Question
Download Solution PDF100 इकाइयों की जनसंख्या से प्रतिस्थापन के साथ निकाले गए 3 इकाइयों के एक साधारण यादृच्छिक प्रतिदर्श में विशिष्ट इकाइयों की अपेक्षित संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
विशिष्ट इकाइयों की अपेक्षित संख्या:
विशिष्ट इकाइयों की अपेक्षित संख्या की गणना पूरक नियम का उपयोग करके की जा सकती है,
जो बताता है कि N की जनसंख्या से आकार n के प्रतिदर्श में विशिष्ट इकाइयों की अपेक्षित संख्या
1 से बार-बार चयन की प्रायिकता को घटाकर पाई जा सकती है।
N की जनसंख्या से k के आकार के प्रतिदर्शों में विशिष्ट तत्वों की अपेक्षित संख्या के लिए सामान्य सूत्र
प्रतिस्थापन के साथ प्रतिचयन करते समय है:
\( E(n) = N \left(1 - \left(\frac{N-1}{N}\right)^k\right)\)
यह सूत्र इस प्रकार टूट जाता है
N: कुल जनसंख्या का आकार (अर्थात, इस मामले में 100).
\( \left(1 - \left(\frac{N-1}{N}\right)^k\right)\) उस प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है कि सभी चयनित इकाइयाँ समान नहीं हैं, जिससे विशिष्ट इकाइयाँ बनती हैं।
व्याख्या:
जनसंख्या का आकार N = 100, नमूना आकार n = 3
प्रतिस्थापन के साथ प्रतिचयन करते समय किसी विशेष इकाई का चयन करने और उसे फिर से नहीं प्राप्त करने की प्रायिकता \(\left( \frac{99}{100} \right)\) है। ऐसा इसलिए है क्योंकि बाद के ड्रॉ में 99 अन्य इकाइयाँ चुनी जा सकती हैं।
विभिन्न इकाइयों की अपेक्षित संख्या की गणना करने का सूत्र, ड्रॉ में एक ही इकाई के चयन के पूरक पर आधारित है। विशिष्ट इकाइयों की अपेक्षित संख्या के लिए सामान्य सूत्र,
\(E(k)\), N की जनसंख्या से \(k\) के आकार के प्रतिदर्शों में प्रतिस्थापन के साथ है:
\( E(k) = N \left(1 - \left(\frac{N-1}{N}\right)^k\right)\)
इस मामले के लिए, N = 100 और k =3 के साथ, विशिष्ट इकाइयों की अपेक्षित संख्या बन जाती है:
\(E(3) = 100 \left(1 - \left(\frac{99}{100}\right)^3\right)\)
सर्व प्रथम, प्रायिकता की गणना करें:
\(\left(\frac{99}{100}\right)^3 = \frac{99^3}{100^3} = \frac{970299}{1000000}\)
अब, इसे 1 से घटाएँ:
\(1 - \frac{970299}{1000000} = \frac{1000000 - 970299}{1000000} = \frac{29701}{1000000}\)
100 से गुणा करें:
\( E(3) = 100 \times \frac{29701}{1000000} = \frac{29701}{10000} = 2.9701\)
विकल्पों में सही व्यंजक जो इस तर्क से मिलता है वह विकल्प 2) है।
Last updated on Jul 8, 2025
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