Probability and Statistics MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Probability and Statistics - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

তথ্য = 7.5, 7.3, 7.2, 7.2, 7.4, 7.7, 7.7, 7.5, 7.3, 7.2, 7.6, 7.2

অনুসৃত ধারণা:

গড়: গড় হল কোনো সংখ্যার সংগ্রহের গড় বা সবচেয়ে সাধারণ মান

মধ্যমান: মধ্যমান হল একটি ক্রমে সাজানো হলে প্রদত্ত সংখ্যার মধ্যম মান।

প্রচুরক: প্রচুরক হল সেই মান যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে সবথেকে বেশি বার এসেছে

গণনা:

যখন আমরা একটি পদ্ধতিতে তথ্য সাজাই

⇒ 7.2, 7.2, 7.2, 7.2, 7.3, 7.3, 7.4, 7.5, 7.5, 7.6, 7.7, 7.7

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত তথ্যটিতে 7.2 সবথেকে বেশিবার এসেছে,

প্রদত্ত তথ্যের প্রচুরক = 7.2

∴ প্রয়োজনীয় ফলাফল 7.2 হবে।

অনুসৃত ধারণা:

যথেচ্ছ চলরাশি 'x' বিশ্লেষণ করতে দুটি ফাংশন ব্যবহার করা হয়।

1) PDF (সম্ভাব্যতা বিভাজন ফাংশন)

2) pdf (সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন)

CDF এবং pdf এর সাথে সম্পর্কিত:

\(CDF = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty PDFdx\) ----(1)

একটি বৈধ PDF এর বৈশিষ্ট্য :

1) \({f_X}\left( x \right) \ge 0,\;\forall \;x\;\epsilon\;R\)

∴ CDF 0 এবং 1 এর মধ্যে আবদ্ধ হবে

2) \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {f_X}\left( x \right)dx = {P_X}\left( \infty \right) = 1\) ----( 2)

এখানে PX হল CDF

\({P_X}\left( \infty \right) = \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{lim}}}\\ {x \to \infty } \end{array}{P_X}\left( x \right)\)

∴ CDF সর্বদা একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ফাংশন হবে কারণ সম্ভাব্যতা সর্বদা 0 এর থেকে বেশি বা সমান।

গণনা:

প্রদত্ত:

\(\rm PDF \ = \ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{c}{{\sqrt x }},}&{0 < x < 4}\\ {0,}&{otherwise} \end{array}} \right.\)

সমীকরণ ব্যবহার করে (2):

\(\mathop \smallint \limits_{ 0 }^4 {\frac{c}{\sqrt{x}}}dx=1\)

\([2c\sqrt{x}]^{4}_{0}=1 \)

4c = 1

\(c=\frac{1}{4}\)

অতএব বিকল্প (3) সঠিক উত্তর।

প্রদত্ত

σ_x = √16 = 4

r = 0.48

সহসহগ = ∑xy/N = 36

সূত্র

সহসহগ = ∑xy/N

r = ∑xy/N.σ_x x σ_y

গণনা

প্রশ্নানুসারে

⇒ 0.48 = 36/4 x σ_y

⇒ σ_y = 9/0.48

∴ Y-এর আদর্শ বিচ্যুতি (σ_y) হল 18.75

প্রদত্ত:

দুটি স্বাধীন ঘটনা A এবং B

অনুসৃত সূত্র:

P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)

স্বাধীন ঘটনার জন্য, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

গণনা:

আমাদের P(A - B) নির্ণয় করতে হবে।

P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)

যেহেতু A এবং B স্বাধীন ঘটনা:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

অতএব, P(A - B) = P(A) - P(A) × P(B)

সমাধান:

P(A - B) = P(A) - P(A) × P(B)

P(A - B) = P(A)(1 - P(B))

সুতরাং, P(A - B) = P(A)(1 - P(B))

অনুসৃত সূত্র

ভেদাঙ্ক X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2

গণনা

E(X) = μx = μ

⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)

⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6

⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

⇒ 7/2

E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)

⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6

⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)

⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)

⇒ 91/6

ভেদাঙ্ক 

X = E(X2) – [E(X)]2

⇒ 91/6 – (7/2)2

⇒ 91/6 – 49/4

∴ ভেদাঙ্ক X হল 35/12

⇒ দুই পাশে টেল বিশিষ্ট মুদ্রার সংখ্যা = n

⇒ ন্যায্য মুদ্রার সংখ্যা = n + 1

ATQ,

⇒ একটি লেজ পাওয়ার সম্ভাবনা = 31/42

⇒ P(tail) = \(\frac{{{}_{}^n{C_1}}}{{{}_{}^{2n\; + \;1}{C_1}}} \times 1 + \frac{{{}_{}^{n\; + \;1}{C_1}}}{{{}_{}^{2n\; + \;1}{C_1}}} \times \frac{1}{2} = 31/42\)

\( \Rightarrow \frac{n}{{2n\; + \;1}} + \frac{{n\; + \;1}}{{2\left( {2n\; + \;1} \right)\;}} = 31/42\)

⇒ (3n + 1) x 21 = 31(2n + 1)

⇒ 63n + 21 = 62n + 31

⇒ n = 10

∴ ব্যাগে মোট কয়েন সংখ্যা হল = 2n + 1 = 21

ধারণা:

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

9, 5, 8, 9, 9, 7, 8, 9, 8

সংখ্যাক্রম অনুসারে সংখ্যাগুলি সাজিয়ে পাই,

5, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9

যেহেতু সংখ্যার একটি বিজোড় সংখ্যা রয়েছে, তাই মধ্যবর্তী সংখ্যাটি প্রদত্ত তথ্যের মধ্যক

⇒ মধ্যক = 8

যে মানটি সবচেয়ে বেশিবার প্রদর্শিত হয় সেটিকে প্রচুরক হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যেহেতু, 9 এর 4 বার পুনরাবৃত্তি হয়।

⇒ প্রচুরক = 9

গড় = (9 + 5 + 8 + 9 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8)/9 = 8

∴ মধ্যক, প্রচুরক এবং গড় = (8, 9, 8)

প্রদত্ত 

P(A) = 2P(B) = 6P(C)

ধারণা

ঘটনা যখন পারস্পরিক একচেটিয়া এবং সম্পূর্ণ হয়

P(A) + P(B) + P(C) = 1

গণনা 

ধরা যাক, P(A) হল k 

⇒ P(B) = k/2

⇒ P(C) = k/6

তাই ধারণা অনুযায়ী

⇒ k + k/2 + k/6 = 1

⇒ 10k/6 = 1

⇒ k = 3/5

প্রদত্ত 

P(A) = 0.60

P(B/A) = 0.10

ধারণা:

P(A | B) ⋅ P(B) = P(B | A) ⋅ P(A)

গণনা:

A কে ঘটনা হতে দিন: কর্মচারীরা স্নাতক

B ঘটে হতে দিন: কর্মচারী সেলসে রয়েছে 

⇒ P(B) = P(A).P(B/A) + P(A')। P(B/A)'

⇒ 0.60 x 0.10 + 0.40 x 0.80

∴ যদৃচ্ছভাবে নির্বাচিত একজন কর্মচারীর বিক্রির সম্ভাবনা 0.38

Important Points

সম্ভাবনা সবসময় 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।

প্রদত্ত:

তথ্য = 7.5, 7.3, 7.2, 7.2, 7.4, 7.7, 7.7, 7.5, 7.3, 7.2, 7.6, 7.2

অনুসৃত ধারণা:

গড়: গড় হল কোনো সংখ্যার সংগ্রহের গড় বা সবচেয়ে সাধারণ মান

মধ্যমান: মধ্যমান হল একটি ক্রমে সাজানো হলে প্রদত্ত সংখ্যার মধ্যম মান।

প্রচুরক: প্রচুরক হল সেই মান যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে সবথেকে বেশি বার এসেছে

