Indefinite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

हम जानते हैं कि समाकल इस रूप का है:

\( f(x) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} \right) + C \)

अब, हम स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए f(3) का दिया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं:

⇒ \( f(3) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{6}{5} \right) + C \)

हमें दिया गया है कि:

⇒ \( f(3) = \frac{1}{2} (\log_e 5 - \log_e 6) \)

f(3) के दो व्यंजकों की तुलना करने पर:

⇒ \( \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{6}{5} \right) + C = \frac{1}{2} (\log_e 5 - \log_e 6) \)

चूँकि दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि C = 0 है।

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

⇒ \( f(x) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} \right) \)

अब, हम f(4) की गणना कर सकते हैं:

⇒ \( f(4) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{16 + 3}{16 + 1} \right) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{19}{17} \right) \)

इस प्रकार, f(4) का मान है:

⇒ \( \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{19}{17} \right) \)

\( \frac{1}{2} (\log_e 19 - \log_e 17) \)

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

हल:

\(\int{\frac{2}{x+3}} dx\)

= 2 ln (x+3)+C

प्रयुक्त अवधारणा:

tan(x) = sin(x) / cos(x).

इसलिए, समाकल को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

∫ tan(x) dx = ∫ (sin(x) / cos(x)) dx.

इस व्यंजक को सरल करने के लिए हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।

गणना:

मान लीजिए cos(x) = u, तब:

du = -sin(x) dx.

इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:

∫ (sin(x) / cos(x)) dx = ∫ (-1 / u) du.

-1 / u का समाकल है:

-ln |u| + C.

u = cos(x) को वापस प्रतिस्थापित करने पर:

-ln |cos(x)| + C.

∴ ∫ tan(x) dx का हल है:

-ln(cos(x)) + C.

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

समाकल जिसे हल करना है: ∫ (1 / x^1/3) dx

प्रयुक्त अवधारणा:

xⁿ का x के सापेक्ष समाकल इस प्रकार दिया गया है:

∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n+1)) + C, जहाँ n ≠ -1 है। 

इस समस्या में, 1 / x^1/3 को x^-1/3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

गणना:

चरण 1: समाकल को फिर से लिखें:

∫ (1 / x^1/3) dx = ∫ x^-1/3 dx

चरण 2: सूत्र ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n+1)) + C लागू करें:

यहाँ, n = -1/3 है, इसलिए n + 1 = 2/3 

⇒ ∫ x^-1/3 dx = (x^2/3 / (2/3)) + C

चरण 3: भिन्न को सरल करें:

x^2/3 / (2/3) = (3/2)x^2/3

चरण 4: अंतिम उत्तर:

∫ (1 / x^1/3) dx = (3/2)x^2/3 + C

निष्कर्ष:

∴ सही उत्तर विकल्प 1: (3/2)x^2/3 + C है। 

संकल्पना:

1 + cos 2x = 2cos² x

1 - cos 2x = 2sin² x

\(\rm \int \cos x\;dx = \sin x + c\)

गणना:

I = \(\rm \int cos^2 x\;dx\)

= \(\rm \int \frac{1+\cos 2x}{2}\;dx\)

= \(\rm \frac{1}{2}\int (1+\cos 2x)\;dx\)

= \(\rm \frac{1}{2} \left[x+\frac{\sin 2x}{2} \right ] + c\)

= \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} + c\)

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= \sin^{-1 } \left(\frac{x}{a} \right ) + c\)

गणना:

I = \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-25x^2}}dx\)

= \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-(5x)^2}}dx\)

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = \(\rm \frac {dt}{5}\)

अब, 

I = \(\rm \frac {1}{5}\int \frac {1}{\sqrt{4^2-t^2}} dt\)

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac t 4 \right)\) + c

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac {5x} {4} \right)\) + c

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +c\)

गणना:

I = \(\rm \int \sqrt{2x+3}\;dx\)

माना कि 2x + 3 = t² है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2dx = 2tdt

⇒ dx = tdt

अब, 

I = \(\rm \int \sqrt{t^2}\; \times tdt\)

= \(\rm \int t^2 \;dt\)

= \(\rm \frac {t^3}{3} + c\)

∵ 2x + 3 = t2

⇒  (2x + 3)1/2 = t

⇒ (2x + 3)3/2 = t3

⇒ I = \(\rm \frac {(2x+3)^{3/2}}{3} + c\)

संकल्पना:

\(\rm \int \sin x \; dx = -\cos x + c\)

गणना:

I = \(\rm \int \sin 5x\;dx \)

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = \(\rm \frac{dt}{5} \)

अब,

I = \(\rm \frac 1 5 \int \sin t\;dt \)

= \(\rm \frac 1 5 (-\cos t) + c\)

= \(\rm \frac{-\cos 5x}{5} + c\)

संकल्पना:

मानक समाकल से:

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacqGHRiI8daWcaaWdaeaapeGaamizaiaadIhaa8aabaWdbiaadIha % paWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadggapaWaaWbaaS % qabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaaGymaaWd % aeaapeGaaGOmaiaadggaaaGaamiBaiaad+gacaWGNbWaaqWaa8aaba % Wdbmaalaaapaqaa8qacaWG4bGaeyOeI0IaamyyaaWdaeaapeGaamiE % aiabgUcaRiaadggaaaaacaGLhWUaayjcSdaaaa!4EB0! \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}log\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right|\)\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{x^2} - a^2}}=\frac{1}{2a}log \ |\frac{x-a}{x+a}|+C, \ x>a\)

