Binomial Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

द्विपद बंटन का माध्य, \( \mu = 200 \)

द्विपद बंटन का प्रसरण, \( \sigma^{2} = 160 \)

एक द्विपद यादृच्छिक चर के लिए,

\( \mu = np \quad\text{और}\quad \sigma^{2} = np(1-p). \)

माध्य से,

\( np = 200 \;\Longrightarrow\; p = \dfrac{200}{n}. \)

प्रसरण का उपयोग करने पर,

\( np(1-p) = 160 \;\Longrightarrow\; n\bigl(\tfrac{200}{n}\bigr)\!\Bigl(1-\tfrac{200}{n}\Bigr)=160 \;\Longrightarrow\; 200\Bigl(1-\tfrac{200}{n}\Bigr)=160. \)

सरलीकरण करने पर,

\( 1-\tfrac{200}{n} = 0.8 \;\Longrightarrow\; \tfrac{200}{n} = 0.2 \;\Longrightarrow\; n = \dfrac{200}{0.2} = 1000. \)

∴ परीक्षणों की संख्या \( n = 1000 \) है।

गणना:

दिया गया,

प्रति शॉट लक्ष्य भेदने की प्रायिकता, \(p = \frac{1}{5}\)

दागे गए शॉट की संख्या, \(n = 7\)

हिट की संख्या द्विपद बंटन का अनुसरण करती है:

\(X \sim \mathrm{Binomial}(n=7,\;p=\tfrac15)\)

शून्य लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

\(P(X=0)=\left(\frac45\right)^{7}\)

ठीक एक लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

\(P(X=1)=\binom71\!\left(\frac15\right)\!\left(\frac45\right)^{6} =\frac{7}{5}\left(\frac45\right)^{6}\)

कम से कम दो लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

\(P(X\ge2)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr] =1-\frac{11}{5}\left(\frac45\right)^{6} \)

∴ लक्ष्य पर कम से कम दो बार भेदने की प्रायिकता \(1-\dfrac{11}{5}\left(\dfrac45\right)^{6} \) है।

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो n = 6 और p = \(\frac{1}{4} \) प्राचल वाले द्विपद बंटन का अनुसरण करता है।

द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन है:

\( P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} \)

\( P(X = 3) \) के लिए, हमारे पास है:

\( P(X = 3) = \binom{6}{3} \left( \frac{1}{4} \right)^3 \left( \frac{3}{4} \right)^3 \)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( P(X = 3) = 20 \times \frac{1}{64} \times \frac{27}{64} \)

अब समीकरण को सरल करने पर:

\( P(X = 3) = 20 \times \frac{27}{4096} = \frac{540}{4096} \)

भिन्न को सरल करने पर :

\( P(X = 3) = \frac{135}{1024} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है। 

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो n = 6 और p = k प्राचल वाले द्विपद बंटन का अनुसरण करता है।

साथ ही, यह दिया गया है:

\( 9P(X = 4) = P(X = 2) \)

द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन है:

\( P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} \)

P(X = 4) के लिए, हमारे पास है:

\( P(X = 4) = \binom{6}{4} k^4 (1 - k)^2 = 15 k^4 (1 - k)^2 \)

P(X = 2) के लिए, हमारे पास है:

\( P(X = 2) = \binom{6}{2} k^2 (1 - k)^4 = 15 k^2 (1 - k)^4 \)

हमें दिया गया है कि:

\( 9P(X = 4) = P(X = 2) \)

P(X = 4) और P(X = 2) के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( 9 \times 15 k^4 (1 - k)^2 = 15 k^2 (1 - k)^4 \)

15 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को निरस्त करने पर:

\( 9 k^4 (1 - k)^2 = k^2 (1 - k)^4 \)

\( 9 k^2 = (1 - k)^2 \)

\( 9 k^2 = 1 - 2k + k^2 \)

\( 8 k^2 + 2k - 1 = 0 \)

k के लिए हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:

\( k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 8 \times (-1)}}{2 \times 8} \)

\( k = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{16} \)

\( k = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{16} \)

\( k = \frac{-2 \pm 6}{16} \)

इस प्रकार, k के दो संभावित मान हैं:

\( k = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \) या \( k = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \)

चूँकि k एक प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए यह 0 और 1 के बीच होना चाहिए। इसलिए, मान्य हल है:

\( k = \frac{1}{4} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

प्रयुक्त सूत्र:

बर्नोली बंटन B(n, p) के लिए,

P(X = k) = \({^nC_k} p^k (1-p)^{n-k}\)

गणना:

दिया गया है:

बर्नोली बंटन B(10, \(\frac{1}{2}\))

