X को अरिक्त समुच्चय मानें तथा P(X) को X के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय मानें। P(X) पर दो प्रचालन (ऑपरेशन) ⋆ तथा Δ निम्नवत परिभाषित करें:

A, B ∈ P(X) के लिए A ⋆ B = A ∩ B; AΔB = (A ∪ B)\(A ∩ B).

निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?

व्याख्या:

मान लीजिये संक्रिया, Δ अर्थात, A, B ∈ P(X) ⇒ A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) इसके लिए,

(i) संवृत: माना A, B ∈ P(x) तब A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ∈ P(X)
इसलिए, P(x) Δ के अंतर्गत संवृत है।

(ii) साहचर्यता: माना A, B, C ∈ P(x), तब (A Δ B) ΔC = ([(A ∪ B) \ (A ∩ B))] ∪ C) \[([A ∪ B) \ ((A ∩ B))] ∩ C)

A Δ (B Δ C) = (A ∪[(B ∪ C) | (B∩C)]) \ (A∩[(B∪C) | (B∩C)])

आकृतियों से आप देख सकते हैं,

(A Δ B) ΔC = A Δ (B Δ C)

(iii) तत्समक:

AΔϕ = (A ∪ ϕ) \ (A ∩ ϕ) = A \ ϕ = A

इसलिए, ϕ ∈ P(x) ऐसा है कि A Δ ϕ = A

(iv) प्रतिलोम:

A Δ A = (A ∪ A) \ (A ∩ A) = A \ A = ϕ

इसलिए, A ∈ P(x) के लिए, A-1 = A.

∴ P(x) Δ के अंतर्गत समूह है।

अब * संक्रिया के लिए, A * B = A ∩ B, A, B ∈ P(x)

मान लीजिये x = {1, 2, 3} तब P(x) = {ϕ, x, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

यहाँ, यदि हम लेते हैं, e = x

(∵ x ∩ A = A, A ∈ P(x))

लेकिन e = x के लिए, किसी भी A का प्रतिलोम, A ∈ P(x)

∵ A ∩ B ≠ x (किसी भी A, B ∈ P(x)A, B ≠ x के लिए)

इसलिए, P(x) (*) के अंतर्गत समूह नहीं है।

विकल्प (3) सही है।