Cramer's Rule MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cramer's Rule - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

Δ =

Δ = 1((-1)×5 - 2×1) - 1(2×5 - 2×(-1)) + 1(2×1 - (-1)×(-1))

Δ = 1(-5 - 2) - 1(10 + 2) + 1(2 - 1)

Δ = -7 - 12 + 1

Δ = -18

Δ₁ =

Δ₁ = 5((-1)×5 - 2×1) - 1(4×5 - 2×11) + 1(4×1 - (-1)×11)

Δ₁ = 5(-5 - 2) - 1(20 - 22) + 1(4 + 11)

Δ₁ = -35 + 2 + 15

Δ₁ = -18 (सही गणना)

α = Δ₁ / Δ = -18 / -18 = 1

α + 2 + β = 5 ⇒ 1 + 2 + β = 5 ⇒ β = 2

α² + β² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5

गणना

⇒ λ = 17

⇒ μ ≠ 18

अतः विकल्प 1 सही है। 

क्रेमर का नियम तभी लागू किया जा सकता है जब

1. रैखिक प्रणाली में समीकरणों की संख्या चरों की संख्या के बराबर होती है अर्थात केवल m = n।
2. गुणांक आव्यूह का सारणिक गैर-शून्य है।

Additional Information

क्रैमर नियम: n अज्ञातों में n समीकरणों की निम्नलिखित रैखिक प्रणाली पर विचार करें:

a11x1 + a12 x2 + ....... + a1n xn = b1

a21x1 + a22 x2 + ....... + a2n xn = b2

.                .

.                .

.                .

an1x1 + an2 x2 + ....... + ann xn = bn

अर्थात्, AX = B, जहाँ , , , i = 1,....,n के लिए Ai को A के i^वें स्तंभ के लिए B को प्रतिस्थापित करने के बाद Ai से प्राप्त आव्यूह के रूप में परिभाषित करें।

Di = परिभाषित करें और ।

फिर, यदि D  0, प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है।

धारणा:

हम तीन चरों में समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

a₁ × x + b₁ × y + c₁ × z = d₁

a₂ × x + b₂ × y + c₂ × z = d₂

a₃ × x + b₃ × y + c₃ × z = d₃

फिर 

क्रेमर के नियम से:

I. यदि Δ ≠ 0 तब समीकरण की प्रणाली का अद्वितीय हल है और यह इसके द्वारा दिया गया है: ">x=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δ" id="MathJax-Element-105-Frame" role="presentation" style="display: inline; font-size: 14px; position: relative;" tabindex="0">x=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δx=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δ" id="MathJax-Element-39-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">x=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δx=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δ

II. यदि Δ = 0, और Δ, Δ1, Δ2, Δ3 निर्धारकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है तब समीकरणों की प्रणाली असंगत है।

III. यदि Δ = 0 और Δ1 = Δ2 = Δ3 = 0 तब प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत रूप से कई हल हैं।

गणना:

दिया हुआ: x + y + z = 3, x – y + 2z = 6 और x + y + α z = β

जैसा कि हम जानते हैं

⇒ Δ = 2 – 2α, Δ₁ = 3β – 9α, Δ₂ = 3α - β और Δ₃ = 6 – 2β

जैसा कि हम जानते हैं क्रेमर के नियम के अनुसार समीकरण की दी गई प्रणाली का अद्वितीय हल होने के लिए:

 Δ ≠ 0

⇒ Δ = 2 – 2α ≠ 0 ⇒ α ≠ 1

धारणा:

A X = 0 समीकरणों की प्रणाली को समीकरणों की सजातीय प्रणाली कहा जाता है फिर

यदि |A| ≠ 0 तो इसका हल X = 0 साधारण हल कहलाता है।

यदि |A| = 0 तो A X = 0 में एक गैर-साधारण हल है जिसका अर्थ है कि प्रणाली में अनंत रूप से कई हल होंगे।

गणना:

दिया हुआ: 2x – 3y = 0 और 2x + αy = 0

इन समीकरणों को इसप्रकार लिखा जा सकता है: A X = B जहाँ 

जैसा कि हम जानते हैं कि दी गई प्रणाली समीकरण की एक सजातीय प्रणाली है। तो यह कहने के लिए कि प्रणाली में अनंत रूप से कई समाधान हैं: |A| = 0

⇒ |A| = 2α + 6 = 0 ⇒ α = -3

संकल्पना:

तीन चरों के रैखिक समीकरण के लिए क्रेमर का नियम:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

यदि D ≠ 0: केवल एक हल है (सुसंगत)।

वह हल है: .

