Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Adjoint and Inverse of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 8, 2025
Latest Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Objective Questions
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 1:
मान लीजिये \(\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{-3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right]\) और \(\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & -\mathrm{i} \\ 0 & 1\end{array}\right] \), जहाँ \(\mathrm{i}=\sqrt{-1} \) है। यदि M = ATBA है, तो आव्यूह AM2023AT का व्युत्क्रम है
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 1 Detailed Solution
गणना:
\(\mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{-3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{-3}{\sqrt{10}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)
\(\mathrm{B}^{2}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
\(\mathrm{B}^{3}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -3 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)
.
.
.
\(\mathrm{B}^{2023}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2023 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)
M = ATBA
M2 = M.M = ATBA ATBA = ATB2A
M3 = M2.M = ATB2AATBA = ATB3A
.
.
.
M2023 = …………… ATB2023A
AM2023AT = AATB2023 AAT = B2023
\(=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2023 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
(AM2023AT) का व्युत्क्रम \(\left[\begin{array}{cc} 1 & 2023 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right] \) है
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 2:
यदि अशून्य 3 × 3 आव्यूह A, A2(A - 4I) - 4(A - I) = 0 को संतुष्ट करता है और यदि A5 = αA2 + βA + γl है, जहाँ I 3 × 3 इकाई आव्यूह है, तो α + β + γ बराबर है
Answer (Detailed Solution Below) 76
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 2 Detailed Solution
Answer (76)
Sol.
A2(A - 4I) - 4(A - I) = 0
A3 - 4A2 - 4A + 4I = 0
Multiple by A
A4 = 4A3 + 4A2 - 4A
= 4(4A2 + 4A – 4I) + 4A2 – 4A
= 20A2 + 12A – 16I
Multiple again by A
⇒ A5 = 20A3 + 12A2 – 16A
= 20(4A2 + 4A – 4I) + 12A2 – 16A
= 92A2 + 64A – 80I = αA2 + A + γI
⇒ α = 92, β = 64, γ = -80 ⇒ α + β + γ = 76
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 3:
मान लीजिये x, y, z > 1 और
\(\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & \log _{\mathrm{x}} \mathrm{y} & \log _{\mathrm{x}} \mathrm{z} \\ \log _{\mathrm{y}} \mathrm{x} & 2 & \log _{\mathrm{y}} \mathrm{z} \\ \log _{\mathrm{z}} \mathrm{x} & \log _{\mathrm{z}} \mathrm{y} & 3 \end{array}\right] \).
तब |adj(adjA2)| किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 3 Detailed Solution
सिद्धांत:
आव्यूह के सहखंडज का सारणिक:
- यदि \( A \) कोटि \( n \) का एक वर्ग आव्यूह है, तब:
- \( |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1} \)
- \( |\text{adj}(\text{adj}(A))| = |A|^{(n-1)^2} \)
- \( \text{adj}(A^2) = (\text{adj}(A))^2 \) यदि \( A \) व्युत्क्रमणीय है
- इसलिए, \( |\text{adj}(\text{adj}(A^2))| = |\text{adj}((\text{adj}(A))^2)| = |\text{adj}(B^2)| \) जहाँ \( B = \text{adj}(A) \)
- प्रयोग करके \( |\text{adj}(B^2)| = |B^2|^{n-1} = (|B|^2)^{n-1} = |B|^{2(n-1)} \)
- साथ ही, \( |B| = |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1} \)
आव्यूह सारणिक:
- \( |A| \) आव्यूह \( A \) के अदिश सारणिक मान को दर्शाता है
- यदि \( A \) 3 × 3 है, तब \( |\text{adj}(\text{adj}(A^2))| = |A|^{2(n-1)^2} = |A|^8 \)
गणना:
दिया गया है,
\( A = \begin{bmatrix} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 2 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 3 \end{bmatrix} \)
मान लीजिये \( a = \log_x y,\ b = \log_x z,\ c = \log_y z \)
⇒ \( \log_y x = \frac{1}{a},\ \log_z x = \frac{1}{b},\ \log_z y = \frac{1}{c} \)
⇒ \( A = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \frac{1}{a} & 2 & c \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{c} & 3 \end{bmatrix} \)
⇒ \( |A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & c \\ \frac{1}{c} & 3 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{a} & c \\ \frac{1}{b} & 3 \end{vmatrix} + b \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{a} & 2 \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \end{vmatrix} \)
