Elementary Properties and Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Elementary Properties and Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन है \( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \), और हमें y का अवकलज, अर्थात \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करना है। 

\( \sin^{-1}(u) \) का सामान्य अवकलज है:

\( \frac{d}{dx} \sin^{-1}(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} \), जहाँ \( u = \frac{x}{3} \)

\( \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} \)

y का अवकलज ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम लागू करने पर:

\( \frac{dy}{dx} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{x}{3} \right)^2}} \times \frac{1}{3} \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन \( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)है, और हमें इसे सरल करना है।

\( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)

हम देखते हैं कि हम व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं:

\( x - \frac{4x^3}{27} = \left( \frac{x}{3} \right) \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \)

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

\( y = \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \right) \)

यह देखते हुए कि यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका के अनुरूप है:

\( \sin^{-1}(3x) = 3 \sin^{-1} \left( x \right) \)

इस प्रकार, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:

\( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना: 

दिया गया है:

\(\sin\rm(\tan^{-1}\frac{4}{5}+\tan^{-1}\frac{4}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{9}-\tan^{-1}\frac{1}{7})\)

हम जानते हैं कि \(\tan^{-1}a +\tan^{-1}b =\tan^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)\) और \(\tan^{-1}a -\tan^{-1}b =\tan^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} \right)\)

\(\sin\rm(\tan^{-1}\frac{4}{5}+\tan^{-1}\frac{4}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{9}-\tan^{-1}\frac{1}{7})\) = \(\sin\rm\Big[(\tan^{-1}\frac{4}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{9})+ (\tan^{-1}\frac{4}{5} -\tan^{-1}\frac{1}{7})\big]\)

= \(\sin\rm\Big[\tan^{-1} \left( \frac{\frac{4}{3} + \frac{1}{9}}{1-\frac{4}{27}} \right)+ \tan^{-1}\Big(\frac{\frac{4}{5}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{35}}\Big)\Big] \)

= \(\sin\rm(\tan^{-1} \left( \frac{39/27}{23/27} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{23/35}{39/35} \right) )\)

= \(\sin\rm(\tan^{-1} \left( \frac{39}{23} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{23}{39} \right) )\)

= \(\sin(\tan^{-1} \left( \frac{39/23+23/39}{1-1} \right) )\)

= \(\sin(\tan^{-1} \left( \frac{2050/897}{0} \right) )\)

= \(\sin(\tan^{-1} \infty )\) = sin(π/2) = 1

∴ \(\sin\rm(\tan^{-1}\frac{4}{5}+\tan^{-1}\frac{4}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{9}-\tan^{-1}\frac{1}{7})\) = 1

सही उत्तर विकल्प (4) है।

गणना:

दिया गया है: \(\cos^{-1} \left\{ \cot \left( \sum_{i=1}^3 \cot^{-1} i \right) \right\}\)

\(\sum_{i=1}^3 \cot^{-1} i = \cot^{-1} 1 + \cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 3\)

\(\cot^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}\).

\(\cot^{-1} x + \cot^{-1} y = \cot^{-1} \left( \frac{xy - 1}{x + y} \right)\)

\(\cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 3 = \cot^{-1} \left( \frac{2 \cdot 3 - 1}{2 + 3} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{5}{5} \right) = \cot^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}\)

\(\sum_{i=1}^3 \cot^{-1} i = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\)

\(\cos^{-1} \left\{ \cot \left( \frac{\pi}{2} \right) \right\} = \frac{\pi}{2}\)

अतः विकल्प 2 सही है।

गणना

\(\displaystyle\cot\left(\sum_{n=1}^{23}\cot^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^{n}2k\right)\right)\)

\(\Rightarrow\displaystyle\cot\left(\sum_{n=1}^{23}\cot^{-1}\left(1+2\times \dfrac{n(n+1)}{2}\right)\right)\)

\(\Rightarrow\displaystyle \cot\left(\sum_{n=1}^{23}\cot^{-1}\left({n^{2}+n+1}\right)\right)\)

\(\Rightarrow\displaystyle\cot\left(\sum _{ n=1 }^{ 23 } \tan ^{-1}\left(\frac{n+1-n}{1+n(n+1)}\right)\right)\)

\(\Rightarrow\cot{\left(\sum _{n=1}^{23}{\tan^{-1}{\left(n+1\right)}-\tan^{-1}{n}}\right)}\)

\(\Rightarrow\cot { \left( \tan ^{ -1 }{ 24 } -\tan ^{ -1 }{ 1 } \right) }\)

\(\Rightarrow\cot { \left( \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 23 }{ 25 } \right) } \right) } \)

\(\Rightarrow\displaystyle\cot\left(\cot^{-1}\left(\frac{25}{23}\right)\right)=\dfrac{25}{23}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