গণনা:

যখন আমরা একটি পদ্ধতিতে তথ্য সাজাই

⇒ 7.2, 7.2, 7.2, 7.2, 7.3, 7.3, 7.4, 7.5, 7.5, 7.6, 7.7, 7.7

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত তথ্যটিতে 7.2 সবথেকে বেশিবার এসেছে,

প্রদত্ত তথ্যের প্রচুরক = 7.2

∴ প্রয়োজনীয় ফলাফল 7.2 হবে।

অনুসৃত ধারণা:

আমরা জানি দ্বিপদী বিভাজন হল:

\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)

যেখানে p + q = 1

p হল সাফল্য পাওয়ার সম্ভাবনা এবং q হল ব্যর্থতার সম্ভাবনা

• দ্বিপদী বিভাজনের গড় হল np
• ভেদাঙ্ক হল npq
• প্রকরণের বর্গমূল দ্বারা মানক বিচ্যুতি প্রদত্ত, যেমন:

\(S.D.=\;\sqrt {Variance} = \sqrt {npq} \)

প্রদত্ত:

দুটি স্বাধীন ঘটনা A এবং B

অনুসৃত সূত্র:

P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)

স্বাধীন ঘটনার জন্য, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

গণনা:

আমাদের P(A - B) নির্ণয় করতে হবে।

P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)

যেহেতু A এবং B স্বাধীন ঘটনা:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

অতএব, P(A - B) = P(A) - P(A) × P(B)

সমাধান:

P(A - B) = P(A) - P(A) × P(B)

P(A - B) = P(A)(1 - P(B))

সুতরাং, P(A - B) = P(A)(1 - P(B))

ব্যাখ্যা:

যদি X গড় μ সহ একটি যথেচ্ছ চলক হয়, তাহলে X এর প্রকরণ, Var (X) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

Var (X) = E[(X - μ)]², যেখানে μ = E(X)

একটি বিচ্ছিন্ন যথেচ্ছ চলরাশি X এর জন্য, X-এর প্রকরণটি নিম্নরূপ পাওয়া যায়:

\(Var (X) = \sum (x-μ )^{2}pX(x)\)

যেখানে যোগফলটি x এর সমস্ত মান ধরে নেওয়া হয় যার জন্য pX(x) > 0। সুতরাং X এর প্রকরণ হল গড় μ থেকে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির ওজনযুক্ত গড়, যেখানে সম্ভাব্যতা ফাংশন pX(x) দ্বারা ওজন দেওয়া হয় ) এর X

Important Points

• X-এর মানক বিচ্যুতিকে প্রকরণের বর্গমূল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
• ভেদাঙ্কটি ঋণাত্মক হতে পারে না, কারণ এটি বর্গ পরিমাণের গড়।

• Var (X) প্রায়ই σ² হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

অতএব, যদি X গড় μ সহ একটি যথেচ্ছ চলক হয়, তবে X-এর প্রকরণ, Var (X) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় Var (X) = E[(X - μ)]2 দ্বারা

প্রদত্ত

P(3) = P(4)

অনুসৃত ধারণা

পয়সন বিভাজন = এটি একটি বিচ্ছিন্ন বিভাজনও। পয়সন বিভাজন স্বাভাবিক বিভাজনের সীমাবদ্ধতা পূরণ করে

পয়সন বিভাজন f(x) = (e-λ × λx)/x! দ্বারা প্রদত্ত!

যেখানে x = 0, 1, 2, 3 ---- এবং λ = গড়

গণনা

এখানে x = 3 এবং 4

⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!

⇒ λ  = 4!/3!

⇒ λ = 4

∴ পয়সন বিভাজনে x এর গড় হল 4

প্রদত্ত

পয়সন বিভাজনের গড় = 9

গণনা

পয়সন বিভাজনে গড় ভেদাঙ্কের সমান

∴ ভেদাঙ্ক হল 9