Logarithmic Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Logarithmic Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• हमें दिया गया है:
  • t = e^2x
  • y = log_e(t²) = 2 log_e(t)
• हमें द्वितीय अवकलज d²y/dx² ज्ञात करना है।
• इसके लिए अवकलन के शृंखला नियम और गुणन नियम की आवश्यकता होगी।

गणना:

चरण 1: y को x के पदों में व्यक्त करें

y = 2 log(t), जहाँ t = e^2x

चूँकि log(t) = log(e^2x) = 2x

⇒ y = 2 × 2x = 4x

प्रथम अवकलज:

dy/dx = d/dx (4x) = 4

द्वितीय अवकलज:

d²y/dx² = d/dx (4) = 0

∴ सही उत्तर : 0 है। 

गणना

दिया गया है,

\(y=\log _c\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \)

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,

⇒ \(\frac{d y}{d x}=y^{\prime}=\frac{-4 x}{1-x^4}\)

पुनः अवकलन करने पर,

⇒ \(\frac{d^2 y}{d x^2}=y^{\prime \prime}=\frac{-4\left(1+3 x^4\right)}{\left(1-x^4\right)^2}\)

अब,

⇒ \(y^{\prime}-y^{\prime \prime}=\frac{-4 x}{1-x^4}+\frac{4\left(1+3 x^4\right)}{\left(1-x^4\right)^2}\)

\(\mathrm{x}=\frac{1}{2}\) पर,

⇒ \(y^{\prime}-y^{\prime \prime}=\frac{736}{225}\)

इस प्रकार,

⇒ \(225\left(y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right)=225 \times \frac{736}{225}=736\)

अतः विकल्प (4) सही है। 

गणना

दिया गया है:

⇒ ln (y) = 3sin^-1 x

⇒ \(\rm \frac{1}{y} \cdot y^{\prime}=3\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)

x = \(\frac{1}{2}\) पर, ⇒ \(\rm y^{\prime}=\frac{3 y}{\sqrt{1-x^2}}\) 

⇒ \(\rm y^{\prime}=\frac{3 e^{3\left(\frac{\pi}{6}\right)}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3} \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\)

⇒ \(\rm y^{\prime \prime}=3\left(\frac{\sqrt{1-x^2} y^{\prime}-y \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}}(-2 x)}{\left(1-x^2\right)}\right)\)

⇒ \(\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}=3\left(3 y+\frac{x y}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)

x = \( \frac{1}{2}\) पर, \( \mathrm{y}=\mathrm{e}^{3 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}=\mathrm{e}^{3\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\)

⇒ \(\left.\left(1-x^2\right) y "\right|_{a t x=\frac{1}{2}}=3\left(3 e^{\frac{\pi}{2}}+\frac{\frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\)

⇒ \(3 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\left(3+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

\(\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-\left.x y^{\prime}\right|_{\text {at } x=\frac{1}{2}}\)

⇒ \(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\left(3+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{2}\left(2 \sqrt{3} \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\right)=9 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\)

अतः विकल्प (4) सही है। 

दिया हुआ:

log 2 =  x, log 3 = y

अवधारणा:

लघुगणक के गुण:

1. \({\log _a}a = 1\)
2. \({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
3. \({\log _a}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _a}x - {\log _a}y\)
4. \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - {\log _a}x\)
5. \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{x^p} = p{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\)
6. \(lo{g_a}\left( x \right) = \frac{{lo{g_b}\left( x \right)}}{{lo{g_b}\left( a \right)}}\)

गणना:

log 6 = log (2 x 3)

लघुगणक की दूसरी संपत्ति से

log 6 = log 2 + log 3

log 6 = x + y

दिया हुआ:

log 2 =  x, log 3 = y

अवधारणा:

लघुगणक के गुण:

1. \({\log _a}a = 1\)
2. \({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
3. \({\log _a}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _a}x - {\log _a}y\)
4. \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - {\log _a}x\)
5. \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{x^p} = p{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\)
6. \(lo{g_a}\left( x \right) = \frac{{lo{g_b}\left( x \right)}}{{lo{g_b}\left( a \right)}}\)

गणना:

log 6 = log (2 x 3)

लघुगणक की दूसरी संपत्ति से

log 6 = log 2 + log 3

log 6 = x + y

अवधारणा:

सूत्र:

log mn = n log m

\(\rm \frac{d(uv)}{dx} = v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}\)

\(\rm \frac{d\log x}{dx} = \frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{dx}{dx} = 1\)

गणना:

माना y = xlog x

दोनों पक्षों को log लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log y = xlog x

⇒ log y = log x log  x            (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ \(\rm \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log x \frac{dlogx}{dx} + logx \frac{d\log x}{dx}\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = y \left(\log x \times \frac{1}{x} + logx \times \frac{1}{x} \right )\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = \frac{x^{\log x}}{x}\ (2\log x)\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = x^{\log x-1} (\log x^2)\)

संकल्पना:

अवकलन का गुणनफल नियम:

माना h(x) = f(x)g(x), तब h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

दिया गया है, y = logy x

⇒ y = \(\frac{\log x}{\log y}\)

⇒ y log y = log x

दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

\(\frac{dy}{dx}\cdot\log y+y\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\)

