किसी भी बिंदु पर दो संसक्त तरंगों का विस्थापन y1 = a cos(ωt) और y2 = a cos(ωt + ϕ) है। जब उन्हें अध्यारोपित किया जाता है तो परिणामी आयाम _________ के बराबर है।

  1. 2a sin\(\left ( \frac{\phi}{2} \right )\)
  2. 2a cos\(\left ( \frac{\phi}{2} \right )\)
  3. 2a
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2a cos\(\left ( \frac{\phi}{2} \right )\)

Detailed Solution

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अवधारणा:

तरंगों का संसक्‍त योग:

  • वह परिघटना जिसमें दो या दो से अधिक तरंगें अधिक, निम्न या समान आयाम की परिणामी तरंग बनाने के लिए अध्यारोपण करती हैं, व्यतिकरण कहलाती है।
  • व्यतिकरण अध्यारोपण सिद्धांत पर आधारित है जिसके अनुसार माध्यम में एक विशेष बिंदु पर, अनेक तरंगों द्वारा उत्पन्न परिणामी विस्थापन प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापनों का सदिश योग होता है।
  • मान लीजिये तरंग S1 और S2 के दो स्रोत संसक्‍त हैं।
  • माना तरंगों की तीव्रता Io है।

रचनात्मक व्यतिकरण के लिए:

  • यदि किसी बिंदु पर दो संसक्‍त  स्रोतों S1 और S2 से निकलने वाली तरंगें कला में हैं तो हमारे पास रचनात्मक व्यतिकरण होगा और परिणामी तीव्रता 4Io होगी।

⇒ पथ अंतर = nλ और n = 0,1,2,3,...

विनाशकारी व्यतिकरण के लिए:

  • यदि किसी बिंदु पर दो संसक्‍त स्रोतों S1 और S2 से निकलने वाली तरंगें विपरीत कला में हैं तो हमारे पास विनाशकारी व्यतिकरण होगा और परिणामी तीव्रता शून्य होगी।

पथ अंतर =  \(\left ( n+\frac{1}{2} \right )\)λ और n = 0,1,2,3,...

जहाँ λ= तरंगदैर्घ्य

  • मान लीजिए किसी भी बिंदु पर दो तरंगों के विस्थापन के बीच कला अंतर ϕ है।
  • तो दो तरंगों का विस्थापन इस प्रकार दिया गया है,

y1 = a.cos(ωt)

y2 = a.cos(ωt + )

जब इस बिंदु पर तरंगों को अध्यारोपित किया जाता है तो परिणामी विस्थापन इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ y1 = a.cos(ωt)

⇒ y2 = a.cos(ωt + ϕ)

  • परिणामी विस्थापन का आयाम इस प्रकार दिया गया है,


\(⇒ y=2acos\left ( \frac{ϕ}{2} \right )cos\left ( \omega t+ \frac{ϕ}{2} \right )\)

उस बिंदु पर तीव्रता इस प्रकार दी गई है,\(⇒ I=4I_ocos^2\left ( \frac{ϕ}{2} \right )\)

व्याख्या:

दिया गया है:

y1 = a.cos(ωt), और y2 = a.cos(ωt + ϕ)

  • हम जानते हैं कि यदि दो तरंगों को अध्यारोपित किया जाता है, तो परिणामी विस्थापन का आयाम इस प्रकार है,

\(\Rightarrow A=2acos\left ( \frac{\phi}{2} \right )\)

  • अत: विकल्प 2 सही है।

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