Evaluation of Limits MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of Limits - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया फलन \( f(x) = x^2 + 9 \) है। 

कथन I: f(x) एक वर्धमान फलन है।

f(x) का अवकलज है:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 9) = 2x \)

जब \(( x > 0 )\), \(( f'(x) > 0 )\) है, इसलिए (f(x) वर्धमान है।

जब (x < 0), f'(x) < 0 ) है, इसलिए f(x) ह्रासमान है।

(x = 0) पर, ( f'(x) = 0 ), जिसका अर्थ है कि फलन इस बिंदु पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

इसलिए, f(x) पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह (x > 0) के लिए वर्धमान है और ( x < 0) के लिए ह्रासमान है।

कथन II: f(x) का स्थानीय उच्चिष्ठ x = 0 पर है। 

चूँकि फलन \( f(x) = x^2 + 9 \) ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है (क्योंकि x² का गुणांक धनात्मक है), इसका x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

निष्कर्ष:

- कथन I गलत है क्योंकि फलन पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह x > 0 के लिए वर्धमान है और x < 0 के लिए ह्रासमान है।

- कथन II गलत है क्योंकि फलन का x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9} - 3 \) और \( g(x) = \sqrt{x^2 + 16} - 4 \).है,

हमें यह ज्ञात करना है:

\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \)

अंश और हर दोनों को उनके संगत संयुग्मों से गुणा करने पर:

\( \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{\sqrt{x^2 + 16} - 4} \times \frac{\sqrt{x^2 + 9} + 3}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} \times \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 16} + 4} \)

अंश को सरल करने पर:

\( (\sqrt{x^2 + 9} - 3)(\sqrt{x^2 + 9} + 3) = x^2 \)

हर को सरल करने पर:

\( (\sqrt{x^2 + 16} - 4)(\sqrt{x^2 + 16} + 4) = x^2 \)

अब, व्यंजक बन जाता है:

\( \frac{x^2}{x^2} \times \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} \)

सरल करने पर और सीमा का मूल्यांकन करने पर:

\( \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} \) यह बन जाता है:

\( \frac{\sqrt{16} + 4}{\sqrt{9} + 3} = \frac{4 + 4}{3 + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

\(\rm \displaystyle \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} e^{\frac{\cot 6 x}{\cot 4 x}}=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} e^{\frac{\sin 4 x \cdot \cos 6 x}{\sin 6 x \cdot \cos 4 x}}=e^{2 / 3}\)

\(\rm \displaystyle \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{-}}{2}}(1+|\cos x|)^{\left.\frac{\lambda}{\cos x} \right\rvert\,}=e^{\lambda}\)

⇒ f(π/2) = μ

संतत फलन के लिए ⇒ e^2/3 = e^λ = μ

\(\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\mathrm{e}^{2 / 3}\)

अब, 6λ + 6log_eμ + μ⁶ - e^6λ = 10

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

\(\rm \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{0+3+6+9+\ldots \ldots n \text { पद }}{\sqrt{2 n^{4}+4 n+3}-\sqrt{n^{4}+5 n+4}}\)

⇒ \(\rm \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty}\rm \frac{3 n(n-1)}{2\left(\sqrt{2 n^{4}+4 n+3}-\sqrt{n^{4}+5 n+4}\right)}\)

= \(\frac{3}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{3}{2}(\sqrt{2}+1)\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

सीमाएँ और प्रारंभिक फलनों का प्रसार:

• 0/0 जैसे अनिर्धारित रूपों से संबंधित सीमाओं को हल करने के लिए, sinx और e^x जैसे फलनों के श्रेणी प्रसार (मैकलॉरिन प्रसार) का उपयोग करें।
• मानक प्रसार:
  • sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
  • e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
• अंश और हर से x की घातों की तुलना करें और तदनुसार सरल करें।

गणना:

दिया गया है,

lim_x→0 [ x²·sin(αx) + (γ−1)·e^x2 ] / [ sin(2x) − βx ] = 3

अंश:

x²·sin(αx) = x²·(αx − (αx)³/6 + ... ) = αx³ − α³x⁵/6 + ...

