Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Adjoint and Inverse of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

\(\mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{-3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{-3}{\sqrt{10}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

\(\mathrm{B}^{2}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)

\(\mathrm{B}^{3}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -3 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

.

.

.

\(\mathrm{B}^{2023}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2023 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

M = A^TBA

M² = M.M = A^TBA A^TBA = A^TB²A

M³ = M².M = A^TB²AA^TBA = A^TB³A

.

.

.

M²⁰²³ = …………… A^TB²⁰²³A

AM²⁰²³A^T = AA^TB²⁰²³ AA^T = B²⁰²³

\(=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2023 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)

(AM²⁰²³A^T) का व्युत्क्रम \(\left[\begin{array}{cc} 1 & 2023 \mathrm{i} \\ 0 & 1 \end{array}\right] \) है

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है

Answer (76)

Sol.

A2(A - 4I) - 4(A - I) = 0 

A³ - 4A² - 4A + 4I = 0

Multiple by A

A4 = 4A3 + 4A2 - 4A

= 4(4A² + 4A – 4I) + 4A² – 4A 

= 20A² + 12A – 16I

Multiple again by A

⇒ A⁵ = 20A³ + 12A² – 16A

= 20(4A² + 4A – 4I) + 12A² – 16A

= 92A² + 64A – 80I = αA² + A + γI 

⇒ α = 92, β = 64, γ = -80 ⇒ α + β + γ = 76

सिद्धांत:

आव्यूह के सहखंडज का सारणिक:

• यदि \( A \) कोटि \( n \) का एक वर्ग आव्यूह है, तब:
• \( |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1} \)
• \( |\text{adj}(\text{adj}(A))| = |A|^{(n-1)^2} \)
• \( \text{adj}(A^2) = (\text{adj}(A))^2 \) यदि \( A \) व्युत्क्रमणीय है
• इसलिए, \( |\text{adj}(\text{adj}(A^2))| = |\text{adj}((\text{adj}(A))^2)| = |\text{adj}(B^2)| \) जहाँ \( B = \text{adj}(A) \)
• प्रयोग करके \( |\text{adj}(B^2)| = |B^2|^{n-1} = (|B|^2)^{n-1} = |B|^{2(n-1)} \)
• साथ ही, \( |B| = |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1} \)

आव्यूह सारणिक:

• \( |A| \) आव्यूह \( A \) के अदिश सारणिक मान को दर्शाता है
• यदि \( A \) 3 × 3 है, तब \( |\text{adj}(\text{adj}(A^2))| = |A|^{2(n-1)^2} = |A|^8 \)

गणना:

दिया गया है,

\( A = \begin{bmatrix} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 2 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 3 \end{bmatrix} \)

मान लीजिये \( a = \log_x y,\ b = \log_x z,\ c = \log_y z \)

⇒ \( \log_y x = \frac{1}{a},\ \log_z x = \frac{1}{b},\ \log_z y = \frac{1}{c} \)

⇒ \( A = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \frac{1}{a} & 2 & c \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{c} & 3 \end{bmatrix} \)

⇒ \( |A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & c \\ \frac{1}{c} & 3 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{a} & c \\ \frac{1}{b} & 3 \end{vmatrix} + b \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{a} & 2 \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \end{vmatrix} \)

⇒ \( |A| = (6 - 1) - a\left(\frac{3}{a} - \frac{c}{b}\right) + b\left(\frac{1}{ac} - \frac{2}{b}\right) \)

⇒ \( |A| = 5 - (3 - \frac{ac}{b}) + (\frac{b}{ac} - 2) \)

⇒ \( |A| = \frac{ac}{b} + \frac{b}{ac} \)

मानों का प्रयोग करके: \( x = 2,\ y = 4,\ z = 8 \Rightarrow a = 2,\ b = 3,\ c = \frac{3}{2} \)

⇒ \( |A| = \frac{2 \times \frac{3}{2}}{3} + \frac{3}{2 \times \frac{3}{2}} = 1 + 1 = 2 \)

आव्यूह कोटि \( n = 3 \) का है

⇒ \( |\text{adj}(\text{adj}(A^2))| = |A|^{2(n-1)^2} = 2^{2 \times 4} = 2^8 \)

∴ इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है।

व्याख्या:

दिया गया है

⇒ \(adj(A) = \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)

अब, A^-1 = \(\frac{1}{|A|} (Adj(A))\)

= \( \rm \begin{bmatrix}1&-1&0\\\ -2&3&-4\\\ -2&3&-3\end{bmatrix}\)

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\rm A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\\ 2&-3&4\\\ 0&-1&1\end{bmatrix} \)

अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1

A(adjA) = |A| I = I

इसलिए, विकल्प (d) सही है।

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
• |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)

गणना:

\(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\)         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)              -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| = \(\rm \frac{1}{|A^{-1}|}\)         -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = \(\rm - \frac1{15}\)

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = \(\rm 1\over {|A^{-1}|}\)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)

|A^-1| = \(\rm {4\over 72} - {1\over 72} = {3\over 72} = {1\over 24}\)

|A| = \(\rm {1 \over {|A^{-1}|}}\) = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = \(\rm 32\over 3\)

