Fluid Kinematics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fluid Kinematics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

द्रव यांत्रिकी में, प्रवाह रेखाएँ द्रव कणों की गति के दृश्य प्रतिनिधित्व को संदर्भित करती हैं। प्रवाह रेखाओं के तीन प्राथमिक प्रकार हैं:

1. पथ रेखा (Pathline) - एकल द्रव कण द्वारा समय के साथ अनुसरण किया गया प्रक्षेप पथ।

2. धारा रेखा (Streakline) - एक रेखा जो उन सभी द्रव कणों द्वारा बनाई गई है जो एक विशेष बिंदु से गुजरे हैं।

3. प्रवाह रेखा (Streamline) - प्रत्येक बिंदु पर प्रवाह के वेग सदिश के लिए स्पर्शी रेखा।

ऊर्जा रेखा (Energy line):

• प्रवाह क्षेत्र में कुल शीर्ष (प्रति इकाई भार ऊर्जा) का प्रतिनिधित्व करने वाली रेखा को संदर्भित करता है।

• यह बर्नोली के समीकरण से संबंधित है और इसका उपयोग हाइड्रोलिक ग्रेड लाइन अध्ययनों में किया जाता है।

• यह नहीं है प्रवाह रेखा का एक प्रकार जो द्रव कणों की गति या स्थिति को दर्शाता है।

गणना:

बलों की गणना करें:

⇒ Fℓ = (P0 + ρℓ g h) A

⇒ Fw = (P0 + ρw g h) A

इसलिए,

⇒ Fबाह्य = Fℓ - Fw

⇒ Fबाह्य = [ (P0 + ρℓ g h) - (P0 + ρw g h) ] A

⇒ Fबाह्य = (ρℓ - ρw) g h A

⇒ Fबाह्य = (1500 - 1000) × 10 × 3 × (100 × 10-4)

⇒ Fबाह्य = 150 N

∴ आवश्यक बाह्य बल 150 N है।

संकल्पना:

2D प्रवाह के लिए, धारा रेखा का समीकरण दिया गया है:

\( \frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} \)

दिया गया है:

\( u = -y^2, \quad v = -6x \)

इसलिए,

\( \frac{dx}{-y^2} = \frac{dy}{-6x} \Rightarrow \frac{dx}{y^2} = \frac{dy}{6x} \)

तिर्यक गुणा करने पर:

\( 6x \, dx = y^2 \, dy \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

\( \int 6x \, dx = \int y^2 \, dy \Rightarrow 3x^2 = \frac{y^3}{3} + C \)

3 से गुणा करने पर:

\( 9x^2 - y^3 = C \)

बिंदु (1,1) का उपयोग करने पर:

\( 9(1)^2 - (1)^3 = 8 \Rightarrow C = 8 \)

संकल्पना:

2D असंपीड्य प्रवाह के लिए, सांतत्य समीकरण अवश्य ही मान्य होना चाहिए:

\( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \)

विकल्प 3 के लिए जाँच:

\( u = x + y,\; v = x - y \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = 1,\; \frac{\partial v}{\partial y} = -1 \)

\( \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 1 - 1 = 0 \)

संकल्पना:

एक फलन \( \phi(x, y) \) एक मान्य स्थितिज फलन होता है यदि इसके मिश्रित द्वितीय-क्रम आंशिक अवकलज समान हों:

\( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} \)

विकल्प की जाँच:

\( \phi(x, y) = y^3 - 3x^2y \)

\( \frac{\partial \phi}{\partial x} = -6xy \Rightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = -6x \)

\( \frac{\partial \phi}{\partial y} = 3y^2 - 3x^2 \Rightarrow \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} = -6x \)

चूँकि मिश्रित आंशिक अवकलज समान हैं, इसलिए फलन एक मान्य स्थितिज फलन है।

धारणा:

धारा रेखा के अनुदिश प्रवाह के लिए त्वरण निम्न रूप में दिया जाता है

यदि V = f(s, t)

तो \(dV = \frac{{\partial V}}{{\partial s}}ds + \frac{{\partial V}}{{\partial t}}dt\)

