Indefinite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

हम जानते हैं कि समाकल इस रूप का है:

अब, हम स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए f(3) का दिया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं:

⇒

हमें दिया गया है कि:

⇒

f(3) के दो व्यंजकों की तुलना करने पर:

⇒

चूँकि दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि C = 0 है।

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

⇒

अब, हम f(4) की गणना कर सकते हैं:

⇒

इस प्रकार, f(4) का मान है:

⇒

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

हल:

= 2 ln (x+3)+C

प्रयुक्त अवधारणा:

tan(x) = sin(x) / cos(x).

इसलिए, समाकल को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

∫ tan(x) dx = ∫ (sin(x) / cos(x)) dx.

इस व्यंजक को सरल करने के लिए हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।

गणना:

मान लीजिए cos(x) = u, तब:

du = -sin(x) dx.

इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:

∫ (sin(x) / cos(x)) dx = ∫ (-1 / u) du.

-1 / u का समाकल है:

-ln |u| + C.

u = cos(x) को वापस प्रतिस्थापित करने पर:

-ln |cos(x)| + C.

∴ ∫ tan(x) dx का हल है:

-ln(cos(x)) + C.

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

समाकल जिसे हल करना है: ∫ (1 / x^1/3) dx

प्रयुक्त अवधारणा:

xⁿ का x के सापेक्ष समाकल इस प्रकार दिया गया है:

∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n+1)) + C, जहाँ n ≠ -1 है। 

इस समस्या में, 1 / x^1/3 को x^-1/3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

गणना:

चरण 1: समाकल को फिर से लिखें:

∫ (1 / x^1/3) dx = ∫ x^-1/3 dx

चरण 2: सूत्र ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n+1)) + C लागू करें:

यहाँ, n = -1/3 है, इसलिए n + 1 = 2/3 

⇒ ∫ x^-1/3 dx = (x^2/3 / (2/3)) + C

चरण 3: भिन्न को सरल करें:

x^2/3 / (2/3) = (3/2)x^2/3

चरण 4: अंतिम उत्तर:

∫ (1 / x^1/3) dx = (3/2)x^2/3 + C

निष्कर्ष:

∴ सही उत्तर विकल्प 1: (3/2)x^2/3 + C है। 

संकल्पना:

1 + cos 2x = 2cos² x

1 - cos 2x = 2sin² x

गणना:

I = 

= 

= 

= 

= 

संकल्पना:

गणना:

I = 

= 

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = 

अब, 

I = 

=  + c

=  + c

संकल्पना:

गणना:

I = 

माना कि 2x + 3 = t² है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2dx = 2tdt

⇒ dx = tdt

अब, 

I = 

= 

= 

∵ 2x + 3 = t2

⇒  (2x + 3)1/2 = t

⇒ (2x + 3)3/2 = t3

⇒ I = 

संकल्पना:

गणना:

I = 

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = 

अब,

I = 

= 

= 

संकल्पना:

मानक समाकल से:

a\)

गणना:

माना कि t = e^x है। 

dt = e^x dx

मानक समाकल से:

उपरोक्त समीकरण में t = ex रखने पर:

सूचना:

समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र निम्न हैं:

धारणा:

गणना:

माना कि I =  

माना कि tan x = t

⇒ sec²x dx = dt

इसलिए समाकल बन जाता है।

t = tan x पुनः स्थानापन्न करें।

इसप्रकार,

अवधारणा:

= .....(i)

गणना:

माना, x2 = u

समीकरण (i) से

=

= u + + + C

अब  u का मान रखते हुए,

​⇒  = x2 +​  +  + C

∴ आवश्यक समाकलन x2 +​  +  + C है

धारणा:

गणना:

माना कि I = 

माना कि sin x = t

अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हुए हम प्राप्त करते हैं

⇒ cos x dx = dt

अब

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है

अवधारणा:

• cos 2x = cos²x - sin²x

गणना:

= 

= 

= 

= 

= -cot x - tan x + C

अवधारणा:

गणना:

मान लीजिये कि e^-x + 1 = t

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलती है

⇒ -e^-x dx = dt

∴ e-x dx = -dt