मान लीजिए कि a और b दो वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ a < 0 < b है। एक धनात्मक वास्तविक संख्या r के लिए, γ_r(t) = re^it (जहाँ t ∈ |0, 2π|) और I_r = परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?

संप्रत्यय:

अवशेष प्रमेय:

सम्मिश्र समतल में एक बंद कंटूर के चारों ओर एक फलन का समाकलन गुना कंटूर के अंदर फलन के अवशेषों का योग होता है। इसलिए, इस बात पर निर्भर करेगा कि और/या द्वारा परिभाषित कंटूर के अंदर स्थित हैं या नहीं।

व्याख्या: कंटूर मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है, और समाकल्य में विचित्रताएँ (ध्रुव) और पर हैं।

समाकल्य के अनंतक :

फलन के दो अनंतक हैं

पर और पर

, जहाँ के लिए और वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ   है। 

फलन के अनंतक कंटूर के अंदर हैं, जो मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है।

फलन के अनंतक  और पर हैं। चूँकि और , इसलिए दो अनंतक मूलबिंदु के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।

त्रिज्या r के आधार पर, कंटूर एक या दोनों अनंतकों को परिबद्ध सकता है या परिबद्ध नहीं भी सकता है।

के लिए शर्तें:

यदि त्रिज्या r, |a| (a के निरपेक्ष मान) से छोटी है, तो कंटूर किसी भी ध्रुव को परिबद्ध नहीं करता है, इसलिए कौशी समाकल प्रमेय द्वारा, = 0 है। 

यदि त्रिज्या r, से बड़ी है, तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, और अवशेष प्रमेय द्वारा, शून्येतर होगा।

यदि r, |a| और b के बीच है, तो कंटूर ठीक एक अनंतक को परिबद्ध करता है, जो को शून्येतर भी बना देगा।

विकल्प 3: यदि r > max {|a|, b} और |a| = b हो, Ir = 0

यह स्थिति सत्य है क्योंकि यदि r > , तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, जिससे ऐसी स्थिति बनती है। 

जहाँ समाकलन दोनों अनंतकों पर अवशेषों का योग करता है, संभावित रूप से एक-दूसरे को निरस्त करता है।

इसके अतिरिक्त, यदि , तो दोनों अनंतक सममित रूप से स्थित होते हैं, जो निरसन को और मजबूत करते हैं।

इस प्रकार, विकल्प 3) सही उत्तर है।