यदि D = 0: या तो असीम रूप से कई हल हैं (सुसंगत और निर्भर) या कोई हल नहीं है (असंगत)।
यह पता लगाने के लिए कि क्या सिस्टम निर्भर है या असंगत, अन्य विधि, जैसे कि उन्मूलन या राउची-कैपेली प्रमेय, का उपयोग करना होगा।

गणना:

समीकरणों के दिए गए समूह के लिए:

4x + ky + z = 0

kx + 4y + z = 0

2x + 2y + z = 0

यह देखा जा सकता है कि x = y = z = 0 सिस्टम का एक हल है।

अनंत रूप से कई (गैर-शून्य सहित) हल प्राप्त करने के लिए, D को शून्य होना चाहिए। 

⇒  = 0

⇒ 4(4 - 2) + k(2 - k) + 2(k - 4) = 0

⇒ 8 + 2k - k² + 2k - 8 = 0

⇒ k² - 4k = 0

⇒ k(k - 4) = 0

⇒ k = 0 या k - 4 = 0

⇒ k = 0 या k = 4

अतः, k के 2 संभव मान हैं लेकिन गैर-शून्य समाधान एक है।। 

धारणा:

A X = 0 समीकरणों की प्रणाली को समीकरणों की सजातीय प्रणाली कहा जाता है तो

यदि |A| ≠ 0 तो इसका हल X = 0 साधारण हल कहलाता है।

यदि |A| = 0 तो A X = 0 में एक गैर-साधारण हल है जिसका अर्थ है कि प्रणाली में अनंत रूप से कई हल होंगे।

धारणा:

समीकरणों की प्रणाली A X = 0 को समीकरणों की सजातीय प्रणाली कहा जाता है तो

यदि |A| ≠ 0 तो इसका हल X = 0 साधारण हल कहलाता है।

यदि |A| = 0 तो A X = 0 में एक गैर-साधारण हल है जिसका अर्थ है कि प्रणाली में अनंत रूप से कई हल होंगे।

गणना:

दिया हुआ: 2x – 3y = 0 और 2x + αy = 0

इन समीकरणों को इसप्रकार लिखा जा सकता है: A X = B जहाँ 

जैसा कि हम जानते हैं कि दी गई प्रणाली समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली है इसलिए यह कहने के लिए कि प्रणाली में अद्वितीय हल है: |A| ≠ 0

⇒ |A| = 2α + 6 ≠ 0 ⇒ α ≠ -3

धारणा:

हम दो चरों में समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

a₁ × x + b₁ × y = c₁

a₂ × x + b₂ × y = c₂

फिर 

क्रेमर के नियम से समीकरण की प्रणाली का हल अद्वितीय हल है यदि Δ ≠ 0 और हल निम्न द्वारा दिया गया है: 

इसी तरह क्रेमर के नियम से यदि Δ = 0 और Δ1 और Δ2 निर्धारकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है तब समीकरणों की प्रणाली असंगत है।

गणना:

दिया हुआ: 4x + y = α and βx + 2y = 3

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि Δ = 0 और Δ1 और Δ2 निर्धारकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है तब समीकरणों की दी गई प्रणाली असंगत है।

∵ दी गई प्रणाली का कोई हल नहीं है

⇒ Δ = 8 - β = 0 ⇒ β = 8

तो α = 3/2 के लिए हम देख सकते हैं कि Δ1 और Δ2 दोनों शून्य हैं।

इसलिए, α ≠ 3/2 और β = 8 के लिए दी गई प्रणाली का कोई हल नहीं है।

धारणा:

हम तीन चरों में समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

a₁ × x + b₁ × y + c₁ × z = d₁

a₂ × x + b₂ × y + c₂ × z = d₂

a₃ × x + b₃ × y + c₃ × z = d₃

फिर 

क्रेमर के नियम से:

I. यदि Δ ≠ 0 तब समीकरण की प्रणाली का अद्वितीय हल है और यह इसके द्वारा दिया गया है: 

II. यदि Δ = 0, Δ, Δ1, Δ2, Δ3 निर्धारकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है तब समीकरणों की प्रणाली असंगत है।

III. यदि Δ = 0 और Δ1 = Δ2 = Δ3 = 0 तब प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत रूप से कई हल हैं।

धारणा:

दिया हुआ: x + y + z = 3, 2x + 2y + 2z = 6 और α x + α y + αz = 3α

जैसा कि हम जानते हैं

⇒ Δ = 0 and Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ = 0

इसलिए, दी गई प्रणाली में α ∈ R के लिए अनंत हल हैं।

संकल्पना:

आव्यूह की कोटि को रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या या आव्यूह में रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की अधिकतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। p x q आव्यूह में आव्यूह की अधिकतम कोटि min (p, q) है।

यदि A की कोटि ≠ C की कोटि है तो प्रणाली का कोई समाधान नहीं है (असंगत समीकरण)।

गणना:

दिया गया है:

रैखिक समीकरणों की प्रणाली निम्न हैं

3x + 3y + 3z = 3

3x + 6y + 12z = 3p

3x + 12y + 30z = 3p2

A =

अब, संवर्धित आव्यूह C =

R2 = R2 - R1 और R3 = R3 - R1 लागू करना

⇒

R3 = R3 - 3R2 लगाना

⇒

यहाँ, आव्यूह A की कोटि 2 है।

चूँकि रैखिक समीकरणों का दिया गया निकाय असंगत है।

आव्यूह A की कोटि ≠ आव्यूह C की कोटि।

⇒( 3p2 - 3) - (9p - 9) ≠ 0

⇒ 3p2 - 9p + 6 ≠ 0

⇒ 3p2 - 6p - 3p + 6 ≠ 0

⇒ 3p(p - 2) - 3(p - 2) ≠ 0

⇒ (p - 2)(3p - 3) ≠ 0

⇒ p ≠ 1, 2

p का हल युग्म निम्न है:

