सभी धनात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला ज्ञात कीजिए जिन्हें 5 से विभाजित करने पर शेषफल 3 प्राप्त होता है।

संकल्पना:

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका:

धनात्मक पूर्णांक a और b दिए होने पर पूर्ण संख्याएँ q और r मौजूद होती हैं जो निम्न को संतुष्ट करती हैं

a = bq + r, जहाँ, 0 ≤ r ≤ b         ----(1)

• शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है
• यदि r = 0 है तो a = bq तो b, a को विभाजित करता है।

• इसी प्रकार यदि b, a को विभाजित करता है तो a = bq।

गणना:

विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके हम आसानी से उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

पहली संख्या प्राप्त करने के लिए माना कि q = 0, r = 3 (दिया गया) और b = 5 (दिया गया)

⇒ a = 5(0) + 3         [(1) का प्रयोग करके]

⇒ a = 3

इसी तरह दूसरी संख्या प्राप्त करने के लिए माना कि q = 1, r = 3 (दिया गया) और b = 5 (दिया गया)

⇒ a = 5(1) + 3

⇒ a = 8

अब तीसरी संख्या प्राप्त करने के लिए मान लीजिए q = 2, r = 3 (दिया गया) और b = 5 (दिया गया)

⇒ a = 5(2) + 3

⇒ a = 13

इस प्रकार, अगली संख्या पिछली संख्या से 5 अधिक होगी।

अत: श्रृंखला 3 , 8, 13, 18, 23, ......... होगी।

इसलिए उन सभी धनात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला 3 , 8, 13, 18, 23, …… है जिन्हें 5 से विभाजित करने पर शेषफल 3 प्राप्त होता है।