गणना:

\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 4}}dx\)

\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{({e^{x})^2} - (2)^2}}dx\)

माना कि t = e^x है। 

dt = e^x dx

\(\smallint \frac{{{dt}}}{{({t)^2} - (2)^2}}\)

मानक समाकल से:

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacqGHRiI8daWcaaWdaeaapeGaamizaiaadIhaa8aabaWdbiaadIha % paWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadggapaWaaWbaaS % qabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaaGymaaWd % aeaapeGaaGOmaiaadggaaaGaamiBaiaad+gacaWGNbWaaqWaa8aaba % Wdbmaalaaapaqaa8qacaWG4bGaeyOeI0IaamyyaaWdaeaapeGaamiE % aiabgUcaRiaadggaaaaacaGLhWUaayjcSdaaaa!4EB0! \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}log\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right|\)\(\smallint \frac{{{dt}}}{{({t)^2} - (2)^2}}=\frac{1}{4}log \ |\frac{t-a}{t+a}|+C\)

उपरोक्त समीकरण में t = ex रखने पर:

\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 4}}dx=\frac{1}{4}\log \left| {\frac{{{e^x} - 2}}{{{e^x} + 2}}} \right| + C\)

सूचना:

समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र निम्न हैं:

\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{a^2} - x^2}}=\frac{1}{2a}log \ |\frac{a+x}{a-x}|+C, \ x

\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{\sqrt{{a^2} - x^2}}}}=sin^{-1}(\frac{x}{a})+C\)

\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{\sqrt{{x^2} + a^2}}}}=log (\ x + \sqrt{a^2+x^2}) +C\)

धारणा:

• \(\smallint {\rm{se}}{{\rm{c}}^2}{\rm{x\;dx}} = \tan {\rm{x}} + {\rm{\;C}}\)
• \(\smallint \sec {\rm{x}}\tan {\rm{x\;dx}} = \sec {\rm{x}} + {\rm{c}}\)

गणना:

माना कि I = \(\smallint \frac{{\sin {\rm{x}}}}{{{{\left( {\cos {\rm{x}}} \right)}^3}}}{\rm{dx}}\) 

\( = {\rm{\;}}\smallint \tan {\rm{x\;}}{\sec ^2}{\rm{x\;dx}}\)

माना कि tan x = t

⇒ sec²x dx = dt

इसलिए समाकल बन जाता है।

\(= {\rm{\;}}\smallint {\rm{t\;dt}}\)

\( = \frac{{{{\rm{t}}^2}}}{2} + {\rm{\;C}}\)

t = tan x पुनः स्थानापन्न करें।

इसप्रकार,

\( = {\rm{\;}}\frac{{{{\tan }^2}{\rm{x}}}}{2} + {\rm{\;C}}\)

अवधारणा:

\(\rm \int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4})d(x^2)\) .....(i)

गणना:

माना, x2 = u

समीकरण (i) से

\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2})du\)

= u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\) + C

अब  u का मान रखते हुए,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ आवश्यक समाकलन x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C है

धारणा:

• \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}+1}}}}{{\rm{n+1}}} + {\rm{c}}\)

गणना:

माना कि I = \(\smallint {\sin ^3}x\cos x\;dx\)

माना कि sin x = t

अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हुए हम प्राप्त करते हैं

⇒ cos x dx = dt

अब

\({\rm{I\;}} = \smallint {\sin ^3}{\rm{x}}\cos {\rm{x\;dx}} = {\rm{\;}}\smallint {{\rm{t}}^3}{\rm{dt}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{t}}^4}}}{4} + {\rm{c}}\)

\(\Rightarrow {\rm{I\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\sin }^4}{\rm{x}}}}{4} + {\rm{c}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}} \right)}^2}}}{4} + {\rm{c\;}}\)

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है

अवधारणा:

• cos 2x = cos²x - sin²x

गणना:

\(\int\frac{\cos2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx\)

= \(\int\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{\cos^2x.\sin^2x}dx \)

= \(\rm \int \left ( \frac{1}{sin^{2}x}-\frac{1}{cos^{2}x} \right )dx\)

= \(\rm \int \frac{1}{sin^{2}x}dx-\int \frac{1}{cos^{2}x} dx\)

= \(\rm \int cosec^{2}xdx-\int sec^{2}x dx\)

= -cot x - tan x + C

अवधारणा:

\(\rm \displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx= \log x + c\)

गणना:

\(\rm \text{Let I}=\displaystyle\int \dfrac{1}{1+e^x}dx \\=\rm\displaystyle\int \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1}dx \)

मान लीजिये कि e^-x + 1 = t

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलती है

⇒ -e^-x dx = dt

∴ e-x dx = -dt

\(\rm =\displaystyle\int \dfrac{-dt}{t}\\= -\log t + c\\=-\log (e^{-x}+1)+c\\=\log \left(\frac{1}{e^{-x}+1} \right )+c\\=\log \left(\frac{e^x}{1+e^x} \right )+c\)