Electric Dipole MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Electric Dipole - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

एकसमान विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव एक बल आघूर्ण का अनुभव करता है जो द्विध्रुव को विद्युत क्षेत्र के साथ संरेखित करने का प्रयास करता है। एकसमान विद्युत क्षेत्र (E→" id="MathJax-Element-11-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">E→ E→ $\overrightarrow{E}$ ) में रखे विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण ( $\overrightarrow{P}$ ) पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण ( $\overrightarrow{\tau}$ ) द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के सदिश क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है।

बल आघूर्ण का सूत्र है:

$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{P} \times \overrightarrow{E}$

दो सदिशों के सदिश गुणनफल के परिणामस्वरूप एक सदिश प्राप्त होता है जो दोनों के लंबवत होता है, और इसका परिमाण दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1: P→×E→" id="MathJax-Element-15-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">P→×E→ P→×E→  है। 

∴ विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{E}$ है।

संप्रत्यय:

विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव पर बल आघूर्ण:

एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखे गए विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण (τ) सूत्र द्वारा दिया गया है:

τ = pE sin(θ)

जहाँ:

τ बल आघूर्ण है,

p द्विध्रुव आघूर्ण है,

E विद्युत क्षेत्र का परिमाण है, और

θ द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण है।

परिकलन:

दिया गया है:

द्विध्रुव आघूर्ण, p = 4 × 10−9 C·m

विद्युत क्षेत्र, E = 5 × 104 N/C

कोण, θ = 60°

बल आघूर्ण के सूत्र का उपयोग करने पर:

⇒ τ = pE sin(θ)

⇒ τ = (4 × 10−9 C·m) × (5 × 104 N/C) × sin(60°)

⇒ τ ≈ 1.73 × 10−4 N·m

∴ द्विध्रुव पर कार्य करने वाले बल आघूर्ण का परिमाण 1.73 × 10−4 N·m है।

उत्तर (4)

हल:

प्रत्येक अणु का द्विध्रुवीय आघूर्ण = 10^-30 Cm

चूँकि पदार्थ के 1 मोल में 6 × 10²³ अणु होते हैं। 

सभी अणुओं का कुल द्विध्रुवीय आघूर्ण

p = 6 × 10²³ × 10^-30 Cm = 6 × 10^-7 Cm

प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा U_i = pEcos θ = -6 × 10^-7 × 10⁷ cos 0° = -6J

अंतिम स्थितिज ऊर्जा U_f = -6 × 10^-7 × 10⁷ × cos 60° = -3J

किया गया कार्य (स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन)

= -[(-3) - (-6)] = 3J

संप्रत्यय:

एक असमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव के लिए, द्विध्रुव पर बल और बल आघूर्ण विद्युत क्षेत्र के संबंध में द्विध्रुव आघूर्ण के संरेखण पर निर्भर करते हैं।

व्याख्या:

जब द्विध्रुव आघूर्ण p" id="MathJax-Element-764-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">pp $\mathbf{p}$ असमान विद्युत क्षेत्र E" id="MathJax-Element-765-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">EE $\mathbf{E}$ की दिशा के समानांतर होता है, तो द्विध्रुव पर बल F" id="MathJax-Element-766-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">FF $\mathbf{F}$ और बल आघूर्ण τ" id="MathJax-Element-767-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">ττ $\tau$ को इस प्रकार निर्धारित किया जा सकता है:

असमान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर बल F" id="MathJax-Element-768-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">FF $\mathbf{F}$ इस प्रकार दिया गया है:

\(\mathbf{F} = (\mathbf{p} \cdot \nabla) \mathbf{E}\)

चूँकि क्षेत्र असमान है, F" id="MathJax-Element-769-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">FF $\mathbf{F}$ शून्य नहीं है।

द्विध्रुव पर बल आघूर्ण τ" id="MathJax-Element-770-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">ττ $\tau$ इस प्रकार दिया गया है:

\(\tau = \mathbf{p} \times \mathbf{E}\)

जब p" id="MathJax-Element-771-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">pp $\mathbf{p}$ E" id="MathJax-Element-772-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">EE $\mathbf{E}$ के समानांतर होता है, तो क्रॉस गुणनफल शून्य होता है, इसलिए τ=0" id="MathJax-Element-773-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">τ=0τ=0 $\tau = 0$ ।