\(a = \frac{{dV}}{{dt}} = \;\frac{{\partial V}}{{\partial s}} \times \frac{{ds}}{{dt}} + \frac{{\partial V}}{{\partial t}}\) 

स्थिर प्रवाह के लिए \(\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = 0\)

फिर \(a = \frac{{\partial V}}{{\partial s}} \times \frac{{ds}}{{dt}}\) 

चूँकि V = f(s) केवल स्थिर प्रवाह के लिए इसलिए \(\frac{{\partial v}}{{\partial s}} = \frac{{dv}}{{ds}}\)

इसलिए \(a = V \times \frac{{dV}}{{ds}}\)

गणना:

दिया हुआ, V_A = 2 m/s, V_B = 5 m/s, और दूरी s = 1 m

\(\frac{{dV}}{{ds}} = \frac{{\left( {5 - 2} \right)}}{1} = 3\)

तो B पर द्रव का त्वरण है

\({a_B} = {V_B} \times \frac{{dV}}{{ds}} = 5 \times 3 = 15\)

संकल्पना:

जलावर्त प्रवाह:

किसी घुमावदार पथ में तरल पदार्थ की गति को जलावर्त प्रवाह के रूप में जाना जाता है। 

जब कुछ द्रव्य वाले एक बेलनाकार पात्र को इसके ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो जलावर्त प्रवाह का पालन द्रव्य द्वारा किया जायेगा। 

जलावर्त गति दो प्रकार के होते हैं:

1. बलात् जलावर्त:

• बलात् जलावर्त में तरल पदार्थ बाहरी बलाघूर्ण के प्रभाव के तहत वक्र पर गतिमान होता है। 
• बाहरी बलाघूर्ण के कारण बलात् जलावर्त घूर्णी प्रवाह होता है। 
• चूँकि यहाँ ऊर्जा का निरंतर व्यय होता है, इसलिए बरनौली का समीकरण बलात् जलावर्त के लिए मान्य नहीं है। 
• बलात् जलावर्त के लिए v = rω लागू है। 
• उदाहरण:
  • टरबाइन के वाहक के माध्यम से पानी का प्रवाह। 
  • वाशिंग मशीन में पानी का घूर्णन। 

2. मुक्त जलावर्त:

• जब किसी बाहरी बलाघूर्ण की आवश्यकता तरल पदार्थ को घुमाने के लिए नहीं होती है, तो इस प्रकार के प्रवाह को मुक्त जलावर्त कहा जाता है। 
• चूँकि मुक्त जलावर्त में कोई बलाघूर्ण नहीं होता है, इसलिए मुक्त जलावर्त अघूर्णी प्रवाह होता है। 
• मुक्त जलावर्त के लिए संवेग का आघूर्ण स्थिरांक अर्थात् vr = स्थिरांक होता है।
• उदाहरण:
  • एक पात्र के निचले भाग पर प्रदान किये गए छिद्र के माध्यम से द्रव्य का प्रवाह 
  • बाथटब का रिसाव। 

जलावर्त प्रवाह लागू बलाघूर्ण के आधार पर घूर्णी और अघूर्णी प्रवाह दोनों होता है।

व्याख्या:

असंपीड्य प्रवाह: यह उस प्रकार का प्रवाह है जिसमें द्रव प्रवाह के लिए घनत्व स्थिर रहता है। तरल पदार्थ आमतौर पर असंपीड्य होते हैं जबकि गैसें संपीडित होती हैं।

गणितीय रूप से, ρ = स्थिरांक।

ये पटलीय या उपद्रव, बाहरी या आंतरिक हो सकते हैं।

पटलीय या उपद्रव प्रवाह को असंपीड्य माना जाता है यदि घनत्व स्थिर है या प्रवाह को संपीड़ित करने में द्रव कम ऊर्जा के साथ फैलता है। इसलिए अलग-अलग घनत्व (असंपीड़ित) प्रवाह वाला प्रवाह पटलीय या उपद्रव हो सकता है।

 Additional Information

संपीडित प्रवाह: वह प्रवाह जिसमें द्रव का घनत्व एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलता है या द्रव के लिए घनत्व स्थिर नहीं होता है

गणितीय रूप से, संपीड़ित प्रवाह के लिए ρ ≠ स्थिरांक

व्याख्या:

वेग विभव फलन

• इस फलन को किसी प्रवाह में स्थान और समय के फलन के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जिससे किसी भी दिशा के संबंध में इस फलन का ऋणात्मक अवकलन उस दिशा में तरल पदार्थ का वेग प्रदान करता है।

वेग विभव फलन के गुण:

• यदि वेग विभव (ϕ) मौजूद है तो प्रवाह होगा।
• प्रवाह के लिए वेग विभव फलन मौजूद है तो प्रवाह अघूर्णी होना चाहिए।
• यदि वेग विभव (ϕ) लैप्लस समीकरण को संतुष्ट करता है तो यह संभावित स्थिर असंपीड्य अघूर्णी प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है।

अतिरिक्त जानकारी

धारा फलन:

• यह स्थान और समय का अदिश फलन है।
• किसी भी दिशा के संबंध में धारा फलन का आंशिक अवकलज उस दिशा के लंबवत वेग का घटक देता है। इसलिए यह एक प्रवाह के लिए स्थिर रहता है
• धारा फलन केवल दो-आयामी प्रवाह के लिए परिभाषित करता है जो स्थिर और असंगत है|

धारा फलन के गुण:

1. यदि ψ मौजूद है तो यह निरंतरता समीकरण का अनुसरण करता है और प्रवाह घूर्णी या अघूर्णी हो सकता है।

2. यदि ψ लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है तो प्रवाह अघूर्णी होगा।

वर्णन:

किसी प्रवाह के कुल त्वरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\frac{D\vec V}{Dt}=\frac{\partial\vec V}{\partial t}+u\frac{\partial\vec V}{\partial x}+v\frac{\partial\vec V}{\partial y}+w\frac{\partial\vec V}{\partial z}\)

कुल अवकल,

\(\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}\)

कुल अवकल D/Dt को समय के संबंध में पदार्थ या तात्त्विक अवकलज के रूप में जाना जाता है। 

दाएँ पक्ष में पहले पद \(\frac{\partial}{\partial t}\) को अस्थायी या स्थानीय अवकलज के रूप में जाना जाता है जो एक निर्दिष्ट स्थिति पर समय के साथ परिवर्तन की दर को व्यक्त करता है। 

दाएँ पक्ष में अंतिम तीन पद \(u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}\) को संवहनी अवकलज के रूप में जाना जाता है जो क्षेत्र की स्थिति में परिवर्तन के कारण होने वाले परिवर्तन की समय दर को दर्शाता है। 

स्पष्टीकरण:

मुक्त जलावर्त

जब तरल पिंड बिना किसी बाहरी बलाघूर्ण के अक्ष के चारों ओर गति करता है तो उसे मुक्त जलावर्त के रूप में जाना जाता है और मुक्त जलावर्त गति एक अघूर्णी प्रवाह होता है।

बलकृत जलावर्त

जब एक अक्ष के चारों ओर एक नियत कोणीय वेग पर तरल पिंड के घूर्णन के लिए एक बाहरी बल की आवश्यकता हो, तो यह बलकृत जलावर्त के रूप में जाना जाता है।

जलावर्त प्रवाह के आधारभूत समीकरणों पर विचार करके मुक्त जलावर्त प्रवाह के लिए स्थिति की व्युत्पत्ति के लिए बर्नौली का समीकरण मान्य होगा, जो अंततः प्रवाह को अघूर्णी सिद्ध करता है (बर्नौली समीकरण की अवधारणाओं में से एक)।

अवधारणा:

निरंतरता समीकरण: यह द्रव्यमान प्रवाह दर का संरक्षण है।

• ρ1A1V1 =  ρ1A1V1

असंपीड्य तरल के लिए घनत्व स्थिर होगा, इस प्रकार निरंतरता समीकरण निम्न होगा:

• A1V1 = A2V2  

जहां, A1, A2 = क्रमशः खंड 1 और 2 के क्षेत्र, V1, V2 = क्रमशः खंड 1 और 2 के वेग

द्रव की प्रवाह दर Q = AV के बराबर है।

गणना:

दिया हुआ:

क्षेत्र: A1 = 0.25 m2, A2 = 0.1 m2.

