Binomial Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त सूत्र:

बर्नोली बंटन B(n, p) के लिए,

P(X = k) = \({^nC_k} p^k (1-p)^{n-k}\)

गणना:

दिया गया है:

बर्नोली बंटन B(10, \(\frac{1}{2}\))

P(X ≤ 2) = m(\(\frac{1}{2}\))¹⁰

P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = \({^{10}C_0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^{10} = (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X=1) = \({^{10}C_1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{9} = 10 (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X=2) = \({^{10}C_2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8} = \frac{10 \times 9}{2} (\frac{1}{2})^{10} = 45 (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X ≤ 2) = (\(1 + 10 + 45)(\frac{1}{2})^{10} = 56 (\frac{1}{2})^{10}\)

दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,

m = 56

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

एक असतत यादृच्छिक चर X का माध्य (या प्रत्याशित मान) इस प्रकार दिया जाता है:

\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i)\)

जहाँ x_i, X के संभावित मान हैं और P(x_i) उनकी प्रायिकताएँ हैं।

गणना:

दिया गया है:

एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछाला गया।

मान लीजिए X, तीन उछालों में चित आने की संख्या है।

X के संभावित मान 0, 1, 2, 3 हैं।

प्रायिकताएँ निम्नवत हैं:

\(P(X=0) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\) (TTT)

\(P(X=1) = 3(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}\) (HTT, THT, TTH)

\(P(X=2) = 3(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{8}\) (HHT, HTH, THH)

\(P(X=3) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\) (HHH)

चितों की माध्य संख्या है:

\(E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8}\)

\( = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

मान लीजिए X खराब सेबों की संख्या है:

⇒ P(X = 0) = \(\frac{^{15}C_2}{^{18}C_2}\) = \(\frac{105}{153}\)

⇒ P(X = 1) = \(\frac{^3C_1×^{15}C_1}{^{18}C_2}\) = \(\frac{45}{153}\)

⇒ P(X = 0) = \(\frac{^{3}C_2}{^{18}C_2}\) = \(\frac{3}{153}\)

⇒ E(X) = 0 x \(\frac{105}{153}\) + 1 x \(\frac{45}{153}\) + 2 x \(\frac{3}{153}\) = \(\frac{51}{153}\) = \(\frac{1}{3}\)

⇒ Var(X) = E(X²) - (E(X))²

⇒ 0 x \(\frac{105}{153}\) + 1 x \(\frac{45}{153}\) + 4 x \(\frac{3}{153}\) - \((\frac{1}{3})^2\) = \(\frac{57}{153}\) - \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{57 -17}{153}\) = \(\frac{40}{153}\)

संकल्पना:

द्विपद बंटन: P(x = r) = nCr pr qn-r, जहाँ  r = 0,1,2,......n.

जहाँ, n = परीक्षणों की कुल संख्या

p =  प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता

q = 1- p = असफलता की प्रायिकता

r = सफलताओं की संख्या

गणना:

किसी व्यक्ति के तैराक न होने की प्रायिकता 0.3 है। 

⇒ P(S̅ ) = 0.3

एक व्यक्ति के तैराक होने की प्रायिकता P(S) = 0.7 है। 

P(x = r) = nCr pr qn-r

प्रश्न से, n = 5 और r = 4

P(x = 4) = 5C4 (0.7)4 (0.3)

⇒ अभीष्ट प्रायिकता = 5C4 (0.7)4 (0.3)

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जैसे कि X ~ द्विपद(n, p), जहाँ n परीक्षणों की संख्या है और p सफलता की संख्या है (0 ≤ p ≤ 1) q असफलताओं की संख्या है जहाँ, p + q = 1 है।

r सफलताओं की प्रायिकता P(X = r) = ⁿC_rp^rq^n-r द्वारा दी जाती है।

गणना:

मान लीजिए परीक्षणों की संख्या = n, सफलता की प्रायिकता = p और असफलता की प्रायिकता = q

∴ माध्य = np और प्रसरण = npq

यहाँ np + npq = 24 …(i)

np.npq = 128 …(ii)

∴ np और npq समीकरण x² - 24x + 128 = 0 के मूल हैं

⇒ (x - 8)(x - 16) = 0

⇒ x = 8 और x = 16

∴ np = 16…(iii) और npq = 8…(iv)

(iv) / (iii) ⇒ q = \(\frac{1}{2}\)

अब, p = 1 - q

⇒ p = \(\frac{1}{2}\)

साथ ही, np = 16

⇒ n = 32

∴ अभीष्ट प्रायिकता

= P(X = 1) + P(X = 2)

= \({ }^{32} C_1 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{32}+{ }^{32} C_2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{32}\)