अवधारणा:

आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

• (AB) - 1 = B - 1 A - 1
• (A - 1) - 1 = A
• (AT) - 1 = (A - 1)T
• (KA -1 ) =  किसी भी K ≠ 0 के लिए \(\rm \frac{1}{k}\;{A^{ - 1}}\) 
• (An) - 1 = (A - 1)n
• AA - 1 = A - 1A = I

गणना:

दिया गया है: A2 - 2A - I = 0

⇒ A.A - 2A = I

A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1

⇒ AI - 2I = A-1             [∵ AA - 1 = A - 1A = I]

∴ A-1 = A - 2

A का व्युत्क्रम A - 2 है

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\) 
• |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\) 

गणना:

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, \({{\rm{A}}^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)

दोनों पक्षों को A से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

A(A-1) = \(\rm \frac{A[adj(A)]}{|A|}\)

⇒ |A| I = A[adj(A)]

लेकिन यह दिया जाता है कि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अर्थात |A| = 0

∴ A[adj(A)] = 0, या A[adj(A)] एक शून्य आव्यूह है।

संकल्पना:

यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो | A | = 0 है। 

यदि आव्यूह A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो | A | ≠ 0 है। 

गणना:

दिया गया है, A = \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि आव्यूह A गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो | A | = 0 है। 

⇒ \(\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{vmatrix}\) = 0

⇒ 1\(\rm (-8\lambda - 10)+3(2\lambda-20)+2(4+32)\) = 0

⇒ \(\rm -8\lambda - 10+6\lambda-60+72 = 0\)

⇒\(\rm -2\lambda +2 = 0\)

⇒\(\rm \lambda = 1\)

अतः यदि \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\\ 2 & -8 & 5 \\\ 4 & 2 & λ \end{bmatrix}\) एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है, तो λ का मान 1 है। 

अवधारणा:

सारणिक:

• दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए हमारे पास: det(A × B) = det(A) × det(B) है, जिसे |A × B| = |A| × |B| के रूप में भी लिखा जा सकता है। 
• |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

गणना:

हम जानते हैं कि |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

अब, |A × adj(A)| = |A × |A|n - 1| = |A|n

दिए गए आव्यूह A की कोटि n = 3 है और |A| = 4

∴ |A × adj(A)| = |A|n = 43 = 64

संकल्पना:

माना कि A एक प्रतीप्य आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं, AA^-1 = I

\( ⇒ {\rm{A}} × \left( {\frac{{{\rm{Adj\;A}}}}{{\det {\rm{A}}}}} \right) = {\rm{I}}\)

⇒ A (Adj A) = det A × I = |A|I

गणना:

दिया गया है: A(adj A) \(=\begin{bmatrix} 10 & 0 \\\ 0 & 10 \end{bmatrix}\)

⇒ A(adj A) \(= 10\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10\rm I\)

चूँकि हम जानते हैं A (Adj A) = det A × I

∴ det A = |A| = 10

संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह:

• एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह वह आव्यूह है जिसका 'गुणनात्मक व्युत्क्रम' मौजूद नहीं है। अर्थात् A × A^-1 ≠ I
• एक आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि इसकी सारणिक शून्य होती है। अर्थात् |A| = 0

​

गणना:

आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए इसकी सारणिक को शून्य होना चाहिए। 

\(\rm |A|=\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & \rm x \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0\)

⇒ 1(1 × 1 - 1 × x) + 0(1 × x - 1 × 5) + 2(5 × 1 - 1 × 1) = 0

⇒ 1 - x + 0 + 8 = 0

⇒ x = 9

संकल्पना:

एक आव्यूह A पर विचार करें और मानें इसका व्युत्क्रम A^-1 है

\(\rm {A^{ - 1}} = \frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{\;}}}}{{{\rm{det\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}\)

यहाँ; adj (A) आव्यूह A का अभिसंयुक्त है और det (A) आव्यूह A का सारणिक है।

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।

⇒ यदि det (A) = 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

गणना:

दिया गया है A = \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{bmatrix}\)

A-1 मौजूद न होने के लिए |A| = 0

|A| = \(\begin{vmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4&2 & 1\\ 2 & a & 1 \end{vmatrix}\) = 0

|A| = 3(2 - a) - 1(4 - 2) + 2(4a - 4)

|A| = 6 - 3a - 2 + 8a - 8

|A| = 5a - 4

|A| = 0

5a - 4 = 0

∴ a = \(\frac 4 5\)

धारणा

यदि A कोटि n का कोई आव्यूह है और इसका व्युत्क्रम मौजूद है तो हम लिख सकते हैं

AA^-1 = A^-1A = I, जहाँ I = कोटि n का तत्समक आव्यूह

गणना

दिया हुआ: A कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है यानी A = I

दोनों पक्षों को A^-1 से गुणा करके हमें प्राप्त होता है

⇒ AA^-1 = IA^-1

⇒ I = A^-1 [∵ तत्समक आव्यूह द्वारा गुणा किया जाने वाला आव्यूह स्वयं आव्यूह  है यानी AI = A]