प्रवाह दर: Q = 0.1 m3/s.

Q = A1V1 = A2V2 

\(V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0.1}{0.25} = 0.4\ m/s\)

\(V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.1}{0.1} = 1\ m/s\)

∴ घटते पाइप में प्रवाह का वेग 1 m/s है

संकल्पना:

जलावर्त प्रवाह:

किसी घुमावदार पथ में तरल पदार्थ की गति को जलावर्त प्रवाह के रूप में जाना जाता है। 

जब कुछ द्रव्य वाले एक बेलनाकार पात्र को इसके ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो जलावर्त प्रवाह का पालन द्रव्य द्वारा किया जायेगा। 

जलावर्त गति दो प्रकार के होते हैं:

1. बलात् जलावर्त:

• बलात् जलावर्त में तरल पदार्थ बाहरी बलाघूर्ण के प्रभाव के तहत वक्र पर गतिमान होता है। 
• बाहरी बलाघूर्ण के कारण बलात् जलावर्त घूर्णी प्रवाह होता है। 
• चूँकि यहाँ ऊर्जा का निरंतर व्यय होता है, इसलिए बरनौली का समीकरण बलात् जलावर्त के लिए मान्य नहीं है। 
• बलात् जलावर्त के लिए v = rω लागू है। 
• उदाहरण:
  • टरबाइन के वाहक के माध्यम से पानी का प्रवाह। 
  • वाशिंग मशीन में पानी का घूर्णन। 

2. मुक्त जलावर्त:

• जब किसी बाहरी बलाघूर्ण की आवश्यकता तरल पदार्थ को घुमाने के लिए नहीं होती है, तो इस प्रकार के प्रवाह को मुक्त जलावर्त कहा जाता है। 
• चूँकि मुक्त जलावर्त में कोई बलाघूर्ण नहीं होता है, इसलिए मुक्त जलावर्त अघूर्णी प्रवाह होता है। 
• मुक्त जलावर्त के लिए संवेग का आघूर्ण स्थिरांक अर्थात् vr = स्थिरांक होता है।
• उदाहरण:
  • एक पात्र के निचले भाग पर प्रदान किये गए छिद्र के माध्यम से द्रव्य का प्रवाह 
  • बाथटब का रिसाव। 

जलावर्त प्रवाह लागू बलाघूर्ण के आधार पर घूर्णी और अघूर्णी प्रवाह दोनों होता है।

स्थिर प्रवाह: जब वेग और अन्य द्रव्यगतिक मापदंड किसी दिए गए बिंदु पर समय के साथ परिवर्तित नहीं होता है, तो प्रवाह को स्थिर प्रवाह के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अस्थिर प्रवाह: जब वेग और अन्य द्रव्यगतिक मापदंड किसी दिए गए बिंदु पर समय के साथ परिवर्तित होता है, तो इसे अस्थिर प्रवाह के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एकसमान प्रवाह: प्रवाह को एकसमान प्रवाह के रूप में तब परिभाषित किया जाता है जब वेग और अन्य द्रव्यगतिक मापदंड किसी दिए गए समयावधि पर बिंदु से बिंदु तक परिवर्तित नहीं होता है।

गैर-एकसमान प्रवाह: प्रवाह को गैर-एकसमान प्रवाह के रूप में तब परिभाषित किया जाता है जब वेग और अन्य द्रव्यगतिक मापदंड किसी दिए गए समयावधि पर बिंदु से बिंदु तक परिवर्तित होता है।

u = x + 2t का दिया गया फलन

u = f (x, t)                                                                                   

u समय और स्थान दोनों का एक फलन है। इसलिए वेग समय व स्थान के साथ अलग होगा। अतः यह अस्थिर और गैर-एकसमान प्रवाह है।

सामान्य सातत्य समीकरण:

\(\begin{array}{l} \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho w} \right)}}{{\partial z}} + \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0\\ \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \vec \nabla.\left( {\rho \vec V} \right) = 0 \end{array}\)

असंपीड्य व स्थिर प्रवाह के लिए:

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0\)

\(\vec \nabla \cdot {\rm{\vec V}} = 0\)

∴ प्रवाह को स्थिर व असंपीड्य होना आवश्यक है।