Angle between Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Angle between Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

त्रिविमीय में दो रेखाओं के बीच का कोण:

• अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिशात्मक सदिशों के बीच के कोण का उपयोग करते हैं।
• यदि दिशात्मक सदिश a और b हैं, तो उनके बीच का कोण θ इस प्रकार दिया गया है:
• cosθ = (a · b) / (|a| x |b|)
• यहाँ, a · b सदिशों का अदिश गुणनफल है, और |a| सदिश a का परिमाण है।

अदिश गुणनफल:

• सदिशों a = a₁i + a₂j + a₃k और b = b₁i + b₂j + b₃k का अदिश गुणनफल है:
• a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

गणना:

दिया गया है, पहली रेखा का दिशात्मक सदिश = 4i + 6j + 12k

माना a = 4i + 6j + 12k

दूसरी रेखा का दिशात्मक सदिश = 5i + 8j − 4k

माना कि b = 5i + 8j − 4k

⇒ a · b = (4)(5) + (6)(8) + (12)(−4)

⇒ a · b = 20 + 48 − 48 = 20

⇒ |a| = √(4² + 6² + 12²) = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14

⇒ |b| = √(5² + 8² + (−4)²) = √(25 + 64 + 16) = √105

⇒ cosθ = (a · b) / (|a| x |b|) = 20 / (14 x √105)

⇒ cosθ = 2 / (√105 / 7)

⇒ θ = cos⁻¹(20 / (14√105))

⇒ θ = cos−1(10 / (7√105))

∴ अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

संकल्पना: 

y = mx + c के रूप की एक रेखा की ढ़ाल है

m = tan θ और θ = tan^-1(m)

m₁ और m₂ ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = 

गणना: 

दिया गया है, एक रेखा L की ढाल 2 है।

m₁ और m₂ ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = 

दिया है कि m₁ और m₂ ढ़ाल वाली रेखाएं L के साथ कोण  पर आनत हैं।

∴ tan  = 

 = 

 , 

, 

इसीतरह, , 

 और​  लीजिये 

m₁ + m₂ =  

∴ m1 + m2 = - 16

सही उत्तर विकल्प (4) है।

संप्रत्यय:

दो वक्रों के बीच का कोण:

• प्रतिच्छेदन बिंदु पर दो वक्रों के बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
• tan(θ) = |(m1 - m2) / (1 + m1 × m2)|, जहाँ m₁ और m₂ प्रतिच्छेदन बिंदु पर वक्रों के स्पर्श रेखाओं की ढालें हैं।
• वक्र के स्पर्श रेखा की ढाल वक्र के समीकरण को अवकलित करके पाई जा सकती है।
• इस मामले में, वक्रों के स्पर्श रेखाओं की ढालों को पहले निर्धारित करने की आवश्यकता है, फिर कोण के सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

गणना:

दिए गए दो वक्र:

y² = 2x और x² + y² = 8

स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करने के लिए:

• m1 ज्ञात करने के लिए पहले समीकरण (y² = 2x) को x के सापेक्ष अवकलित करें।
• m2 ज्ञात करने के लिए दूसरे समीकरण (x² + y² = 8) को x के सापेक्ष परोक्ष रूप से अवकलित करें।

अवकलन के बाद, हमें मिलता है:

• m1 = dy/dx = 1 / √(2x)
• m2 = dy/dx = -x / √(8 - x²)

अब, इन ढालों को कोण के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

tan(θ) = |(m1 - m2) / (1 + m1 × m2)|

∴ वक्रों के बीच का कोण tan^-1(3) है।

गणना:

दिया गया है:

रेखा 4x + 5y = 20 ⇒

A के निर्देशांक, 

B के निर्देशांक, 

OA की प्रवणता, 

OB की प्रवणता, 

⇒

⇒

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना: 

ढलान m₁ और m₂ वाली रेखाओं के बीच कोण θ निम्न द्वारा दिया गया है 

tan θ  =  

गणना: 

दिया गया है, L: ax + y + c = 0 --- (1)

L का ढाल  = - a

और रेखा x + y - 3 = 0 का ढाल - 1 है।

L रेखा x + y - 3 = 0 के साथ tan-1\(\left( {\frac{5}{7}} \right)\)  का कोण बनाते हुए (1,1) से गुजर रहा है

∴ tan θ = 

⇒ tan (tan-1) =  

⇒  

⇒  a = 6, 

∴ a = 6 (∵ m ∈ Z)

समीकरण (1) में a = 6 रखने पर, हमें प्राप्त होता हैं

6x + y + c = 0

चूँकि यह रेखा (1,1) से होकर जा रही है, उपरोक्त समीकरण में x = 1 और y = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें c = - 7 प्राप्त होता है

ac = 6(- 7) 

∴ ac = - 42

सही उत्तर विकल्प (2) है।

संकल्पना:

रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y = x + 4 और y =  2x - 3 हैं। 