इसलिए, एक असमान विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव के लिए जिसमें द्विध्रुव आघूर्ण क्षेत्र की दिशा के समानांतर है, द्विध्रुव पर बल और बल आघूर्ण क्रमशः हैं:

सही विकल्प (2) F ≠ 0, τ = 0 है।

गणना:

\(\frac{\mathrm{kq}}{(\mathrm{r}-\mathrm{a})^{2}}=\frac{\mathrm{kq}}{(\mathrm{r}+\mathrm{a})^{2}}+\frac{2 \mathrm{kq}}{\left(\mathrm{r}^{2}+\mathrm{a}^{2}\right)} \cos \theta\)

\(\frac{1}{(r-a)^{2}}=\frac{1}{(r+a)^{2}}+\frac{2 a}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\)

\(\frac{1}{(r-a)^{2}}-\frac{1}{(r+a)^{2}}=\frac{2 a}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\)

\(\frac{4 r a}{\left(r^{2}-a^{2}\right)^{2}}=\frac{2 a}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\)

⇒ \(\frac{2 r}{\left(r^{2}-a^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\)

\(\frac{4 r^{2}}{\left(r^{2}-a^{2}\right)^{4}}=\frac{1}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{3}}\)

⇒ 4r²(r² + a²)³ = (r² - a²)⁴

\(4 r^{8}\left(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)^{3}=r^{8}\left(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)^{4}\)

\(4\left(1+\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{r}^{2}}\right)^{3}=\left(1-\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{r}^{2}}\right)^{4}\)

इस समीकरण के सत्य होने के लिए परीक्षण में सटीक मान हल नहीं किया जा सकता है,

\(\left|\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{r}}\right|\) > 1 ⇒ a > r

a/r ≈ 3

अवधारणा:

• विद्युत द्विध्रुव: जब दो समान और विपरीत आवेश एक दूसरे से बहुत कम दूरी पर रखे जाते हैं तो इस व्यवस्था को विद्युत द्विध्रुव कहा जाता है।
• विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण: इसे एक आवेश के परिमाण और एक विद्युत द्विध्रुवीय में आवेशों के बीच की दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

⇒ P = q × 2r

जहां 2r = दोनों आवेशों के बीच की दूरी

व्याख्या:

• विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण को एक आवेश के परिमाण और एक विद्युत द्विध्रुवीय में आवेशों के बीच की दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

⇒ P = q × 2r ----- (1)

जहां P = विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण, 2r = = दो आवेशों के बीच की दूरी और q = आवेश

• जैसा कि हम जानते हैं, आवेश की SI इकाई कूलम्ब है और जब इसकी दूरी मीटर में है।
• इसलिए, विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण की SI इकाई कूलम्ब-मीटर है।
• इसलिए, विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

• विद्युत द्विध्रुव: जब दो समान और विपरीत आवेशों को एक छोटी दूरी द्वारा पृथक किया जाता है तो आवेशों के इस संयोजन को विद्युत द्विध्रुव कहा जाता है।
• विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण: आवेश और उनके बीच की दूरी के गुणनफल को विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण कहा जाता है।
  • विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण को P द्वारा निरुपित किया जाता है।
  •  द्विध्रुव आघूर्ण की SI इकाई कूलम्बमीटर (Cm) होती है।

द्विध्रुव आघूर्ण की क्षमता = \(\vec P\) = q × d

जहाँ q आवेश और d दो आवेशित कणों के बीच की दूरी है। 

गणना:

दिया गया है कि:

प्रत्येक कण के आवेश का परिमाण (q) = 20 C

उनके बीच की दूरी(d) = 2 cm = 2 × 10^-2 m 

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (P) = q × d = 20 C × 2 × 10-2 m = 0.4 C.m

इसलिए विकल्प 3 सही है।

एक विद्युत क्षेत्र में स्थापित द्विध्रुव के लिए बलआघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(\vec \tau = \vec p \times \vec E\)

चूंकि यह एक क्रॉस उत्पाद है, इसलिए हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि द्विध्रुव पर क्षेत्र द्वारा लागू किया गया बलआघूर्ण क्षेत्र और द्विध्रुवीय आघूर्ण दोनों के लंबवत है।

