,

24, 25, 25, 27,29, 32 

यहाँ, पदों की संख्या सम है,

∴ माध्यक = (25 + 27) / 2 

⇒ 26

 ∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

माध्यिका​: यह दिए गए समुच्चय में मध्य मान है, जबकि समुच्चय या तो बढ़ते या घटते क्रम में है।

यदि प्रेक्षण की संख्या (n) विषम है तो माध्यिका (n+1)/2^वां पद है।

यदि प्रेक्षण की संख्या (n) सम है तो माध्यिका n^वां और (n+1)^वां पद का औसत है।

गणना:

दिया गया है: माध्यिका = 15

8, 11, 12, x + 6, 17, 18, 23

n = 7,

चूँकि, n विषम है, माध्यिका 4^था पद होना चाहिए।

तो, x + 6 माध्यिका होनी चाहिए।

⇒ x + 6 = 15

⇒ x = 9