• \(\rm \tan^{-1}x + \tan^{-1}y=\tan^{-1}{x+y\over 1-xy}\)
• \(\rm cot^{-1}{x} = {\pi\over2}- \tan^{-1}{x}\)
• \(\rm 2tan^{-1}\ x =tan^{-1} ({\frac {2x}{1\ -\ x^2}})\)

गणना:

S = \(\rm cot^{-1}{1\over3} - 2 \tan^{-1}{2\over3} \)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{2\times \frac{2}{3}}\over1-{(\frac{2}{3})^2}}\)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{\frac{4}{3}}\over1-{\frac{4}{9}}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3} - \tan^{-1}{\frac{12}{5}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{12\over5}+\tan^{-1}{1\over3}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{{12\over5}+{1\over3}\over1-{12\over5}\times{1\over3}}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{41\over3}\right]\)

S = \(\rm \cot^{-1}{41\over3}\)

संकल्पना:

sin^-1 x + cos^-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

गणना:

sin^-1 x + sin^-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos^-1 x + cos^-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

⇒ cos^-1 x + cos^-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

सही विकल्प 2 है।

धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒  2 sin-1 x + [π /2] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - π/2

⇒ 2 sin-1 x = π/2

⇒ sin^-1 x = π/4

⇒ x = sin π/4 = 1/√2

दिया गया है:

AB = 20 सेमी

BC = 21 सेमी 

AC = 29 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

⇒ 29² = 20² + 21²

ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

⇒ cot C = BC/AB = 21/20

⇒ cosec C = AC/AB = 29/20

⇒ tan A = BC/AB = 21/20

cot C + cosec C - 2tan A = 21/20 + 29/20 - 2 × 21/20

⇒ 8/20

⇒ 2/5

अतः cot C + cosec C - 2tan A का मान = 2/5

अवधारणा:

\(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({y})\) = \(\rm tan^{-1}\frac{x+y}{1-x\times y}\)

\(\rm cot^{-1}x=\) \(\rm tan^{-1}({1\over x})\)

गणना:

दिया गया है, \(\rm tan^{-1}x+cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{1-x\times \frac{1}{x}} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}({\infty}) = \frac{\pi}{2}\)

यह सभी x ∈ R के लिए सत्य है

संकल्पना:

sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

गणना:

cos-1 x + cos-1 y = \(\rm \frac{3\pi}{5}\)

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -sin^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- sin^{-1}y\right ) = \frac{3π}{5}\) 

⇒ π - ( sin-1 x + sin-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{5}\)

⇒ sin-1 x + sin-1 y = \(\rm\frac{2\pi}{5}\)

सही विकल्प 2 है। 

अवधारणा:

\(\rm{\sin ^{ - 1}}x + {\cos^{ - 1}}x= \frac{\pi }{2}\)

\(\rm{\sin ^{2}}x + {\cos^{2}}x= 1\)

गणना:

दिया गया है कि \(\rm{\sin ^{ - 1}}x + {\sin ^{ - 1}}y = \frac{\pi }{2}\)

\(\rm{\sin ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}-{\sin ^{ - 1}}y \)

sin-1 x = cos-1 y 

माना x = sin A

sin-1 (sin A) = cos-1 y 

A = cos-1 y 

y = cos A

y = \(\rm \sqrt{1-\sin^2 A}\)

y2 = 1 - x2

x2 = 1 - y2 

दिया गया है:

2sin(3x -15)° = 1

गणना:

sin(3x - 15)° = 1/2

⇒ sin (3x - 15)° = sin 30° 

⇒ (3x - 15)° = 30° 

⇒ 3x = 30° + 15° = 45° 

⇒ x = \(45\over3\) = 15° 

तब,

cos²(2x +15)° + cot2 (x +15)°

cos2(2 × 15 +15)° + cot2 (15 +15)°

⇒ cos²(45)° + cot²(30)°

⇒ \(({1\over \sqrt2})^2\) + \((\sqrt3)^2\)

⇒ \(1\over2\) + 3 = \(7\over2\) 

∴ cos2(2x +15)° + cot2 (x +15)° = \(7\over2\)

धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒ 2 sin-1 x + [\(\frac{\pi}{2}\)] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - \(\frac{\pi}{2}\)

⇒ 2 sin-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)

⇒ sin-1 x = \(\frac{\pi}{4}\)

∴ x = sin \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt2}\)

धारणा:

cos 2x = 1 - 2 sin² x

गणना:

दिया हुआ: cos (2 sin-1 x) = 1/9 जहाँ x > 0

माना कि sin-1 x = y

⇒ x = sin y

⇒ cos (2 sin-1 x) = cos 2y = 1/9

जैसा कि हम जानते हैं कि, cos 2x = 1 - 2 sin2 x

⇒ 1 - 2 sin² y = 1/9

⇒ 2sin² y = 8/9

⇒ x² = 4/9 --------(∵ x = sin y)

⇒ x = ± 2/3

लेकिन जैसा कि यह दिया गया है कि x > 0

⇒ x = 2/3