Condition for Equilibrium MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Condition for Equilibrium - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

आप्लवकेंद्री ऊँचाई (GM) के संदर्भ में तैरते हुए पिंड के लिए स्थिर संतुलन की स्थिति इस प्रकार है:

• स्थिर संतुलन: GM > 0 (M, G के ऊपर है)
• उदासीन संतुलन: GM = 0 (M, G के साथ संपाती है)
• अस्थिर संतुलन: GM < 0 (M, G के नीचे है)

तैरते हुए पिंड के संतुलन की स्थितियाँ हैं: (1) स्थिर (2) अस्थिर और (3) उदासीन।

1. स्थिर स्थिति

• यदि किसी तैरते हुए पिंड को थोड़ा कोणीय विस्थापन दिया जाता है, तो उसे उसकी मूल स्थिति में पुनर्स्थापित करने के लिए एक सुधारक आघूर्ण होता है, तो तैरते हुए पिंड का संतुलन स्थिर होता है।
• इस तरह के संतुलन में, आप्लवकेंद्री गुरुत्व केंद्र के ऊपर स्थित होता है अर्थात आप्लवकेंद्री ऊँचाई धनात्मक होती है।
• बाहरी युग्म आंतरिक बलों द्वारा विकसित युग्म द्वारा संतुलित होता है।

2. अस्थिर स्थिति।

• यदि पिंड के किसी भी छोटे झुकाव के साथ उन बलों या आघूर्णों का विकास होता है जो पिंड के विस्थापन को और बढ़ाने की प्रवृत्ति रखते हैं, तो तैरते हुए पिंड के संतुलन को अस्थिर कहा जाता है। अस्थिर संतुलन में, आप्लवकेंद्री (M) गुरुत्व केंद्र (G) के नीचे स्थित होता है अर्थात आप्लवकेंद्री ऊँचाई ऋणात्मक होती है।
• बाहरी लागू युग्म और आंतरिक बलों के कारण विकसित युग्म एक ही दिशा में कार्य करते हैं, जिससे विस्थापन बढ़ता है और संतुलन अस्थिर हो जाता है।

3. उदासीन स्थिति।

• जब पिंड के छोटे झुकाव पर, पिंड एक नई स्थिति लेता है, तो पिंड के संतुलन को उदासीन कहा जाता है। इस संतुलन में, आप्लवकेंद्री और गुरुत्व केंद्र संपाती होते हैं।
• चूँकि पिंड पर न तो कोई सुधारक आघूर्ण और न ही कोई पलटने वाला आघूर्ण कार्य करता है, इसलिए पिंड एक नई स्थिति में विराम में रहता है।

स्पष्टीकरण:

जब किसी निकाय को किसी तरल पदार्थ में पूरी तरह या आंशिक रूप से डूबाया जाता है, तो उसे एक ऊर्ध्व बल का अनुभव होगा, जिसे उत्प्लावक बल कहा जाता है, जो उस निकाय द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।

हिमखंड पानी में तैर रहा है, इसका मतलब है कि समुद्री जल में डूबे हुए हिमखंड के एक हिस्से पर ऊर्ध्व उत्प्लावक बल हिमखंड के नीचे की ओर के भार से संतुलित होता है।

स्पष्टीकरण:

उत्प्लावक बल:

• जब एक ठोस निकाय या तो पूरी तरह से या आंशिक रूप से तरल में निमज्जित होता है, तो निकाय द्वारा अनुभव किए गए द्रवस्थैतिक दाब बलों के शुद्ध उर्ध्वाधर घटक के कारण द्रवस्थैतिक उत्तोलन होता है, जो उत्प्लावक बल कहलाता है।
• एक निमज्जित या प्लवमान निकाय पर लगने वाला उत्प्लावक बल निकाय द्वारा विस्थापित तरल के वजन के बराबर होता है और यह विस्थापित आयतन के केन्द्रक, जिसे उत्प्लावकता केंद्र के रूप में जाना जाता है, के माध्यम से उर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर कार्य करता है।

Additional Information

आर्किमिडीज सिद्धांत:

• आर्किमिडीज के सिद्धांत में कहा गया है कि ऊपर की ओर उर्ध्वगामी बल जो किसी तरल पदार्थ में डूबे हुए निकाय पर डाला जाता है, चाहे वह पूरी तरह से या आंशिक रूप से जलमग्न हो, उस तरल पदार्थ के वजन के बराबर होता है जो निकाय के द्रव्यमान के केंद्र में उर्ध्वगामी दिशा में विस्थापित और विस्थापित द्रव के केंद्र भाग पर कार्य करता है।

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम: 

इस नियम के अनुसार- जब द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं को एक निश्चित दूरी पर रखा जाता है तो गुरुत्वाकर्षण बल द्रव्यमान उनके द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

\(Gravitational\;Force = F \propto \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}} \Rightarrow F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, r दो द्रव्यमानों के बीच की दूरी है, m1 और m2 द्रव्यमान हैं।

श्यान बल:

• श्यानता तरल का गुण है जिसके कारण यह तरल की परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है।
• श्यानता बल वह प्रतिरोधक बल है जो तरल की परतों के बीच कार्य कर रहा है और परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है और निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow F = μ A \frac{dV}{dx}\)

जहां μ = गतिशील श्यानता, A = छेत्रफल, और \(\frac{dV}{dx} = velocity \ gradient \)

• जब एक निकाय या तो पूर्ण रूप से या आंशिक रूप से एक तरल में निमज्जित होता है, तो निकाय द्वारा अनुभव किए गए द्रवस्थैतिक दाब बलों के शुद्ध ऊर्ध्वाधर घटक के कारण एक उत्तोलन उत्पन्न होता है। इस उत्तोलन को उत्प्लावक बल कहा जाता है और इस घटना को उत्प्लावकता कहा जाता है।
• आर्किमिडीज का सिद्धांत बताता है कि एक निमज्जित निकाय पर उत्प्लावक बल निकाय द्वारा विस्थापित तरल के वजन के बराबर होता है और यह विस्थापित आयतन के केंद्रक के माध्यम से उर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर कार्य करता है।
• अतः निमज्जित निकाय का शुद्ध वज़न (इसके द्वारा अनुभव किया गया उर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर का बल) उस मात्रा से इसके वास्तविक वजन में से घट जाता है जो उत्प्लावक बल के बराबर होता है।

FB = ρghA = ρgV

FB = f(Vdisplaced, ρ)

व्याख्या:

तरल पदार्थ में स्वैच्छिक निमज्जित निकानिकायों की स्थिरता:

एक द्रव में निमज्जित निकाय की साम्यावस्था के लिए आवश्यक है कि निकाय के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से कार्य करने वाला निकाय का वजन उत्प्लावन के केंद्र के माध्यम से कार्य करने वाले एक समान द्रवस्थैतिक उत्तलोन के साथ संरेखीय होना चाहिए।

• संतुलित साम्यावस्था: यदि निकाय वास्तविक उर्ध्वाधर अक्ष को उर्ध्वाधर बनाए रखते हुए इसकी वास्वतिक स्थिति पर वापस आ जाता है
• असंतुलित साम्यावस्था: यदि निकाय इसके वास्तविक स्थिति पर वापस नहीं आता है लेकिन इससे आगे बढ़ जाता है
• उदासीन साम्यावस्था: यदि निकाय ना तो इसके वास्तविक स्थिति में लौटता है और ना ही इसका विस्थापन आगे बढ़ता है, तो यह साधारण रूप से इसकी नई स्थिति के अनुकूल हो जाता है

एक निकाय के गुरुत्वाकर्षण बल (G) और उत्प्लावन केंद्र (B) की सापेक्षिक स्थिति एक निमज्जित निकाय की स्थिरता को निर्धारित करती है।

• संतुलित साम्यावस्था: B, G से ऊपर होता है।

• असंतुलित साम्यावस्था: B, G से नीचे होता है।

• उदासीन साम्यावस्था: B, G के साथ मेल खाता है।

स्पष्टीकरण:

आंशिक रूप से जलमग्न निकाय प्लवमान निकाय से मिलता जुलता है, जहाँ निकाय का वजन ऊपर की दिशा में कार्य करने वाले उत्प्लावक बल द्वारा संतुलित होता है। प्लवन की स्थिरता प्लवमान निकाय के आप्लवकेंद्र द्वारा नियंत्रित होती है।