माना कि पहली और दूसरी रेखा की ढलान क्रमशः m₁ और m₂ हैं। 

इसलिए, m₁ = 1 और m₂ = 2

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = 

⇒ tan θ = 

∴ θ = 

संकल्पना:

दो रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ =  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y =  x + 2 और y =  x - 4 हैं।

माना कि पहली और दूसरी रेखा क्रमशः m1 और m2  हैं,

इसलिए, m1 = और m2 = 

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = 

⇒ tan θ = 

∴ θ =  = 

अवधारणा:

• दो रेखाओं y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया गया है:

  θ =

• बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान (m) को निम्न द्वारा दिया गया है:

  m =

गणना:

दिया गया है कि A = (1, 3), B = (2, 2) और C = (3, 4)।

त्रिभुज ABC में कोण B, रेखाओं BA और BC के बीच का कोण है।

BA की ढलान = m₁ = = -1

BC की ढलान = m₂ = = 2

कोण B = = tan-1 3

अवधारणा :

यदि α क्रमशः ढलानों m1 और m2 के साथ दो गैर-ऊर्ध्वाधर और गैर-लंबवत रेखाओं L1 और L2 के बीच न्यूनकोण है तो

गणना :

यहाँ, हमें उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना है जिनकी ढलानें  हैं

माना कि 

जैसा कि हम जानते हैं कि,

⇒

⇒

⇒ α = 30°

तो, उन रेखाओं के बीच का कोण 30° है जिनकी ढलानें  हैं 

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

अवधारणा :

यदि θ क्रमशः ढलानों m1 और m2 के साथ दो गैर-ऊर्ध्वाधर और गैर-लंबवत रेखाओं L1 और L2 के बीच न्यूनकोण है तो

गणना:

यहाँ, हमें उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना है जिनकी ढलानें 1/2 और 3 हैं

माना कि m₁ = 1/2 और m₂ = 3

जैसा कि हम जानते हैं कि,

⇒

⇒ θ = 45°

तो, उन रेखाओं के बीच का कोण 45° है जिनकी ढलानें 1/2 है और 3 हैं

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

दो रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया जाता है , m1 और m2 रेखाओं की ढलानें हैं।

सीधी रेखा का समीकरण​: y = mx + c, जहाँ m = ढलान

गणना:

यहाँ, सीधी रेखाओं के युग्म 2x + y = 1 और 3x - y = 2 है

2x + y = 1 ⇒y = -2x + 1 so, m₁ = -2

और, 3x - y = 2 ⇒y = 3x - 2 so, m₂ = 3

तो, सीधी रेखाओं के युग्म के बीच का कोण = 

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

संकल्पना:

रेखाओं के बीच का कोण जिसके ढलान m1 और m2 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

गणना:

रेखाओं के बीच का कोण जिसके ढलान m1 और m2 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

दिया गया है, m1 = 2 - √3 और m2 = 2 + √3

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

अवधारणा:

दो रेखाओं के बीच का कोण

यदि y = m1x + c1 और y = m2x + c2 द्वारा परिभाषित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण θ है, तो कोण θ निम्न द्वारा दिया गया है

tanθ =

गणना:

दी गई रेखाएँ निम्न हैं

2x - y = 3      ....(1)

और x - 2y = 3      ...(2)

समीकरण (1) से,

2x - y = 3

⇒ y = 2x - 3

यहाँ, m1 = 2

समीकरण (2) से,

x - 2y = 3 

2y = x - 3

y =

यहाँ m2 =

अब,

tan θ = =

θ = tan-1( )

रेखाओं 2x - y = 3 और x - 2y = 3 के बीच का कोण tan-1( ) है। 

संकल्पना:

दो रेखाओं के बीच का कोण: ढलान m₁ और  m₂ वाली रेखाओं के बीच का कोण θ निम्न दिया गया है 

गणना:

दिया गया है: y - √3x – 5 = 0 और √3y – x + 6 = 0

y - √3x – 5 = 0

⇒ y = √3x + 5

इसलिए, रेखा का ढलान, m₁ = √3

√3y – x + 6 = 0

इसलिए, रेखा का ढलान, m₂ = 

माना कि θ रेखाओं के बीच का न्यून कोण है। 

⇒ θ = 30° 

संकल्पना:

ढलान m₁ और m₂ वाले रेखाओं के बीच के कोण θ को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है 

गणना:

हमारे पास रेखाओं के समीकरण y - 3x + 2 = 0 और 9x = 3y + 7 दिए गए हैं। 

⇒ y = 3x - 2 

⇒ m₁ = 3           ____( i ) 

और, 3y = 9x - 7 

⇒ y = 3x - 7/3 

⇒ m₂ = 3            ____( ii ) 

हम जानते हैं कि,  

⇒ tan θ = 

⇒ tan θ = 0 

⇒ θ = 0 .

सही विकल्प 3 है। 

Additional Information

समानांतर रेखाओं का ढलान बराबर हैं। 

यदि रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर है, तो रेखाओं के बीच कोण θ शून्य है।