Question
Download Solution PDFमान लीजिए कि a और b दो वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ a < 0 < b है। एक धनात्मक वास्तविक संख्या r के लिए, γr(t) = reit (जहाँ t ∈ |0, 2π|) और Ir = \(\rm \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_r}\frac{z^2+1}{(z-a)(z-b)}dz\) परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
अवशेष प्रमेय:
सम्मिश्र समतल में एक बंद कंटूर के चारों ओर एक फलन का समाकलन \( 2\pi i \) गुना कंटूर के अंदर फलन के अवशेषों का योग होता है। इसलिए, \(I_r \) इस बात पर निर्भर करेगा कि \(a\) और/या \(b\) \(\gamma_r\) द्वारा परिभाषित कंटूर के अंदर स्थित हैं या नहीं।
व्याख्या: कंटूर \( \gamma_r \) मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है, और समाकल्य में विचित्रताएँ (ध्रुव) \(z = a\) और \(z = b \) पर हैं।
समाकल्य के अनंतक :
फलन \( \frac{z^2 + 1}{(z - a)(z - b)} \) के दो अनंतक हैं
\( z = a\) पर और \(z = b \) पर
\(I_r = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{z^2 + 1}{(z - a)(z - b)} \, dz\), जहाँ \(\gamma_r(t) = re^{it} \) \(t \in [0, 2\pi]\) के लिए और \(a, b \) वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ \(a < 0 < b\) है।
फलन \(\frac{z^2 + 1}{(z - a)(z - b)} \) के अनंतक कंटूर \(\gamma_r\) के अंदर हैं, जो मूलबिंदु पर केंद्रित r त्रिज्या का एक वृत्त है।
फलन के अनंतक \(z = a \) और \( z = b\) पर हैं। चूँकि \(a < 0\) और \(b > 0\) , इसलिए दो अनंतक मूलबिंदु के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।
त्रिज्या r के आधार पर, कंटूर \(\gamma_r\) एक या दोनों अनंतकों को परिबद्ध सकता है या परिबद्ध नहीं भी सकता है।
\( I_r \) के लिए शर्तें:
यदि त्रिज्या r, |a| (a के निरपेक्ष मान) से छोटी है, तो कंटूर किसी भी ध्रुव को परिबद्ध नहीं करता है, इसलिए कौशी समाकल प्रमेय द्वारा, \( I_r \) = 0 है।
यदि त्रिज्या r, \(\max\{|a|, b\}\) से बड़ी है, तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, और अवशेष प्रमेय द्वारा, \( I_r \) शून्येतर होगा।
यदि r, |a| और b के बीच है, तो कंटूर ठीक एक अनंतक को परिबद्ध करता है, जो \( I_r \) को शून्येतर भी बना देगा।
विकल्प 3: यदि r > max {|a|, b} और |a| = b हो, Ir = 0
यह स्थिति सत्य है क्योंकि यदि r > \(\max \{|a|, b\} \), तो कंटूर दोनों अनंतकों को परिबद्ध करता है, जिससे ऐसी स्थिति बनती है।
जहाँ समाकलन दोनों अनंतकों पर अवशेषों का योग करता है, संभावित रूप से एक-दूसरे को निरस्त करता है।
इसके अतिरिक्त, यदि \(|a| = b \), तो दोनों अनंतक सममित रूप से स्थित होते हैं, जो निरसन को और मजबूत करते हैं।
इस प्रकार, विकल्प 3) सही उत्तर है।
Last updated on Jun 23, 2025
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