आप्लवकेंद्र वह बिंदु है जिसके ओर एक निकाय एक छोटे कोण द्वारा झुका हुआ होने पर दोलन करना शुरू कर देता है। यह वह बिंदु है जहां निकाय की एक छोटी कोणीय विस्थापन दिए जाने पर उत्प्लावकता की क्रिया की रेखा निकाय के लंब अक्ष से मिल जाएगी।

प्लवमान निकायों की स्थिरता:

स्थिर साम्यावस्था: आप्लवकेंद्र निकाय के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से ऊपर होता है , तब विक्षुब्ध युग्म को युग्म को पुनर्स्थापित करके संतुलित किया जाता है, निकाय स्थिर साम्यावस्था में होगा।

अस्थिर साम्यावस्था: आप्लवकेंद्र निकाय के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से नीचे है, तब विक्षुब्ध युग्म को युग्म को पुनर्स्थापित करके समर्थित किया जाता है, निकाय अस्थिर साम्यावस्था में होगा।

तटस्थ साम्यावस्था: आप्लवकेंद्र और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र एक ही बिंदु पर संपाती होते हैं, तो निकाय तटस्थ साम्यावस्था में है।

जलमग्न निकायों की स्थिरता: जलमग्न निकाय के मामले में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र और उत्प्लावकता का केंद्र तय होता है, इसलिए स्थिरता और अस्थिरता का निर्णय उत्प्लावकता के केंद्र और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की सापेक्ष स्थितियों द्वारा किया जाता है।

स्थिर साम्यावस्था: स्थिर साम्यावस्था के लिए, निकाय का उत्प्लावकता का केंद्र गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से ऊपर होता है। विक्षुब्ध युग्म का पुनर्स्थापन युग्म द्वारा विरोध किया जाता है।

अस्थिर साम्यावस्था: अस्थिर साम्यावस्था के लिए उत्प्लावकता का केंद्र निकाय के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से नीचे होता है, विक्षुब्ध युग्म को पुनर्स्थापन युग्म द्वारा समर्थित किया जाता है।

तटस्थ साम्यावस्था: जब गुरुत्वाकर्षण का केंद्र और उत्प्लावकता का केंद्र संपाती होते हैं तो यह तटस्थ साम्यावस्था की स्थिति है।

संकल्पना:

एक निकाय का विशिष्ट वजन =  w₁ , द्रव्य का विशिष्ट वजन =  w₂

निकाय द्रव्य पर तैरता है। 

माना कि एक निकाय के भाग का y% द्रव्य में डूबा हुआ है। 

इसलिए, प्रवाहमान के सिद्धांत से,

द्रव्य द्वारा लगाया जाने वाला उत्प्लावकता बल = निकाय का वजन 

y × (ρ_f × g × V) = ρ_b × g × V 

इसलिए, y × (w₂) = w₁

⇒ \(y=\frac{w_1}{w_2}\)............(द्रव्य में डूबा हुआ भाग)

अब, द्रव्य के बाहर एक निकाय का भाग = 1 - \(\frac{w_1}{w_2}\) = \(\frac{w_2-w_1}{w_2}\)

संकल्पना:

द्रव में किसी पिंड को स्थिर कहा जाता है जब इसे थोड़ा सा विस्थापित किया जाता है, तो यह अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाता है।

पूरी तरह से डूबे हुए पिंडों के स्थायित्व के लिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र 'G' उत्प्लावन केंद्र 'B' के नीचे होता है।

• जब एक निकाय या तो पूर्ण रूप से या आंशिक रूप से एक तरल में निमज्जित होता है, तो निकाय द्वारा अनुभव किए गए द्रवस्थैतिक दाब बलों के शुद्ध ऊर्ध्वाधर घटक के कारण एक उत्तोलन उत्पन्न होता है। इस उत्तोलन को उत्प्लावक बल कहा जाता है और इस घटना को उत्प्लावकता कहा जाता है।
• आर्किमिडीज का सिद्धांत बताता है कि एक निमज्जित निकाय पर उत्प्लावक बल निकाय द्वारा विस्थापित तरल के वजन के बराबर होता है और यह विस्थापित आयतन के केंद्रक के माध्यम से उर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर कार्य करता है।
• अतः निमज्जित निकाय का शुद्ध वज़न (इसके द्वारा अनुभव किया गया उर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर का बल) उस मात्रा से इसके वास्तविक वजन में से घट जाता है जो उत्प्लावक बल के बराबर होता है।

