Indefinite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 30, 2025
Latest Indefinite Integrals MCQ Objective Questions
Indefinite Integrals Question 1:
मान लीजिये \(\rm f(x)=\int \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+3\right)} d x\).
यदि \(\rm f(3)=\frac{1}{2}\left(\log _{e} 5-\log _{e} 6\right)\), तब f(4) बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 1 Detailed Solution
गणना:
हम जानते हैं कि समाकल इस रूप का है:
\( f(x) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} \right) + C \)
अब, हम स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए f(3) का दिया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं:
⇒ \( f(3) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{6}{5} \right) + C \)
हमें दिया गया है कि:
⇒ \( f(3) = \frac{1}{2} (\log_e 5 - \log_e 6) \)
f(3) के दो व्यंजकों की तुलना करने पर:
⇒ \( \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{6}{5} \right) + C = \frac{1}{2} (\log_e 5 - \log_e 6) \)
चूँकि दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि C = 0 है।
इस प्रकार, फलन बन जाता है:
⇒ \( f(x) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} \right) \)
अब, हम f(4) की गणना कर सकते हैं:
⇒ \( f(4) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{16 + 3}{16 + 1} \right) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{19}{17} \right) \)
इस प्रकार, f(4) का मान है:
⇒ \( \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{19}{17} \right) \)
\( \frac{1}{2} (\log_e 19 - \log_e 17) \)
अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।
Indefinite Integrals Question 2:
समाकलन \(\rm I=\int\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x}dx\) बराबर है -
(जहाँ c समाकलन का अचरांक है|)
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 2 Detailed Solution
Indefinite Integrals Question 3:
हल करें: ∫ 2/(x+3) dx?
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 3 Detailed Solution
हल:
\(\int{\frac{2}{x+3}} dx\)
= 2 ln (x+3)+C
Indefinite Integrals Question 4:
हल करें: ∫ tan x dx
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 4 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
tan(x) = sin(x) / cos(x).
इसलिए, समाकल को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
∫ tan(x) dx = ∫ (sin(x) / cos(x)) dx.
इस व्यंजक को सरल करने के लिए हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
गणना:
मान लीजिए cos(x) = u, तब:
du = -sin(x) dx.
इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
∫ (sin(x) / cos(x)) dx = ∫ (-1 / u) du.
-1 / u का समाकल है:
-ln |u| + C.
u = cos(x) को वापस प्रतिस्थापित करने पर:
-ln |cos(x)| + C.
∴ ∫ tan(x) dx का हल है:
-ln(cos(x)) + C.
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।
Indefinite Integrals Question 5:
निम्न को हल कीजिए:
∫ 1/x1/3 dx?
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
समाकल जिसे हल करना है: ∫ (1 / x1/3) dx
प्रयुक्त अवधारणा:
xn का x के सापेक्ष समाकल इस प्रकार दिया गया है:
∫ xn dx = (xn+1 / (n+1)) + C, जहाँ n ≠ -1 है।
इस समस्या में, 1 / x1/3 को x-1/3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
गणना:
चरण 1: समाकल को फिर से लिखें:
∫ (1 / x1/3) dx = ∫ x-1/3 dx
चरण 2: सूत्र ∫ xn dx = (xn+1 / (n+1)) + C लागू करें:
यहाँ, n = -1/3 है, इसलिए n + 1 = 2/3
⇒ ∫ x-1/3 dx = (x2/3 / (2/3)) + C
चरण 3: भिन्न को सरल करें:
x2/3 / (2/3) = (3/2)x2/3
चरण 4: अंतिम उत्तर:
∫ (1 / x1/3) dx = (3/2)x2/3 + C
निष्कर्ष:
∴ सही उत्तर विकल्प 1: (3/2)x2/3 + C है।
Top Indefinite Integrals MCQ Objective Questions
\(\rm \int cos^2 x\;dx\) का मूल्यांकन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 6 Detailed Solution
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1 + cos 2x = 2cos2 x
1 - cos 2x = 2sin2 x
\(\rm \int \cos x\;dx = \sin x + c\)
गणना:
I = \(\rm \int cos^2 x\;dx\)
= \(\rm \int \frac{1+\cos 2x}{2}\;dx\)
= \(\rm \frac{1}{2}\int (1+\cos 2x)\;dx\)
= \(\rm \frac{1}{2} \left[x+\frac{\sin 2x}{2} \right ] + c\)
