वक्र γ पर विचार कीजिए जो इस प्रकार परिभाषित है:

तब का मान क्या है?

संप्रत्यय:

कौशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए एक फलन है जो एक सरल बंद वक्र C के अंदर और पर वैश्लेषिक है, सिवाय C के अंदर परिमित संख्या में पृथक विचित्रताओं (अनंतकों) को छोड़कर। यदि में C के अंदर पर पृथक विचित्रताएँ हैं, तो C के चारों ओर का समाकल इस प्रकार दिया गया है:

व्याख्या:

, जहाँ वक्र इस प्रकार खंडशः परिभाषित है:

हम इस समाकल को हल करने के लिए कौशी अवशेष प्रमेय लागू करेंगे। समाकल्य है

इस फलन में और पर दो विचित्रताएँ हैं। यदि वक्र इन विचित्रताओं को परिबद्ध करता है, तो समाकल का मान इन बिंदुओं पर फलन के अवशेषों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यहाँ z = 0 की घुमाव संख्या 2 है और z = 2 की घुमाव संख्या 1 है।

पर अवशेष:

पर अवशेष को से गुणा करके और के रूप में सीमा लेकर ज्ञात किया जाता है:

पर अवशेष:

पर अवशेष इसी प्रकार ज्ञात किया जाता है,

अवशेष प्रमेय लागू करने पर:

चूँकि वक्र और पर दोनों विचित्रताओं को परिबद्ध करता है, समाकल का मान है

I =

=

= = -πi

इसलिए, सही विकल्प (3) है।