$(p+q)$ किसके बराबर है?

गणना:

हमें दिया गया है:

\( p = \tan(2\alpha) - \tan(\alpha) \)

\( q = \cot(\alpha) - \cot(2\alpha) \)

हमें p + q ज्ञात करना है।

\( p + q = \left( \frac{\sin^2(2\alpha) - \cos^2(2\alpha)}{\sin(2\alpha) \cdot \cos(2\alpha)} \right) + \left( \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)} \right) \)

दोनों पदों को सरल करने पर:

\( = \frac{-2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} + \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} \)

अब, गुणनखंडन और आगे सरलीकरण करने पर:

\( = \frac{2(\sin(4\alpha) \cdot \cos(2\alpha) - \cos(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha))}{\sin(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha)} \)

ज्या सर्वसमिका को पहचानने पर, हमें मिलता है:

\( = \frac{2 \sin(4\alpha - 2\alpha)}{\sin(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha)} \)

अंत में, इसे सरल करने पर:

\( = \frac{2 \sin(2\alpha)}{\sin(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha)} \)

अंतिम परिणाम: \( p + q = 2 \csc (4\alpha) \) है। 

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।