P(X ≤ 2) = m(\(\frac{1}{2}\))¹⁰

P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = \({^{10}C_0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^{10} = (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X=1) = \({^{10}C_1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{9} = 10 (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X=2) = \({^{10}C_2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8} = \frac{10 \times 9}{2} (\frac{1}{2})^{10} = 45 (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X ≤ 2) = (\(1 + 10 + 45)(\frac{1}{2})^{10} = 56 (\frac{1}{2})^{10}\)

दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,

m = 56

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है। 

एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:

P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k

गणना:

एकल उछाल में चित मिलने की प्रायिकता p = \(\frac12\) है।

∴ 6 उछालों में 2 चित मिलने की प्रायिकता निम्न होगी

P(X = 2) = 6C2\(\left(\frac12\right)^2\)\(\left(1-\frac12\right)^{6-2}\)

= \(\frac{15}{64}\)

अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है। 

एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:

P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k

गणना:

पक्षी के मारे जाने की प्रायिकता है = "3 में 1" = \(\frac13\)

∴ 3 प्रयासों में किसी पक्षी के न मारे जाने की प्रायिकता निम्न होगी:

P(X = 0) = 3C0 \(\left(\frac13\right)^0\) \(\left(1-\frac13\right)^{3-0}\)

= \(\frac8{27}\)

संकल्पना:

द्विपद बंटन:​ P(x = r) = ⁿC_r p^r q^n-r, जहाँ r = 0,1,2,......n। 

जहाँ, n = परीक्षणों की कुल संख्या

p = प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता

q = 1- p = असफलता की प्रायिकता

r =सफलताओं की संख्या 

गणना:

पेनों की कुल संख्या 100 है।

खराब पेनों की संख्या 10 है।

सही पेनों की संख्या 100 - 10 = 90 है। 

P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन) = P(कोई खराब पेन नहीं) + P(1 खराब पेन)

P(कोई खराब पेन नहीं) = P(r = 0) = \(^5C_0(\frac{1}{10})^0(\frac{9}{10})^5\) = \(\left(\frac{9}{10}\right)^5\)

P(1 खराब पेन) = ⁵C₁ × \(\left(\frac{9}{10}\right)^4\)× \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^4\)

∴ P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन​) = \(\left(\frac{9}{10}\right)^5+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^4\)

सही उत्तर विकल्प 4 है।

धारणा:

द्विपद वितरण:

\(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^n}{C_x} \times {p^x} \times {q^{n - x}}\) जहां p सफलता की प्रायिकता है, q विफलता की प्रायिकता है, n प्रयासों की कुल संख्या है और x सफल प्रयासों की संख्या है।

गणना:

दिया हुआ: एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है।

माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो p 6 मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें = 1 / 6

माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो q 6 न मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें

= 1 – (1 / 6) = 5 / 6

जैसा कि हम जानते हैं कि द्विपद वितरण के अनुसार:

\(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^n}{C_x} \times {p^x} \times {q^{n - x}}\)

यहाँ n = 4, x = 2, p = 1 / 6 और q = 5 / 6

इसलिए जब एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है तो ठीक 2 छक्के मिलने की प्रायिकता

⇒ \(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^4}{C_2} \times {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} \times {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{25}}{{216}}\)

संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।

गुण:

• वितरण का माध्य (μ) = np
• प्रसरण (σ2x) = npq

गणना:

दिया हुआ:

माध्य μ = np = 8        ----(1)

प्रसरण σ2 = npq = 4       ----(2)

समीकरण (2) को (1) से विभाजित करके हम प्राप्त करते हैं

q = 1/2

जैसा कि हम जानते हैं, p + q = 1

⇒ p = 1 - q = 1/2

n के मान को समीकरण (1) में रखें, हम प्राप्त करते हैं

n = 16

अब

P(x = 1) = \(\rm ^{16}C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16-1}\)

\(=16 \times \frac{1}{2^{16}}\\=2^4 \times \frac{1}{2^{16}}\\=\frac{1}{2^{12}}\)

अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि किसी यादृच्छिक चार X में B और (n, p) के रूप में n और p में मापदंडों के रूप में द्विपद वितरण है, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता निम्नानुसार है:

P( X = k) = nCk pk q(n - k) जहां q = p - 1, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और q विफलता की प्रायिकता है।

ध्यान दें: द्विपद वितरण का माध्य np और प्रसरण npq है।

गणना:

दिया गया है कि: एक निष्पक्ष पासे को 72 बार फेंक दिया जाता है और एक फेंक पर 4 प्राप्त करना सफलता कहा जाता है

जैसा कि हम जानते हैं कि जब एक पासा फेंका जाता है तो 6 परिणाम आता हैं।

माना एक फेंक पर 4 प्राप्त करने की प्रायिकता बताएं जिसे p द्वारा निरूपित किया जाता है।

