मान लीजिए X₀, X₁ ......X_p (p ≥ 2) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है। मान लीजिए Y_i = X₀ + X_i, i = 1....p। Y = (Y₁...., Y_p)^T के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक है:

संप्रत्यय:

सहप्रसरण आव्यूह की गणना:

प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) और चूँकि \(X_i\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं, इसलिए उनके प्रसरण और सहप्रसरणों की सरलता से गणना की जा सकती है।

\(Y_i \) का प्रसरण \( \text{Var}(Y_i) = \text{Var}(X_0 + X_i) = \text{Var}(X_0) + \text{Var}(X_i) = 1 + 1 = 2.\) है।

किन्हीं दो भिन्न \(Y_i \) और \(Y_j\) (जहाँ \(i \neq j \) ) के बीच सहप्रसरण है

\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Cov}(X_0 + X_i, X_0 + X_j) = \text{Var}(X_0) = 1.\)

इस प्रकार, Y के सहप्रसरण आव्यूह में विकर्ण पर 2 और विकर्ण के बाहर 1 हैं।

व्याख्या:

\(X_0, X_1, \dots, X_p\) स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है।

\(Y_i = X_0 + X_i , for i = 1, 2, \dots, p \).

\( \mathbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_p)^T\) के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक ज्ञात करना कार्य है।

प्रत्येक \(Y_i = X_0 + X_i \) जहाँ, \( X_0\) सभी \(Y_i \) में समान है।

किन्हीं दो भिन्न \( Y_i \) और \(Y_j \) के बीच सहप्रसरण \( X_0 \) पर निर्भर करता है।

\(\mathbf{Y} \) के लिए सहप्रसरण आव्यूह \(\Sigma_Y \) में प्रविष्टियाँ होंगी:

\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \text{Var}(X_0) + \delta_{ij} \cdot \text{Var}(X_i) \), जहाँ \(\delta_{ij}\) क्रोनकर डेल्टा है।

चूँकि \(X_0 \) और \(X_i \) का प्रसरण 1 है, हमें मिलता है,

\(\text{Cov}(Y_i, Y_j) = 1 \) जब \(i \neq j \) (समान \(X_0 \) के कारण)।

\(\text{Cov}(Y_i, Y_i) = 2\) जब \( i = j \).

इस प्रकार, सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) एक आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 और विकर्ण के बाहर

प्रविष्टियाँ 1 हैं। यह एक सममित आव्यूह है।

पहला मुख्य घटक सहप्रसरण आव्यूह \( \Sigma_Y\) के सबसे बड़े आइगेन मान से जुड़े आइगेन सदिश के संगत है।

इस तरह के सहप्रसरण आव्यूह (सभी विकर्ण के बाहर के अवयव समान और विकर्ण अवयव विकर्ण के बाहर के अवयवों से बड़े होने के साथ) के लिए, पहले मुख्य घटक में सभी घटकों पर समान भार होगा। विशेष रूप से, सबसे बड़े आइगेन मान से संबंधित आइगेन सदिश \((1, 1, \dots, 1)^T \) के समानुपाती होगा।

इस प्रकार पहले मुख्य घटक को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ​​

\(\mathbf{v}_1^T \mathbf{Y} = \frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\)

यह \(Y_i \) का एक रैखिक संयोजन है, जहाँ प्रत्येक \(Y_i \) का समान भार है,

जिसे \(\frac{1}{\sqrt{p}} \) से स्केल किया गया है ताकि आइगेन सदिश की इकाई लंबाई सुनिश्चित हो सके।

उपलब्ध विकल्पों में से, पहले मुख्य घटक का सही निरूपण

घटक ​\(\frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{i=1}^{p} Y_i\)​ है

इस प्रकार, सही उत्तर पहला विकल्प है।