⇒ \( |A| = (6 - 1) - a\left(\frac{3}{a} - \frac{c}{b}\right) + b\left(\frac{1}{ac} - \frac{2}{b}\right) \)
⇒ \( |A| = 5 - (3 - \frac{ac}{b}) + (\frac{b}{ac} - 2) \)
⇒ \( |A| = \frac{ac}{b} + \frac{b}{ac} \)
मानों का प्रयोग करके: \( x = 2,\ y = 4,\ z = 8 \Rightarrow a = 2,\ b = 3,\ c = \frac{3}{2} \)
⇒ \( |A| = \frac{2 \times \frac{3}{2}}{3} + \frac{3}{2 \times \frac{3}{2}} = 1 + 1 = 2 \)
आव्यूह कोटि \( n = 3 \) का है
⇒ \( |\text{adj}(\text{adj}(A^2))| = |A|^{2(n-1)^2} = 2^{2 \times 4} = 2^8 \)
∴ इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है।
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 4:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें :
माना \(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix}\)
A-1 किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है
⇒ \(adj(A) = \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)
अब, A-1 = \(\frac{1}{|A|} (Adj(A))\)
= \( \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)
∴ विकल्प (a) सही है।
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 5:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें :
माना \(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix}\)
A(adj A) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
\(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix} \)
अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1
A(adjA) = |A| I = I
इसलिए, विकल्प (d) सही है।
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यदि \(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\) तो k = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:
- A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
- |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)
गणना:
\(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\) -----(1)
आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से,
A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\) -----(2)
समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
k = |A|
आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:
k = |A| = \(\rm \frac{1}{|A^{-1}|}\) -----(3)
हम जानते है,
A.A-1 = I
⇒ |A.A-1| = |I| = 1
⇒ |A| |A-1| = 1
⇒ |A| = 1/ |A-1| ....(4)
अब,
|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.
|A-1| = -15
इसलिए, समीकरण (3) से
k = \(\rm - \frac1{15}\)
Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है
अगर \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\) तो x का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 7 Detailed Solution
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A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है
|A| = \(\rm 1\over {|A^{-1}|}\)
गणना:
दिया हुआ: \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)
|A-1| = \(\rm {4\over 72} - {1\over 72} = {3\over 72} = {1\over 24}\)
|A| = \(\rm {1 \over {|A^{-1}|}}\) = 24
⇒ 3x - 8 = 24
∴ x = \(\rm 32\over 3\)
यदि A2 - 2A - I = 0 है, तो A का व्युत्क्रम _____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 8 Detailed Solution
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आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:
यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:
- (AB) - 1 = B - 1 A - 1
- (A - 1) - 1 = A
- (AT) - 1 = (A - 1)T
- (KA -1 ) = किसी भी K ≠ 0 के लिए \(\rm \frac{1}{k}\;{A^{ - 1}}\)
- (An) - 1 = (A - 1)n
- AA - 1 = A - 1A = I
गणना:
दिया गया है: A2 - 2A - I = 0
⇒ A.A - 2A = I
A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1
⇒ AI - 2I = A-1 [∵ AA - 1 = A - 1A = I]
∴ A-1 = A - 2
A का व्युत्क्रम A - 2 है
यदि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो A[adj(A)] =?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 9 Detailed Solution
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एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:
- A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
- |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)
गणना:
आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, \({{\rm{A}}^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)
दोनों पक्षों को A से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:
A(A-1) = \(\rm \frac{A[adj(A)]}{|A|}\)
⇒ |A| I = A[adj(A)]
लेकिन यह दिया जाता है कि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अर्थात |A| = 0