= \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} + c\)
\(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-25x^2}}dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 7 Detailed Solution
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\(\rm \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= \sin^{-1 } \left(\frac{x}{a} \right ) + c\)
गणना:
I = \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-25x^2}}dx\)
= \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-(5x)^2}}dx\)
माना कि 5x = t है।
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ 5dx = dt
⇒ dx = \(\rm \frac {dt}{5}\)
अब,
I = \(\rm \frac {1}{5}\int \frac {1}{\sqrt{4^2-t^2}} dt\)
= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac t 4 \right)\) + c
= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac {5x} {4} \right)\) + c
\(\rm \int \sqrt{2x+3}\;dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 8 Detailed Solution
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\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +c\)
गणना:
I = \(\rm \int \sqrt{2x+3}\;dx\)
माना कि 2x + 3 = t2 है।
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ 2dx = 2tdt
⇒ dx = tdt
अब,
I = \(\rm \int \sqrt{t^2}\; \times tdt\)
= \(\rm \int t^2 \;dt\)
= \(\rm \frac {t^3}{3} + c\)
∵ 2x + 3 = t2
⇒ (2x + 3)1/2 = t
⇒ (2x + 3)3/2 = t3
⇒ I = \(\rm \frac {(2x+3)^{3/2}}{3} + c\)
\(\rm \int \sin 5x\;dx = \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 9 Detailed Solution
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\(\rm \int \sin x \; dx = -\cos x + c\)
गणना:
I = \(\rm \int \sin 5x\;dx \)
माना कि 5x = t है।
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ 5dx = dt
⇒ dx = \(\rm \frac{dt}{5} \)
अब,
I = \(\rm \frac 1 5 \int \sin t\;dt \)
= \(\rm \frac 1 5 (-\cos t) + c\)
= \(\rm \frac{-\cos 5x}{5} + c\)
\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 4}}dx\) का मान ____________होगा, जहाँ C यदृच्छ अचर है।
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 10 Detailed Solution
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मानक समाकल से:
\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacqGHRiI8daWcaaWdaeaapeGaamizaiaadIhaa8aabaWdbiaadIha % paWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadggapaWaaWbaaS % qabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaaGymaaWd % aeaapeGaaGOmaiaadggaaaGaamiBaiaad+gacaWGNbWaaqWaa8aaba % Wdbmaalaaapaqaa8qacaWG4bGaeyOeI0IaamyyaaWdaeaapeGaamiE % aiabgUcaRiaadggaaaaacaGLhWUaayjcSdaaaa!4EB0! \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}log\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right|\)\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{x^2} - a^2}}=\frac{1}{2a}log \ |\frac{x-a}{x+a}|+C, \ x>a\)
गणना:
\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 4}}dx\)
\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{({e^{x})^2} - (2)^2}}dx\)
माना कि t = ex है।
dt = ex dx
\(\smallint \frac{{{dt}}}{{({t)^2} - (2)^2}}\)
मानक समाकल से:
\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacqGHRiI8daWcaaWdaeaapeGaamizaiaadIhaa8aabaWdbiaadIha % paWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadggapaWaaWbaaS % qabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaaGymaaWd % aeaapeGaaGOmaiaadggaaaGaamiBaiaad+gacaWGNbWaaqWaa8aaba % Wdbmaalaaapaqaa8qacaWG4bGaeyOeI0IaamyyaaWdaeaapeGaamiE % aiabgUcaRiaadggaaaaacaGLhWUaayjcSdaaaa!4EB0! \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}log\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right|\)\(\smallint \frac{{{dt}}}{{({t)^2} - (2)^2}}=\frac{1}{4}log \ |\frac{t-a}{t+a}|+C\)
उपरोक्त समीकरण में t = ex रखने पर:
\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 4}}dx=\frac{1}{4}\log \left| {\frac{{{e^x} - 2}}{{{e^x} + 2}}} \right| + C\)
सूचना:
समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र निम्न हैं:
\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{a^2} - x^2}}=\frac{1}{2a}log \ |\frac{a+x}{a-x}|+C, \ x
\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{\sqrt{{a^2} - x^2}}}}=sin^{-1}(\frac{x}{a})+C\)
\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{\sqrt{{x^2} + a^2}}}}=log (\ x + \sqrt{a^2+x^2}) +C\)
मूल्यांकन करें: \(\smallint \frac{{\sin {\rm{x}}}}{{{{\left( {\cos {\rm{x}}} \right)}^3}}}{\rm{dx}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
- \(\smallint {\rm{se}}{{\rm{c}}^2}{\rm{x\;dx}} = \tan {\rm{x}} + {\rm{\;C}}\)
- \(\smallint \sec {\rm{x}}\tan {\rm{x\;dx}} = \sec {\rm{x}} + {\rm{c}}\)
गणना:
माना कि I = \(\smallint \frac{{\sin {\rm{x}}}}{{{{\left( {\cos {\rm{x}}} \right)}^3}}}{\rm{dx}}\)
\( = {\rm{\;}}\smallint \tan {\rm{x\;}}{\sec ^2}{\rm{x\;dx}}\)
माना कि tan x = t
⇒ sec2x dx = dt
इसलिए समाकल बन जाता है।
\(= {\rm{\;}}\smallint {\rm{t\;dt}}\)
\( = \frac{{{{\rm{t}}^2}}}{2} + {\rm{\;C}}\)
t = tan x पुनः स्थानापन्न करें।
इसप्रकार,
\( = {\rm{\;}}\frac{{{{\tan }^2}{\rm{x}}}}{2} + {\rm{\;C}}\)
x2 के संबंध में f(x) = 1 + x2 + x4 का समाकलन क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 12 Detailed Solution
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\(\rm \int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)
\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4})d(x^2)\) .....(i)
गणना:
माना, x2 = u
समीकरण (i) से
\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2})du\)
= u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\) + C
अब u का मान रखते हुए,
⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 + \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C
∴ आवश्यक समाकलन x2 + \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C है
\(\smallint {\sin ^3}x\cos x\;dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
- \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}+1}}}}{{\rm{n+1}}} + {\rm{c}}\)
गणना:
माना कि I = \(\smallint {\sin ^3}x\cos x\;dx\)
माना कि sin x = t
अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हुए हम प्राप्त करते हैं
⇒ cos x dx = dt
अब
\({\rm{I\;}} = \smallint {\sin ^3}{\rm{x}}\cos {\rm{x\;dx}} = {\rm{\;}}\smallint {{\rm{t}}^3}{\rm{dt}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{t}}^4}}}{4} + {\rm{c}}\)
\(\Rightarrow {\rm{I\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\sin }^4}{\rm{x}}}}{4} + {\rm{c}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}} \right)}^2}}}{4} + {\rm{c\;}}\)
∴ विकल्प 4 सही उत्तर है
\(\int\frac{\cos2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx= \ ?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 14 Detailed Solution
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- cos 2x = cos2x - sin2x
गणना:
\(\int\frac{\cos2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx\)
= \(\int\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{\cos^2x.\sin^2x}dx \)
= \(\rm \int \left ( \frac{1}{sin^{2}x}-\frac{1}{cos^{2}x} \right )dx\)
= \(\rm \int \frac{1}{sin^{2}x}dx-\int \frac{1}{cos^{2}x} dx\)
= \(\rm \int cosec^{2}xdx-\int sec^{2}x dx\)
= -cot x - tan x + C
\(\rm\displaystyle\int \dfrac{1}{1+e^x}dx\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Indefinite Integrals Question 15 Detailed Solution
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\(\rm \displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx= \log x + c\)
गणना:
\(\rm \text{Let I}=\displaystyle\int \dfrac{1}{1+e^x}dx \\=\rm\displaystyle\int \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1}dx \)
मान लीजिये कि e-x + 1 = t
x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलती है
⇒ -e-x dx = dt
∴ e-x dx = -dt
\(\rm =\displaystyle\int \dfrac{-dt}{t}\\= -\log t + c\\=-\log (e^{-x}+1)+c\\=\log \left(\frac{1}{e^{-x}+1} \right )+c\\=\log \left(\frac{e^x}{1+e^x} \right )+c\)