= \(\left(32+\frac{32 \times 31}{2}\right) \cdot \frac{1}{2^{32}}\)

= \(\frac{33}{2^{28}}\)

∴ एक या दो सफलताओं की प्रायिकता \(\frac{33}{2^{28}}\) है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है। 

एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:

P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k

गणना:

एकल उछाल में चित मिलने की प्रायिकता p = \(\frac12\) है।

∴ 6 उछालों में 2 चित मिलने की प्रायिकता निम्न होगी

P(X = 2) = 6C2\(\left(\frac12\right)^2\)\(\left(1-\frac12\right)^{6-2}\)

= \(\frac{15}{64}\)

अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है। 

एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:

P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k

गणना:

पक्षी के मारे जाने की प्रायिकता है = "3 में 1" = \(\frac13\)

∴ 3 प्रयासों में किसी पक्षी के न मारे जाने की प्रायिकता निम्न होगी:

P(X = 0) = 3C0 \(\left(\frac13\right)^0\) \(\left(1-\frac13\right)^{3-0}\)

= \(\frac8{27}\)

संकल्पना:

द्विपद बंटन:​ P(x = r) = ⁿC_r p^r q^n-r, जहाँ r = 0,1,2,......n। 

जहाँ, n = परीक्षणों की कुल संख्या

p = प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता

q = 1- p = असफलता की प्रायिकता

r =सफलताओं की संख्या 

गणना:

पेनों की कुल संख्या 100 है।

खराब पेनों की संख्या 10 है।

सही पेनों की संख्या 100 - 10 = 90 है। 

P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन) = P(कोई खराब पेन नहीं) + P(1 खराब पेन)

P(कोई खराब पेन नहीं) = P(r = 0) = \(^5C_0(\frac{1}{10})^0(\frac{9}{10})^5\) = \(\left(\frac{9}{10}\right)^5\)

P(1 खराब पेन) = ⁵C₁ × \(\left(\frac{9}{10}\right)^4\)× \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^4\)

∴ P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन​) = \(\left(\frac{9}{10}\right)^5+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^4\)

सही उत्तर विकल्प 4 है।

धारणा:

द्विपद वितरण:

\(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^n}{C_x} \times {p^x} \times {q^{n - x}}\) जहां p सफलता की प्रायिकता है, q विफलता की प्रायिकता है, n प्रयासों की कुल संख्या है और x सफल प्रयासों की संख्या है।

गणना:

दिया हुआ: एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है।

माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो p 6 मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें = 1 / 6

माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो q 6 न मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें

= 1 – (1 / 6) = 5 / 6

जैसा कि हम जानते हैं कि द्विपद वितरण के अनुसार:

\(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^n}{C_x} \times {p^x} \times {q^{n - x}}\)

यहाँ n = 4, x = 2, p = 1 / 6 और q = 5 / 6

इसलिए जब एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है तो ठीक 2 छक्के मिलने की प्रायिकता

⇒ \(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^4}{C_2} \times {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} \times {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{25}}{{216}}\)

संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।

गुण:

• वितरण का माध्य (μ) = np
• प्रसरण (σ2x) = npq

गणना:

दिया हुआ:

माध्य μ = np = 8        ----(1)

प्रसरण σ2 = npq = 4       ----(2)

समीकरण (2) को (1) से विभाजित करके हम प्राप्त करते हैं

q = 1/2

जैसा कि हम जानते हैं, p + q = 1

⇒ p = 1 - q = 1/2

n के मान को समीकरण (1) में रखें, हम प्राप्त करते हैं

n = 16

अब

P(x = 1) = \(\rm ^{16}C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16-1}\)

\(=16 \times \frac{1}{2^{16}}\\=2^4 \times \frac{1}{2^{16}}\\=\frac{1}{2^{12}}\)

अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि किसी यादृच्छिक चार X में B और (n, p) के रूप में n और p में मापदंडों के रूप में द्विपद वितरण है, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता निम्नानुसार है:

P( X = k) = nCk pk q(n - k) जहां q = p - 1, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और q विफलता की प्रायिकता है।

ध्यान दें: द्विपद वितरण का माध्य np और प्रसरण npq है।

गणना:

दिया गया है कि: एक निष्पक्ष पासे को 72 बार फेंक दिया जाता है और एक फेंक पर 4 प्राप्त करना सफलता कहा जाता है

जैसा कि हम जानते हैं कि जब एक पासा फेंका जाता है तो 6 परिणाम आता हैं।

माना एक फेंक पर 4 प्राप्त करने की प्रायिकता बताएं जिसे p द्वारा निरूपित किया जाता है।