∴ A[adj(A)] = 0, या A[adj(A)] एक शून्य आव्यूह है।
यदि \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो λ का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो | A | = 0 है।
यदि आव्यूह A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो | A | ≠ 0 है।
गणना:
दिया गया है, A = \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है।
चूँकि हम जानते हैं कि, यदि आव्यूह A गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो | A | = 0 है।
⇒ \(\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{vmatrix}\) = 0
⇒ 1\(\rm (-8\lambda - 10)+3(2\lambda-20)+2(4+32)\) = 0
⇒ \(\rm -8\lambda - 10+6\lambda-60+72 = 0\)
⇒\(\rm -2\lambda +2 = 0\)
⇒\(\rm \lambda = 1\)
अतः यदि \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है, तो λ का मान 1 है।
अगर A एक 3×3 वर्ग आव्यूह है जैसे |A| = 4, तो |A × adj(A)| का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
सारणिक:
- दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए हमारे पास: det(A × B) = det(A) × det(B) है, जिसे |A × B| = |A| × |B| के रूप में भी लिखा जा सकता है।
- |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।
गणना:
हम जानते हैं कि |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।
अब, |A × adj(A)| = |A × |A|n - 1| = |A|n
दिए गए आव्यूह A की कोटि n = 3 है और |A| = 4
∴ |A × adj(A)| = |A|n = 43 = 64
एक प्रतीप्य आव्यूह A के लिए यदि A(adj A) \(=\begin{bmatrix} 10 & 0 \\\ 0 & 10 \end{bmatrix}\) है, तो |A| क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
माना कि A एक प्रतीप्य आव्यूह है।
चूँकि हम जानते हैं, AA-1 = I
\( ⇒ {\rm{A}} × \left( {\frac{{{\rm{Adj\;A}}}}{{\det {\rm{A}}}}} \right) = {\rm{I}}\)
⇒ A (Adj A) = det A × I = |A|I
गणना:
दिया गया है: A(adj A) \(=\begin{bmatrix} 10 & 0 \\\ 0 & 10 \end{bmatrix}\)
⇒ A(adj A) \(= 10\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10\rm I\)
चूँकि हम जानते हैं A (Adj A) = det A × I
∴ det A = |A| = 10
यदि \(\rm A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & \rm x \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो x का मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 13 Detailed Solution
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अव्युत्क्रमणीय आव्यूह:
- एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह वह आव्यूह है जिसका 'गुणनात्मक व्युत्क्रम' मौजूद नहीं है। अर्थात् A × A-1 ≠ I
- एक आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि इसकी सारणिक शून्य होती है। अर्थात् |A| = 0
गणना:
आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए इसकी सारणिक को शून्य होना चाहिए।
\(\rm |A|=\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & \rm x \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0\)
⇒ 1(1 × 1 - 1 × x) + 0(1 × x - 1 × 5) + 2(5 × 1 - 1 × 1) = 0
⇒ 1 - x + 0 + 8 = 0
⇒ x = 9
आव्यूह A = \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{bmatrix}\) का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है तो 'a' का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक आव्यूह A पर विचार करें और मानें इसका व्युत्क्रम A-1 है
\(\rm {A^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{\;}}}}{{{\rm{det\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}\)
यहाँ; adj (A) आव्यूह A का अभिसंयुक्त है और det (A) आव्यूह A का सारणिक है।
⇒ यदि det (A) ≠ 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।
⇒ यदि det (A) = 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।
गणना:
दिया गया है A = \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{bmatrix}\)
A-1 मौजूद न होने के लिए |A| = 0
|A| = \(\begin{vmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{vmatrix}\) = 0
|A| = 3(2 - a) - 1(4 - 2) + 2(4a - 4)
|A| = 6 - 3a - 2 + 8a - 8
|A| = 5a - 4
|A| = 0
5a - 4 = 0
∴ a = \(\frac 4 5\)
यदि A कोटि 3 का एक तत्समक आव्यूह है, तो इसका/इसके प्रतिलोम (A-1)
Answer (Detailed Solution Below)
Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा
यदि A कोटि n का कोई आव्यूह है और इसका व्युत्क्रम मौजूद है तो हम लिख सकते हैं
AA-1 = A-1A = I, जहाँ I = कोटि n का तत्समक आव्यूह
गणना
दिया हुआ: A कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है यानी A = I
दोनों पक्षों को A-1 से गुणा करके हमें प्राप्त होता है
⇒ AA-1 = IA-1
⇒ I = A-1 [∵ तत्समक आव्यूह द्वारा गुणा किया जाने वाला आव्यूह स्वयं आव्यूह है यानी AI = A]
⇒ A = A-1