(γ − 1)·e^x2 = (γ − 1)·(1 + x² + x⁴/2! + ...) = (γ − 1) + (γ − 1)x² + ...

इसलिए, अंश ≈ (γ − 1) + (γ − 1)x² + αx³ + ...

हर:

sin(2x) = 2x − (2x)³/6 + ... = 2x − 8x³/6 + ...

इसलिए, हर = 2x − βx − (8x³/6) + ... = (2 − β)x − (4/3)x³ + ...

अब सीमा को इस प्रकार लिखें:

lim_x→0 [ (γ−1) + (γ−1)x² + αx³ + ... ] / [ (2−β)x − (4/3)x³ + ... ] = 3

अब, भाग देने के बाद x⁰ पद तक प्रसार का उपयोग करें:

⇒ lim_x→0 (γ−1) / (2−β)x = 0 जब तक कि (γ−1) = 0

इसलिए, γ − 1 = 0 ⇒ γ = 1

तब अंश αx³ + ... हो जाता है

हर: (2 − β)x − (4/3)x³ + ...

⇒ lim = αx³ / [ (2 − β)x − (4/3)x³ ]

अब अंश और हर को x⁻³ से गुणा करें:

⇒ α / [ (2 − β)x⁻² − (4/3) ]

अब सीमा x → 0, x⁻² → ∞ लेने पर,

सीमा के परिमित होने के लिए, हर में x⁻² का गुणांक 0 होना चाहिए,

⇒ (2 − β) = 0

⇒ β = 2

अब हर = −(4/3),

अंश = α ⇒ α / (−4/3) = 3

⇒ α = −4

दिया गया है, γ = 1, β = 2, α = −4

β + γ − α = 2 + 1 − (−4) = 7

∴ β + γ − α = 7

धारणा:

• 1 - cos 2θ = 2 sin2 θ
• \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{\sin x}}{x} = 1\)

गणना:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{{{\left( {1 - \cos2x} \right)}^2}\;}}{{{x^4}}}\)

= \(\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{{{\left( {2{{\sin }^2}x} \right)}^2}}}{{{x^4}}}\)          (1 - cos 2θ = 2 sin² θ)

= \(\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{4{{\sin }^4}x}}{{{x^4}}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 4\; × \;{\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^4}\)

= 4 × 1 = 4

संकल्पना:

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)}},\;provided\;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to a} g\left( x \right) \ne 0\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan x}}{x}} = 1\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+x)}}{x}} = 1\)

गणना:

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+2x)}{\tan 2x}\)

\(\rm = \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{\log (1+2x)}{2x} \times 2x}{\frac{\tan 2x}{2x} \times 2x}\\= \frac{\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+2x)}{2x} }{\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 2x}{2x} }\)

चूँकि हम जानते हैं कि \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan x}}{x}} = 1\) और  \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+x)}}{x}} = 1\)

इसलिए, \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan 2x}}{2x}} = 1\) और \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+2x)}}{2x}} = 1\)

अतः \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+2x)}{\tan 2x} = \frac 1 1=1\)

गणना:

हमें \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\) का मान ज्ञात करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\)       [रूप \(\frac{∞}{∞}\)]

यह सीमा \(\frac{∞}{∞}\) रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से 0 तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\)

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}\)

गुणक x, ∞ हो जाता है, जिसपर x, ∞ तक है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}\)

= \(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\infty^2}+2}}=\frac{1}{\sqrt{0+2}}=\frac{1}{\sqrt 2}\)

गणना:

हमें \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\) का मान ज्ञात करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\)       [रूप \(\frac{∞}{∞}\)]

यह सीमा \(\frac{∞}{∞}\) रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से ∞ तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\)

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{x^2\left({\frac {1}{x^2}+1}\right)}\)

गुणक x², x पर ∞ होते हुए ∞ तक झुकता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\left({\frac {1}{x^2}+1}\right)}\)

= \(\frac{1}{{\frac{1}{\infty^2}+1}}=\frac{1}{{0+1}}=1\)

संकल्पना:

• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1\).
• \(\rm \dfrac{d}{dx}\tan x=\sec^2x\).
• \(\rm \dfrac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x\).
• \(\rm \dfrac{d}{dx}\left[f(x)\times g(x)\right]=f(x)\dfrac{d}{dx}g(x)+g(x)\dfrac{d}{dx}f(x)\).