R - {1, 2}

∴ p का मान R - {1, 2} है।

धारणा:

हम तीन चरों में समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

a₁ × x + b₁ × y + c₁ × z = d₁

a₂ × x + b₂ × y + c₂ × z = d₂

a₃ × x + b₃ × y + c₃ × z = d₃

फिर 

क्रेमर के नियम से:

I. यदि Δ ≠ 0 तब समीकरण की प्रणाली का अद्वितीय हल है और यह इसके द्वारा दिया गया है: ">x=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δ" id="MathJax-Element-105-Frame" role="presentation" style="display: inline; font-size: 14px; position: relative;" tabindex="0">x=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δx=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δ

II. यदि Δ = 0, तो Δ, Δ1, Δ2, Δ3 निर्धारकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है तब समीकरणों की प्रणाली असंगत है।

III. यदि Δ = 0 और Δ1 = Δ2 = Δ3 = 0 तब प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत रूप से कई हल हैं।

गणना:

दिया हुआ: x + y + z = 0, x – y + z = 0 और 2x + 3y + αz = 0

जैसा कि हम जानते हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि समीकरण की दी गई प्रणाली के क्रेमर के नियम के अनुसार अनंत रूप से कई हल होने के लिए: Δ = 0 और Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ = 0

हम देख सकते हैं कि Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ = 0 ∵ उनमें सभी प्रविष्टियाँ 0 होने वाला एक स्तंभ होता है।

तो, हमें यह बनाने की जरूरत है Δ = 0

⇒ Δ = - 2α + 4 = 0 ⇒ α = 2.

इसलिए α = 2 के लिए दी गई प्रणाली में अनंत रूप से कई हल हैं।

स्थिति 1: D ≠ 0​

 ≠ 0

2m² + 2 ≠ 0

m² + 1 ≠ 0

m² ≠ -1

यह m के सभी मानों के लिए सत्य है|

स्थिति 2: D = 0

2m² + 2 = 0

m² + 1 = 0

m² = -1

यह कभी सत्य नही हो सकता

∪ की दोनों स्थिति में: m ϵ R

क्रेमर का नियम तभी लागू किया जा सकता है जब

1. रैखिक प्रणाली में समीकरणों की संख्या चरों की संख्या के बराबर होती है अर्थात केवल m = n।
2. गुणांक आव्यूह का सारणिक गैर-शून्य है।

Additional Information

क्रैमर नियम: n अज्ञातों में n समीकरणों की निम्नलिखित रैखिक प्रणाली पर विचार करें:

a11x1 + a12 x2 + ....... + a1n xn = b1

a21x1 + a22 x2 + ....... + a2n xn = b2

.                .

.                .

.                .

an1x1 + an2 x2 + ....... + ann xn = bn

अर्थात्, AX = B, जहाँ , , , i = 1,....,n के लिए Ai को A के i^वें स्तंभ के लिए B को प्रतिस्थापित करने के बाद Ai से प्राप्त आव्यूह के रूप में परिभाषित करें।

Di = परिभाषित करें और ।

फिर, यदि D  0, प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है।

धारणा:

हम तीन चरों में समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

a₁ × x + b₁ × y + c₁ × z = d₁

a₂ × x + b₂ × y + c₂ × z = d₂

a₃ × x + b₃ × y + c₃ × z = d₃

फिर 

क्रेमर के नियम से:

I. यदि Δ ≠ 0 तब समीकरण की प्रणाली का अद्वितीय हल है और यह इसके द्वारा दिया गया है: ">x=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δ" id="MathJax-Element-105-Frame" role="presentation" style="display: inline; font-size: 14px; position: relative;" tabindex="0">x=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δx=Δ1Δ,y=Δ2Δandz=Δ3Δ

II. यदि Δ = 0, तो Δ, Δ1, Δ2, Δ3 निर्धारकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है तब समीकरणों की प्रणाली असंगत है।

III. यदि Δ = 0 और Δ1 = Δ2 = Δ3 = 0 तब प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत रूप से कई हल हैं।

गणना:

दिया हुआ: x + y + z = 0, x – y + z = 0 और 2x + 3y + αz = 0

जैसा कि हम जानते हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि समीकरण की दी गई प्रणाली के क्रेमर के नियम के अनुसार अनंत रूप से कई हल होने के लिए: Δ = 0 और Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ = 0

हम देख सकते हैं कि Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ = 0 ∵ उनमें सभी प्रविष्टियाँ 0 होने वाला एक स्तंभ होता है।

तो, हमें यह बनाने की जरूरत है Δ = 0

⇒ Δ = - 2α + 4 = 0 ⇒ α = 2.

इसलिए α = 2 के लिए दी गई प्रणाली में अनंत रूप से कई हल हैं।