FB = ρghA = ρgV

FB = f(Vdisplaced, ρ)

Concept:-

Archimedes' Principle - 

When an object is submerged in a fluid, it experiences a buoyant force, B. This buoyant force results from the pressure-based forces on the surfaces of the submerged object.

Archimedes’ Principle states that the magnitude of the buoyant force is equal to the weight of the fluid displaced by the submerged object.

⇒ B = W_{displaced-fluid} = m_{displaced-fluid} × g = ρ_fluid. V_{displaced-fluid}. g

If the object is completely submerged in the fluid, the volume of displaced fluid equals the volume of the submerged object:

V_{displaced-fluid} = V_object. 

Calculation:-

Given:-

ρHg = Density of mercury = 13.6 × 1000 = 13600 kg/m3 ....(As the density of water = 1000 kg/m3)

ρwater = 1000 kg/m3

40% of the volume of the object is submerged in mercury and 60% in water.  

Let, V = Volume of the object

ρobject = ?

As we know from the Archimedes principle, the buoyancy force is equal to the weight of the fluid displaced by the submerged object. 

As the body fully submerges in fluids, the buoyancy force equals the object's weight.

Object's weight = ρ_object. V. g       ...(1)

Buoyancy force,

B = ρfluid. Vdisplaced-fluid. g

B = (13600 × 0.4V + 1000 × 0.6V)g       ...(2)

On putting equation (1) equals to equation (2),

ρobject. V. g = (13600×0.4V + 1000×0.6V)g

⇒ ρ_object = 6040 kg/m3

\(specific\;gravity = \frac{{density\;of\;body}}{{density\;of\;water\;at\;4°C\;\left( {1000\frac{{kg}}{{{m^3}}}} \right)}}\)

ऊपर दिए गए सूत्र के अनुसार,धातु के टुकडे का घनत्व (ρ_metal) = 7000 Kg/m³

इसी प्रकार,तरल का घनत्व यानी पारा (ρ_fluid) = 13600 Kg/m³

ऊर्ध्वाधर दिशा में समतुल्य समीकरण लागू करने पर ;

धातु के टुकडे का वजन  (W) = उत्प्लावकता (F_B)

\(mg = {F_B}\)

\({\rho _{metal}}g{V_{metal}} = {\rho _{fluid}}g{V_{disp}}\)

\(7000{V_{metal}} = 13600{V_{disp}}\)

\(\frac{{{V_{disp}}}}{{{V_{metal}}}} = \frac{{7000}}{{13600}} = 0.5147\)

वर्णन:

एक निकाय को जलमग्न तब कहा जाता है यदि यह पूर्ण रूप से तरल पदार्थ के अंदर होता है। एक आंशिक जलमग्न निकाय को प्रवाहमान निकाय भी कहा जाता है। स्थिरता स्थितियां इन दो स्थितियों के लिए अलग हैं, जैसा आप नीचे दी गयी आकृति में देख सकते हैं।

समतुल्यता के तीन प्रकार निम्न हैं

1. संतुलित समतुल्यता:

जब एक निकाय को इसके समतुल्यता स्थिति से हटाया जाता है और छोड़ दिया जाता है। तो यदि निकाय अपने प्रारंभिक स्थिति में आ जाती है, तो कहा जाता है कि यह समतुल्यता स्थिति में है।

2. असंतुलित समतुल्यता:

जब एक निकाय को इसके समतुल्यता स्थिति से हटाया जाता है और छोड़ दिया जाता है। तो यदि निकाय अपने प्रारंभिक स्थिति में नहीं आती है, बजाय इसके यह दूसरे स्थिति में जाती है, तो उस स्थिति में इसे असंतुलित समतुल्यता कहा जाता है। 

3. तटस्थ समतुल्यता:

जब एक निकाय को इसके समतुल्यता स्थिति से हटाया जाता है और छोड़ दिया जाता है, और यदि निकाय स्वयं अपनी स्थिति को परिवर्तित नहीं करती है, तो इसे तटस्थ समतुल्यता में कहा जाता है। 

​

जलमग्न निकाय के लिए स्थिरता स्थिति:

जलमग्न निकाय की स्थिति के लिए यहाँ दो स्थितियों को संतुष्ट किया जाना चाहिए:

• निकाय का वजन विस्थापित तरल पदार्थ के वजन के बराबर होना चाहिए।
• निकाय के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र G उत्प्लावकता के केंद्र G से नीचे होना चाहिए। 

प्रवाहमान निकाय की स्थिरता:

प्रवाहमान निकाय की स्थिरता आप्लवकेंद्री ऊंचाई पर निर्भर करती है। आप्लवकेंद्री ऊंचाई आप्लवकेंद्र और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बीच की दूरी है। जिसे GM द्वारा दर्शाया गया है, यदि

• GM > 0 का अर्थ है कि जब M, G से ऊपर है, तो प्रवाहमान निकाय को संतुलित समतुल्यता में कहा जाता है।
• GM = 0 का अर्थ है कि M, G के साथ मेल खाता है। तो निकाय को तटस्थ समतुल्यता में कहा जाता है। 
• GM < 0 का अर्थ है कि M, G से नीचे है और फिर निकाय असंतुलित समतुल्यता में होगा। 

व्याख्या:

बिंदु 'M' जिसपर नए उत्प्लवनशील बल के कार्य की रेखा वस्तु के CG के माध्यम से वास्तविक उर्ध्वाधर रेखा को प्रतिच्छेदित करती है, उसे आप्लवकेंद्र कहा जाता है। यह एक ऐसा बिंदु होता है जिसके चारों ओर एक प्लवमान वस्तु तब दोलन करना प्रारंभ करती है जब एक छोटा कोणीय विस्थापन दिया जाता है।

अवधारणा:

बिंदु 'M' जिसपर नए उत्प्लवनशील बल के कार्य की रेखा निकाय के CG के माध्यम से वास्तविक उर्ध्वाधर रेखा को प्रतिच्छेदित करती है, उसे आप्लव-केंद्र कहाँ जाता है। यह एक ऐसा बिंदु होता है जिसके चारों ओर एक प्लवमान निकाय तब दोलन करना प्रारंभ करती है जब एक छोटा कोणीय विस्थापन दिया जाता है।

संकल्पना:

एक प्रवाहमान निकाय के लिए गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उत्प्लावकता के केंद्र से ऊपर होता है और स्थिर समतुल्यता के लिए आप्लवकेंद्र गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से ऊपर होता है। स्थिरता का निर्णय आप्लवकेंद्र स्थिति द्वारा किया जाता है।

घूर्णन के अलग-अलग अक्षों से संबंधित आप्लवकेंद्र की स्थिति सामान्यतौर पर समान प्रवाहमान वस्तु के लिए अलग होती है क्योंकि विस्थापित आयतन की आकृति अलग-अलग अक्षों के लिए अलग होती है, उदाहरण के लिए यदि एक जहाज समुद्र में तैरता है, तो इसमें घूर्णन के तीन अक्ष होते हैं, जैसा नीचे दी गयी आकृति में दर्शाया गया है।

आप्लवकेंद्रित ऊंचाई मुख्य रूप से जहाज द्वारा विस्थापित आकृति और आयतन पर तब निर्भर करती है जब यह किसी दिशा में कुछ बाधा से गुजरती है, चूँकि तीन अक्षों के आस-पास जहाज का घूर्णन पानी की अलग-अलग मात्रा को विस्थापित करेगा, इसलिए अलग-अलग दिशा में आप्लवकेंद्र की स्थिति भी परिवर्तित होगी।

आप्लवकेंद्र कार्गो जहाज की भारण स्थिति में परिवर्तन के साथ भी परिवर्तित होगी, जैसे-जैसे जहाज पर भार कम होता है, वैसे ही गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति भी परिवर्तित होगी जो आप्लवकेंद्र ऊंचाई को परिवर्तित करेगी।