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान \(\dfrac00\), \(\pm\dfrac{\infty}{\infty}\), 0⁰, ∞⁰ इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

• अनिश्चित रूप \(\dfrac 0 0\) के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
• L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) के बराबर है। 

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\dfrac00\) एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\lim_{x\to 0}\left[\dfrac{\tan x - x}{x^3}\times\dfrac{x}{\tan x}\right]\).

हम जानते हैं कि \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\tan x}=1\) है, लेकिन \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}\) फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}= \lim_{x\to 0}\dfrac{2\sec x(\sec x\tan x)}{6x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\sec^2 x+\tan x[2\sec x(\sec x \tan x)]}{3}=\dfrac{1}{3}\).

∴ \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=1\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\).

अवधारणा:

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right) + \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)\)

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac { (a^x - 1) }{x} = \log a\)

log mⁿ = n log m

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x + 3^{-x}-2}{x}\\= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x -1+ 3^{-x}-1}{x}\\= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x -1}{x}+\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^{-x} -1}{x}\\= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x -1}{x}+\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(3^{-1})^x -1}{x}\\= \log 3 + \log (3^{-1})\\= \log 3 - \log 3\\=0\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left({\frac{sin\ x}{x}}\right)=1\)

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left({\frac{\sqrt{1-cosx^2}}{(1-cosx)}}\right)\)

चूँकि, 1 - cos 2θ = sin²θ

⇒ \(\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow0}\left({\frac{√{2sin^2\frac{x^2}{2}}}{(2sin^2\frac{x}{2})}}\right)\)

⇒ \(\frac{1}{√ 2}\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left({\frac{{\frac{x^2}{2}\times sin\frac{x^2}{2}}}{(sin^2\frac{x}{2})\times\frac{x^2}{2}}}\right)\)

∴  \(\frac{2}{√ 2}\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left(\frac{sin\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}\right)\times \left(\frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}\right)^2\) = √2

संकल्पना:

\(\rm \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

गणना:

\(\rm \displaystyle \lim_{x → ∞} x \sin \left(\frac{π} {x}\right)\)

= \(\rm \displaystyle \lim_{x → ∞} \frac{\sin \left(\frac{π} {x}\right)}{\left(\frac{1}{x} \right )}\)

= \(\rm \displaystyle \lim_{x → ∞} \frac{\sin \left(\frac{π} {x}\right)}{\left(\frac{π}{x} \right )} × π\)

माना कि \(\rm \frac {π}{x} = t\)

यदि x → ∞ तो t → 0

= \(\rm \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} × π\)

= 1 × π 

= π 

संकल्पना:

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right) \cdot \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)\)

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\sin x }{x} = 1\\\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+x) }{x}\)

गणना:

हमें \(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \log (1-x)}{x^2}\) का मान ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं,\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right) \cdot \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)\)

\(\therefore \rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \log (1-x)}{x^2}= \rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\sin x }{x} × ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1-x) }{x}\)

= 1 × \(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+(-x)) }{x}\)

= \(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+(-x)) }{-(-x)}\)

= \(-1 × \rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+(-x)) }{(-x)}\)

= -1 × 1

= -1

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{2^n} + {3^n}}} \)

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}2 + {3^n}3}}{{{2^n} + {3^n}}}\)

3ⁿ आम लेते हुए, हम लिख सकते हैं:

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}\left[ {2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3} \right]}}{{{3^n}\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}}{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1} \right]}}\)

यहाँ \(\frac 2 3 < 1\)

इसलिए, \(\left[ \frac {2}{3}\right]^{\infty} = 0\)

\(= \frac{{0 + 3}}{{0 + 1}} = 3\)