Functions of Several Variables MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Functions of Several Variables - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Functions of Several Variables MCQ Objective Questions
Functions of Several Variables Question 1:
ধরা যাক f : R2 → R কে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:
\(\rm{ f(x, y) = { \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & if (x, y) \ne (0, 0) \\\ 0 & if (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \right.}}\)
(0, 0) বিন্দুতে f-এর সন্ততি (continuity) এবং আংশিক অবকলন (partial derivatives) এর অস্তিত্ব সম্পর্কে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Answer (Detailed Solution Below)
Functions of Several Variables Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
যদি f(x,y) একটি অপেক্ষক হয়, যেখানে f আংশিকভাবে x এবং y এর উপর নির্ভর করে এবং যদি আমরা x এবং y এর সাপেক্ষে f কে অবকলন করি তবে এই অবকলনগুলিকে f-এর আংশিক অবকলন বলা হয়। y কে ধ্রুবক ধরে x এর সাপেক্ষে f-এর আংশিক অবকলন সূত্রটি হল:
\(f_x =\frac{df}{dx}= \lim_{h=0}\frac{f(x+ h, y)-f(x,y)}{h}\)
⇒ \(f_y =\frac{df}{dy}= \lim_{h=0}\frac{f(x,y +h)-f(x,y)}{h}\)
প্রদত্ত: \(\rm{ f(x, y) = { \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & if (x, y) \ne (0, 0) \\\ 0 & if (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \right.}}\)
গণনা:
আংশিক অবকলনের সংজ্ঞা অনুযায়ী
⇒ fx(0, 0) = \(\lim_{h=0}\frac{f(0 + h, 0)-f(0,0)}{h}=0\)
⇒ fy(0, 0) \(\lim_{k=0}\frac{f(0 + k, 0)-f(0,0)}{k}=0\)
যদি আমরা বক্ররেখা v = mx2 বরাবর চলি
⇒ \(\lim_{(x, y)=(0,0)}m\frac{x^4}{x^4+ x^4m^2}=\frac{1}{2}\frac{m}{(1+m^2)}\)
⇒ f(x, y) সন্তত নয়।
f-এর উভয় আংশিক অবকলন (0, 0) বিন্দুতে বিদ্যমান এবং f (0, 0) বিন্দুতে সন্তত নয়।
Top Functions of Several Variables MCQ Objective Questions
Functions of Several Variables Question 2:
ধরা যাক f : R2 → R কে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:
\(\rm{ f(x, y) = { \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & if (x, y) \ne (0, 0) \\\ 0 & if (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \right.}}\)
(0, 0) বিন্দুতে f-এর সন্ততি (continuity) এবং আংশিক অবকলন (partial derivatives) এর অস্তিত্ব সম্পর্কে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Answer (Detailed Solution Below)
Functions of Several Variables Question 2 Detailed Solution
ধারণা:
যদি f(x,y) একটি অপেক্ষক হয়, যেখানে f আংশিকভাবে x এবং y এর উপর নির্ভর করে এবং যদি আমরা x এবং y এর সাপেক্ষে f কে অবকলন করি তবে এই অবকলনগুলিকে f-এর আংশিক অবকলন বলা হয়। y কে ধ্রুবক ধরে x এর সাপেক্ষে f-এর আংশিক অবকলন সূত্রটি হল:
\(f_x =\frac{df}{dx}= \lim_{h=0}\frac{f(x+ h, y)-f(x,y)}{h}\)
⇒ \(f_y =\frac{df}{dy}= \lim_{h=0}\frac{f(x,y +h)-f(x,y)}{h}\)
প্রদত্ত: \(\rm{ f(x, y) = { \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & if (x, y) \ne (0, 0) \\\ 0 & if (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \right.}}\)
গণনা:
আংশিক অবকলনের সংজ্ঞা অনুযায়ী
⇒ fx(0, 0) = \(\lim_{h=0}\frac{f(0 + h, 0)-f(0,0)}{h}=0\)
⇒ fy(0, 0) \(\lim_{k=0}\frac{f(0 + k, 0)-f(0,0)}{k}=0\)
যদি আমরা বক্ররেখা v = mx2 বরাবর চলি
⇒ \(\lim_{(x, y)=(0,0)}m\frac{x^4}{x^4+ x^4m^2}=\frac{1}{2}\frac{m}{(1+m^2)}\)
⇒ f(x, y) সন্তত নয়।
f-এর উভয় আংশিক অবকলন (0, 0) বিন্দুতে বিদ্যমান এবং f (0, 0) বিন্দুতে সন্তত নয়।