व्युत्पन्न:

उस बल का मापन जो किसी वस्तु को किसी अक्ष के चारों ओर घूमने का कारण बनता है ,बलआघूर्ण के रूप में जाना जाता है। बलआघूर्ण एक सदिश राशि है और इसकी दिशा अक्ष पर बल की दिशा पर निर्भर करती है। बलआघूर्ण सदिश के परिमाण की गणना निम्नानुसार की जाती है:

τ = Fr sinθ

जहाँ r आघूर्ण भुजा की लंबाई है।

θ आघूर्ण भुजा और बल सदिश के बीच का कोण है।

विद्युत द्विध्रुव: एक समान परिमाण के साथ विद्युत आवेशों के युग्म लेकिन  d दूरी द्वारा अलग किए गए विपरीत आवेशों को विद्युत द्विध्रुव के रूप में जाना जाता है।

विद्युत द्विध्रुवीय आघूर्ण एक सदिश है जिसकी निश्चित दिशा ऋणात्मक आवेश से धनात्मक आवेश की ओर होती है।

\(\vec p = q\vec d\)

मानें कि एक द्विध्रुवीय +q और –q  के आवेश के साथ है जो द्विध्रुव निर्मित करता है क्योंकि वे एक दूसरे d दूरी पर हैं। इसे E क्षमता के एक समान विद्युत क्षेत्र में रखा जाए, जैसे कि द्विध्रुव का अक्ष विद्युत क्षेत्र के साथ कोण θ निर्मित करता है।

आवेश पर बल निम्न है:

\({\vec F_ + } = + q\vec E\)

\({\vec F_ - } = - q\vec E\)

 द्विध्रुव के लंबवत बल के घटक निम्न है:

\(F_ + ^ + = + qE\sin \theta \)

\(F_ - ^ + = - qE\sin \theta \)

चूंकि बल परिमाण के बराबर होते हैं और दूरी d से पृथक हैं,तो द्विध्रुव पर बलआघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है:

बलआघूर्ण (τ) = बल × बलों को अलग करने वाली दूरी

τ = d qE sin θ

चूंकि द्विध्रुवीय आघूर्ण p = qd द्वारा दिया जाता है, और द्विध्रुवीय आघूर्ण की दिशा धनात्मक से ऋणात्मक आवेश की ओर होती है; यह उपरोक्त समीकरण से देखा जा सकता है कि बलआघूर्ण द्विध्रुवीय आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र का क्रॉस उत्पाद है।

ध्यान दें कि यदि विद्युत क्षेत्र की दिशा धनात्मक हैं तो उपरोक्त आकृति में बलआघूर्ण दक्षिणावर्त दिशा (इसलिए ऋणात्मक ) में है।

∴ τ = -pE sin θ, or

\(\vec \tau = \vec p \times \vec E\)

\(\left| {\vec \tau } \right| = \left| {\vec p \times \vec E} \right| = pE\sin \theta \)

अवधारणा:

• मान लीजिए एक विद्युत द्विध्रुव को एक समान विद्युत क्षेत्र में रखा गया है जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
• द्विध्रुव का प्रत्येक आवेश विद्युत क्षेत्र में एक बल qE अनुभव करता है।
• चूंकि इन बलों का क्रिया बिंदु अलग हैं, इसलिए ये समान और असमानांतर बल एक युग्म का निर्माण करेंगे जो द्विध्रुव को घुमाएगा और द्विध्रुव को क्षेत्र की दिशा में संरेखित करेगा ।
• द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल आघूर्ण (qE) × (2dsinθ) है, जहां, 2d द्विध्रुव की लंबाई है और θ द्विध्रुव और क्षेत्र की दिशा के बीच कोण है।

व्याख्या:

उपरोक्त व्याख्या से हम कह सकते हैं कि एक विद्युत द्विध्रुव आम तौर पर एक बल और एक बल आघूर्ण दोनों का अनुभव करता है

नोट:

• जब द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र  में रखा जाता है तो द्विध्रुव पर बल शून्य होता है।
• जब द्विध्रुव को गैर-समान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है, तो यह बल के साथ-साथ बल आघूर्ण दोनों का अनुभव करता है।

अवधारणा:

• एक विद्युत द्विध्रुवीय पर विचार करें जिसमें दो समान एवं विपरीत आवेश A पर -q और B पर +q हैं ,जो छोटी दूरी AB = 2l, से अलग किए गए है। द्विध्रुवीय आघूर्ण p = q x 2a , -q से + q द्विध्रुवीय की धुरी के साथ निर्देशित।

व्याख्या:

• इस द्विध्रुव को एक समान विद्युत क्षेत्र E में कोण θ पर E की दिशा मे रखा जाता है। A पर आवेश +q पर बल है = qE,जो E के दिशा के साथ है। B पर आवेश -q पर बल है= qE, जो E के दिशा के विपरीत है।
• चूँकि विद्युत क्षेत्र (E) एकसमान है, इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल 0 है। हालाँकि, चूँकि बल समान, विपरीत और समानांतर होते हैं, विभिन्न बिंदुओं पर कार्य करते हैं, इसलिए, वे एक युग्म बनाते हैं जो द्विध्रुव को घुमाता है। इसलिए, युग्म विद्युत क्षेत्र (E) की दिशा के साथ द्विध्रुव को संरेखित करता है।

∴ τ = बल × युग्म की भुजाएं

τ = F × 2 a sinθ = (qE) × 2 a sinθ

τ = (q × 2a)E sinθ             \(\left| {\vec p} \right| = \left( {q\;x\;2a} \right)\)

τ = pE sinθ

\(\vec \tau = \vec p \times \;\vec E\)

अवधारणा:

• द्विध्रुवीय आघूर्ण: जब दो समान और विपरीत आवेश एक दूसरे से एक बहुत छोटी दूरी पर रखा जाता है तो इस व्यवस्था को एक द्विध्रुवीय आघूर्ण कहा जाता है।
• विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण: इसे एक आवेश के परिमाण के गुणनफल और एक विद्युत द्विध्रुव में आवेशों के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।

⇒ P = q × 2r     -----(3)

जहां 2r = दो आवेशों के बीच की दूरी

गणना:

दिया गया है:

q = 3.2 × 10−19 कूलम्ब, 2r = 2.4 Å = 2.4 × 10^-10 m और E = 4 × 105 वोल्ट/ मीटर

• द्विध्रुवीय आघूर्ण विद्युत क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए एक द्विध्रुव का द्विध्रुवीय आघूर्ण होगा-

⇒ P = q × 2r

⇒ P = 3.2 × 10−19 × 2.4 × 10-10

⇒ P = 7.68 × 10^-29 C-m

• इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अवधारणा-

एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों की एक प्रणाली है जिसे एक निश्चित दूरी से अलग किया जाता है और एक द्विध्रुव शक्ति को द्विध्रुव आघूर्ण द्वारा मापा जाता है। इसकी गणना P = q x 2a के रूप में की जाती है

व्याख्या-

• जब एक द्विध्रुव को विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है तो प्रत्येक आवेश एक बल का अनुभव करता है जो F = qE के बराबर होता है।
• ऋणात्मक आवेश पर बल F_-q = -qE है और इसकी दिशा विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरित है।
• धनात्मक आवेश q पर बल F_q = qE है और इसकी दिशा विद्युत क्षेत्र की दिशा के समान है।
• द्विध्रुव पर शुद्ध बल F = F_-q+ F_q = -qE + qE = 0 है

टिप्पणियाँ:

• जब द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है तो द्विध्रुव पर शुद्ध बल शून्य होता है।
• जब द्विध्रुव गैर-समान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है तो यह बल और बलाघूर्ण दोनों का अनुभव करता है।

संकल्पना:

किसी बाहरी विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जाता है:

\(U = - \overrightarrow P .\overrightarrow E \) -----(1)

जहाँ P द्विध्रुव है और E विद्युत क्षेत्र है।

गणना:

समीकरण (1) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है;

\(U = - \overrightarrow P .\overrightarrow E \)

⇒ U = – PEcosθ 

विद्युत क्षेत्र और विद्युत द्विध्रुव के बीच का कोण 180° है, इसलिए,

U = –PEcos180°

U = + PE

दायीं ओर बढ़ने पर विद्युत क्षेत्र की सामर्थ्य घट जाती है इसलिए स्थितिज ऊर्जा घट जाती है।