\(\log y\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\)

⇒ \(\frac{dy}{dx}(1+\log y)=\frac{1}{x}\)

∴ \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{ x(1+\log y)}\)

दिया हुआ:

log 2 =  x, log 3 = y

अवधारणा:

लघुगणक के गुण:

1. \({\log _a}a = 1\)
2. \({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
3. \({\log _a}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _a}x - {\log _a}y\)
4. \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - {\log _a}x\)
5. \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{x^p} = p{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\)
6. \(lo{g_a}\left( x \right) = \frac{{lo{g_b}\left( x \right)}}{{lo{g_b}\left( a \right)}}\)

गणना:

log 6 = log (2 x 3)

लघुगणक की दूसरी संपत्ति से

log 6 = log 2 + log 3

log 6 = x + y

अवधारणा:

श्रृंखला नियम:

\(\rm \frac{d}{dx}[f(g(x))]= f'(g(x)) g'(x)\)

यदि y = log x हो तो f'(x) = 1/x hai

और यदि y = xn, तो f'(x) = nxn - 1

गणना:

f(x) = log √x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं;

⇒ f'(x) = (\(\rm \frac{1}{\sqrt x}\))\(\rm \frac{d \sqrt x }{dx}\) 

⇒ f'(x) = \(\rm \frac{1}{\sqrt x}\)⋅ \(\rm \frac{1}{2\sqrt x}\)

⇒ f'(x) = \(\rm 1\over {2x}\)

अवधारणा:

श्रृंखला नियम: \(\rm \frac{d}{dx}[f(g(x))]= f'(g(x)) g'(x)\)

यदि y = log x हो तो f'(x) = 1/x hai

और यदि y = xⁿ, तो f'(x) = nx^{n - 1}

गणना:

f(x) = log x², x > 1

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त करते हैं

⇒ f'(x) = (\(\rm \frac{1}{x^2}\))\(\rm \frac{d x^2}{dx}\) 

⇒ f'(x) = \(\rm \frac{2x}{x^2}\)

⇒ f'(x) = \(\rm \frac{2}{x}\)

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं। 

• श्रृंखला नियम:
  \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
• गुणनफल नियम:\(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right) + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
• log ab = b log a 

गणना:

\(\rm x^m y^n =xya^{m+n}\) , जहाँ a स्थिरांक है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ \(\rm \log (x^m y^n) =\log (xya^{m+n})\)

⇒ log x^m + log yⁿ = log x + log y + log a^m+n

⇒ m log x + n log y = log x + log y + (m + n) log a 

x के संबंध में दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ \(\rm \frac{m}{x}+\frac{n}{y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= \frac 1 x + \frac 1 y \frac {dy}{dx} + 0\)   [∵  \(\rm \frac{d \;\text{constant}}{dx} = 0\) ]  

⇒ \(\rm \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left [ \frac{n}{y}-\frac{1}{y} \right ]= \left [ \frac{1}{x}- \frac{m}{x} \right ]\) 

⇒  \(\rm \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{-(m-1)y}{(n-1)x}\) . 

सही विकल्प 3 है। 

अवधारणा:

श्रृंखला नियम: \(\rm \frac{d}{dx}[f(g(x))]= f'(g(x)) g'(x)\)

यदि y = log x हो तो f'(x) = 1/x

और यदि y = sin x हो तो f'(x) = cos x

गणना:

f(x) = log (sin x)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं

⇒ f'(x) = (\(\rm \frac{1}{sin\ x}\))\(\rm \frac{d \sin \ x\ }{dx}\) 

⇒ f'(x) = \(\rm \frac{cos \ x}{sin \ x}\)

⇒ f'(x) = cot x

संकल्पना:

श्रृंखला नियम:

\(\rm \frac{d}{dx}[f(g(x))]= f'(g(x)) g'(x)\)

गणना:

यहाँ, -log (log x), x > 1

माना कि, log x = y है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ dy/dx = 1/x        ....(1)

अब, -log (log x) = -log y

\(\rm \frac{d}{dx}(-\log y)=-\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\\ \)

= -1 / (x log x)    ....((1) से)

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा:

सूत्र:

log mn = n log m

\(\rm \frac{d(uv)}{dx} = v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}\)

\(\rm \frac{d\log x}{dx} = \frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{dx}{dx} = 1\)

गणना:

माना y = xlog x

दोनों पक्षों को log लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log y = xlog x

⇒ log y = log x log  x            (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ \(\rm \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log x \frac{dlogx}{dx} + logx \frac{d\log x}{dx}\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = y \left(\log x \times \frac{1}{x} + logx \times \frac{1}{x} \right )\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = \frac{x^{\log x}}{x}\ (2\log x)\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = x^{\log x-1} (\log x^2)\)

संकल्पना:

अवकलन का गुणनफल नियम:

माना h(x) = f(x)g(x), तब h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

दिया गया है, y = logy x

⇒ y = \(\frac{\log x}{\log y}\)

⇒ y log y = log x

दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

\(\frac{dy}{dx}\cdot\log y+y\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\)

\(\log y\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\)

⇒ \(\frac{dy}{dx}(1+\log y)=\frac{1}{x}\)

∴ \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{ x(1+\log y)}\)