⇒ p = 1/6

माना कि विफलता की प्रायिकता को q = 1 - p द्वारा दर्शाया गया है।

⇒ q = 1 - 1/6 = 5/6

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक द्विपद वितरण का प्रसरण = npq 

\(\rm ⇒variance = 72 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}=10\)

इसलिए, सही विकल्प 3 है।

दिया गया है:

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X,Y को द्विपद रूप से बंटन किया जाता है तो इसका अर्थ है

X ~ B(n, p)

X ~ B(3, 1/3) और Y ~ B(5, 1/3)

यहां, B = द्विपद बंटन

n = प्रेक्षणों की संख्या

p = प्रायिकता

गणना:

चूंकि X और Y स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर हैं जिनमें p₁ = p₂ है = 1/3

द्विपद बंटन का गुण जोड़ने पर

⇒ X + Y ~ B(3 + 5, 1/3)

⇒ X + Y ~B(8,1/3)

हम जानते हैं कि, P(X + Y ≥ γ) = ⁸C_r(1/3)^r(2/3)^{8 - r}

⇒ P(X + Y ≥ 1) = 1 - P( X + Y < 1)

⇒ 1 - P(X + Y = 0)

∴ 1 - (2/3)⁸

संकल्पना:

एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

P(X = k) = \(\rm ^nC_kp^kq^{n-k}\)

माध्य = np 

भिन्नता = npq

गणना:

दिया गया है, द्विपद वितरण वाले एक यादृच्छिक चर X का माध्य और भिन्नता क्रमशः 4 और 2 हैं,

⇒ माध्य = np = 4              ....(1)

⇒ भिन्नता = npq = 2       ....(2)

समीकरण (1) और (2) से, हमारे पास निम्न हैं

⇒ q = \(\rm \dfrac 12\)

हम जानते हैं, p = 1 - q 

⇒ p = \(\rm \dfrac 12\)

समीकरण (1) से, हमारे पास निम्न हैं

n = 8 

एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

P(X = k) = \(\rm ^nC_kp^kq^{n-k}\)

⇒P(X = 1) = \(\rm ^8C_1p^1q^{8-1}\)

⇒P(X = 1) = 8.\(\rm \dfrac 12\). \(\rm \dfrac {1}{2^7}\)

⇒P(X = 1) = \(\rm \dfrac {1}{32}\)

संकल्पना:

द्विपद वितरण:

पैरामीटर n और p के साथ P(X = r) के लिए द्विपद वितरण निम्नानुसार दिया गया है:

\(\rm P(X=r) = ^nC_rp^rq^{n-r}\)

जहाँ q पूरक घटना है।

साथ ही, किसी भी यादृच्छिक चर X का गुण,

E(aX + b)  = aE(X) + b

V(aX + b)  = (a2)V(X) 

गणना:

दिया गया है: n = 10 और \(\rm p = \dfrac{1}{5}\)

इसलिए, q = 1 - p 

\(\rm q = \dfrac{4}{5}\)

यादृच्छिक चर X के लिए,

माध्य = E(X) = np = 10 × (1/5) = 2

प्रसरण = V(X) = npq = 10 × (1/5) ×(4/5)  = 8/5

चूँकि, Y = 10 - X

⇒ E(Y) = E(10 - X)

⇒ E(Y) = 10 - E(X) = 10 - 2

⇒ 8 = n'p'      ....(1)

साथ ही, V(Y) = V(10 - X) = 0 + (-1)2 V(X)

⇒ 8/5 = n'p'q'      ....(2)

1 और 2 को हल करने पर हमें n', p', और q' प्राप्त होगा जो होगा,

⇒ 8/5 = 8'q'   

⇒ q' = 1/5   

⇒ p' = 4/5   

अब,

⇒ 8 = n'  (4/5)

⇒ n' = 10

संकल्पना: 

अगर सही और गलत के केवल 2 मामले हो सकते हैं, तो:

n में से r सही मामलों की प्रायिकता (≥ r) P(x = r) = ⁿC_r p^rq^(n-r) 

जहां p मामले के सही होने की प्रायिकता है और q मामले के गलत होने की प्रायिकता है

नोट: p और q ≤ 1 हैं 

गणना:

सही उत्तर की प्रायिकता p = \(\rm 1\over 4\) = 0.25

गलत उत्तर की प्रायिकता q = \(\rm 3\over 4\) = 0.75

कुल प्रश्न n = 5

कम से कम एक सही उत्तर की  संभावना  (x ≥ 1):

P(x ≥ 1) = 1 - P(x = 0)

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - ⁵C₀ p⁰q⁵

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - (0.75)⁵ 

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - 0.2373

⇒ P(x ≥ 1) \(\boldsymbol{\rm \approx}\) 0.7627