विद्युत द्विध्रुव पर नेट बल दायीं ओर होता है और उस पर कार्य करने वाला नेट बलाघूर्ण शून्य होता है।

तो, यह दाईं ओर बढ़ेगा।

दिया गया है:

वायु या निर्वात में एक छोटा द्विध्रुव

संकल्पना:

एक विद्युत द्विध्रुव एक छोटी दूरी पर रखे समान और विपरीत परिमाण के दो-बिंदु आवेशों की एक प्रणाली है।

सूत्र:

एक द्विध्रुवीय, द्विध्रुवीय आघूर्ण के लिए,

p = q(2l)

गणना:

E(+q) = \(\frac{q}{4\pi \epsilon 0(r-l)^2}\) BP की ओर

E(-q) = \(\frac{q}{4\pi \epsilon 0(r+l)^2}\) PA की ओर

E = E(+q) - E(-q)

⇒ E = \(\frac{q}{4\pi \epsilon 0(r-l)^2} -\frac{q}{4\pi \epsilon 0(r+l)^2}\)

⇒ E = \(\frac{4qlr}{4\pi \epsilon 0(r^2-l^2)^2}\)

⇒ E = \(\frac{2q(2l)r}{4\pi \epsilon 0(r^2-l^2)^2}\)

लेकिन q(2l) = p और एक लघु द्विध्रुव r2 - l2 ≈ r2 के लिए l << r के रूप में

⇒ E = \(\frac{2pr}{4\pi \epsilon 0r^4}\)

⇒ E = \(\frac{2p}{4\pi \epsilon 0r^3}\)

अवधारणा:

• विद्युत द्विध्रुव: जब दो समान और विपरीत आवेशों को एक छोटी दूरी द्वारा अलग किया जाता है तो आवेशों के इस संयोजन को विद्युत द्विध्रुव कहा जाता है।
• आवेश और उनके बीच की दूरी के का गुणन को विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण कहा जाता है।
• विद्युत द्विध्रुवीय आघूर्ण को P से निरूपित किया जाता है और द्विध्रुवीय आघूर्ण की SI इकाई कूलम्ब मीटर (Cm) है

द्विध्रुवीय आघूर्ण= P = q × d

जहाँ q आवेश और d दो आवेश कणों के बीच की दूरी है।

• विद्युत द्विध्रुवीय आघूर्ण की दिशा ऋण आवेश से धन आवेश तक होती है।
• विद्युत आवेश के आसपास का स्थान या क्षेत्र जिसमें  विद्युत स्थैतिक बल को अन्य आवेश कण द्वारा अनुभव किया जा सकता है, उसे विद्युत आवेश का विद्युत क्षेत्र कहा जाता है।

अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र (बिंदु B पर):

\(\overrightarrow {{E_{ax}}} = \frac{1}{{4\pi {_0}}}\frac{{2\;\vec P}}{{{r^3}}}\)

विषुवत रेखा पर विद्युत क्षेत्र (बिंदु A पर):

\(\overrightarrow{{{E}_{eq}}}=\frac{-~1}{4\pi {{\epsilon }_{0}}}\frac{~\vec{P}}{{{r}^{3}}}\)

जहां p विद्युत द्विध्रुव का द्विध्रुवीय आघूर्ण  है, ϵ₀ निर्वात परावैद्युतांक और r द्विध्रुव के केंद्र से बिंदु A और B की दूरी है।

व्याख्या:

दो बिंदुओं A और B पर विद्युत क्षेत्र के दिए गए सूत्र के अनुसार:

\(\overrightarrow{{{E}_{ax}}}=\frac{1}{4\pi {{\epsilon }_{0}}}\frac{2~\vec{P}}{{{r}^{3}}}\)

\(\overrightarrow{{{E}_{eq}}}=\frac{-~1}{4\pi {{\epsilon }_{0}}}\frac{~\vec{P}}{{{r}^{3}}}\)

\(\overrightarrow{{{E}_{ax}}}=-2~\overrightarrow{{{E}_{eq}}}\) 

तो विकल्प 3 सही है।

• अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की दिशा द्विध्रुवीय आघूर्ण की दिशा में होती है।
• विषुवत रेखा पर विद्युत क्षेत्र की दिशा द्विध्रुवीय क्षण के विपरीत दिशा में होती है।