20 cm व्यास और 100 cm लम्बाई वाले एक खुले बेलनाकार पात्र में 80 cm की ऊंचाई तक पानी शामिल है। तो पात्र के ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर पात्र की घूर्णन गति क्या है जिससे पानी छलकता नहीं है? [ g = 10 m/s2]

संकल्पना:

जब एक बेलन अपने अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो पानी की ऊंचाई (H) को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(H = \frac{{{\omega ^2} × {R^2}}}{{2g}}\)

जहाँ R = बेलन की त्रिज्या

हम हवा के स्थिर आयतन की स्थिति को देखते हुए H का मान ज्ञात कर सकते हैं क्योंकि घूर्णन के कारण कोई पानी बाहर नहीं जाता है। तो घूर्णन से पहले और बाद में हवा का आयतन समान होगा।

ठोस अनुवृत्त में हवा का आयतन ठोस अनुवृत्त की ऊंचाई के अनुरूप बेलनाकार स्तंभ का आधा होगा।

\({\rm{Volume\;of\;the\;air\;in\;paraboloiud}} = \frac{{{\rm{Volume\;of\;the\;cylinder\;coreesponding\;to\;hight\;of\;paraboloid}}}}{2}\)

\( ⇒ {\rm{Volume\;of\;the\;air\;in\;paraboloiud}} = \frac{{\pi {R^2}H}}{2}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

⇒ ठोस अनुवृत्त में हवा का आयतन = घूर्णन से पहले हवा का आयतन

\( ⇒ {\rm{Volume\;of\;the\;air\;befor\;rotation}} = {\rm{\pi }}{{\rm{R}}^2} × h\;\;\;\;\; \ldots \left( 2 \right)\)

समीकरण (1) और (2) का उपयोग करके

⇒ H = 2h      ...(3)

गणना:

दिया गया है:

व्यास = 20 cm ⇒ R = 10 cm = 10 × 10^-2 m

पात्र में हवा की ऊँचाई (h) = 20 cm = 20 × 10-2 m

संबंध (3) द्वारा,

⇒ H = 2× 20 = 40 cm = 40 × 10-2 m

चूँकि हम जानते हैं,

\(H = \frac{{{\omega ^2} × {R^2}}}{{2g}}\)

\(\begin{array}{l} 40 × {10^{ - 2}} = \frac{{{\omega ^2} × {{\left( {10 × {{10}^{ - 2}}} \right)}^2}}}{{2 × 10}}\\ \end{array}\)

\(\omega = 20\sqrt 2 \;rad/s \)