⇒ p = 1/6

माना कि विफलता की प्रायिकता को q = 1 - p द्वारा दर्शाया गया है।

⇒ q = 1 - 1/6 = 5/6

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक द्विपद वितरण का प्रसरण = npq 

\(\rm ⇒variance = 72 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}=10\)

इसलिए, सही विकल्प 3 है।

दिया गया है:

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X,Y को द्विपद रूप से बंटन किया जाता है तो इसका अर्थ है

X ~ B(n, p)

X ~ B(3, 1/3) और Y ~ B(5, 1/3)

यहां, B = द्विपद बंटन

n = प्रेक्षणों की संख्या

p = प्रायिकता

गणना:

चूंकि X और Y स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर हैं जिनमें p₁ = p₂ है = 1/3

द्विपद बंटन का गुण जोड़ने पर

⇒ X + Y ~ B(3 + 5, 1/3)

⇒ X + Y ~B(8,1/3)

हम जानते हैं कि, P(X + Y ≥ γ) = ⁸C_r(1/3)^r(2/3)^{8 - r}

⇒ P(X + Y ≥ 1) = 1 - P( X + Y < 1)

⇒ 1 - P(X + Y = 0)

∴ 1 - (2/3)⁸

संकल्पना:

एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

P(X = k) = \(\rm ^nC_kp^kq^{n-k}\)

माध्य = np 

भिन्नता = npq

गणना:

दिया गया है, द्विपद वितरण वाले एक यादृच्छिक चर X का माध्य और भिन्नता क्रमशः 4 और 2 हैं,

⇒ माध्य = np = 4              ....(1)

⇒ भिन्नता = npq = 2       ....(2)

समीकरण (1) और (2) से, हमारे पास निम्न हैं

⇒ q = \(\rm \dfrac 12\)

हम जानते हैं, p = 1 - q 

⇒ p = \(\rm \dfrac 12\)

समीकरण (1) से, हमारे पास निम्न हैं

n = 8 

एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

P(X = k) = \(\rm ^nC_kp^kq^{n-k}\)

⇒P(X = 1) = \(\rm ^8C_1p^1q^{8-1}\)

⇒P(X = 1) = 8.\(\rm \dfrac 12\). \(\rm \dfrac {1}{2^7}\)

⇒P(X = 1) = \(\rm \dfrac {1}{32}\)

संकल्पना: 

अगर सही और गलत के केवल 2 मामले हो सकते हैं, तो:

n में से r सही मामलों की प्रायिकता (≥ r) P(x = r) = ⁿC_r p^rq^(n-r) 

जहां p मामले के सही होने की प्रायिकता है और q मामले के गलत होने की प्रायिकता है

नोट: p और q ≤ 1 हैं 

गणना:

सही उत्तर की प्रायिकता p = \(\rm 1\over 4\) = 0.25

गलत उत्तर की प्रायिकता q = \(\rm 3\over 4\) = 0.75

कुल प्रश्न n = 5

कम से कम एक सही उत्तर की  संभावना  (x ≥ 1):

P(x ≥ 1) = 1 - P(x = 0)

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - ⁵C₀ p⁰q⁵

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - (0.75)⁵ 

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - 0.2373

⇒ P(x ≥ 1) \(\boldsymbol{\rm \approx}\) 0.7627

संकल्पना:

द्विपद वितरण:

पैरामीटर n और p के साथ P(X = r) के लिए द्विपद वितरण निम्नानुसार दिया गया है:

\(\rm P(X=r) = ^nC_rp^rq^{n-r}\)

जहाँ q पूरक घटना है।

साथ ही, किसी भी यादृच्छिक चर X का गुण,

E(aX + b)  = aE(X) + b

V(aX + b)  = (a2)V(X) 

गणना:

दिया गया है: n = 10 और \(\rm p = \dfrac{1}{5}\)

इसलिए, q = 1 - p 

\(\rm q = \dfrac{4}{5}\)

यादृच्छिक चर X के लिए,

माध्य = E(X) = np = 10 × (1/5) = 2

प्रसरण = V(X) = npq = 10 × (1/5) ×(4/5)  = 8/5

चूँकि, Y = 10 - X

⇒ E(Y) = E(10 - X)

⇒ E(Y) = 10 - E(X) = 10 - 2

⇒ 8 = n'p'      ....(1)

साथ ही, V(Y) = V(10 - X) = 0 + (-1)2 V(X)

⇒ 8/5 = n'p'q'      ....(2)

1 और 2 को हल करने पर हमें n', p', और q' प्राप्त होगा जो होगा,

⇒ 8/5 = 8'q'   

⇒ q' = 1/5   

⇒ p' = 4/5   

अब,

⇒ 8 = n'  (4/5)

⇒ n' = 10