Range of a Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Range of a Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन  है, जहाँ और n एक पूर्णांक है।

दिए गए फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

सर्वसमिका का उपयोग करके, हम फलन को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

हमें जिस समाकल का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है, वह निम्न है:

का समाकल के रूप में जाना जाता है, इसलिए हमें मिलता है:

अंतिम परिणाम है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन है, जहाँ और n एक पूर्णांक है।

कोज्या फलन का परिसर [-1, 1] होता है, इसलिए cos(x) का मान (-1) से (1) तक हो सकता है।

व्यंजक का मान होगा:

इसलिए, (1 - cos(x)) का मान परिसर में होगा, लेकिन मान 0 को बाहर करता है।

चूँकि , व्युत्क्रम फलन का मान परिसर में होगा।

∴ फलन का परिसर है।

सही उत्तर विकल्प (b) है।

गणना

समीकरण (1) से x ∈ ϕ

और समीकरण (2) से x∈ [ 3, 0] और x∈ [0, 1]

f(g(x)) का परिसर [0, 1] है। 

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

गणना

दिया गया है

⇒

⇒ ∈

⇒

⇒ = √2

अतः विकल्प (1) सही है

संकल्पना:

फलन की अवधि:

यदि फलन को एक स्थिर अवधि में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 

इसे f(x) = f(x + T) की तरह दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है। 

sin x और cos x की अवधि 2π है। 

गणना:

ज्ञात करना है:​ 4cos3 x - 3cos x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 4cos3 x - 3cos x = cos 3x

cos x की अवधि 2π है। 

अतः cos 3x की अवधि  है। 

संकल्पना:

परास: एक फलन की परास उन सभी संभव मानों का समूह जिसे यह उत्पादित कर सकता है अर्थात् y के सभी मानों के लिए जिसके लिए x परिभाषित होता है। 

नोट:

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की परास f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

माना कि, y = f(x) =  है। 

⇒y(x - 3) = x + 1

⇒yx - 3y - x = 1

⇒ x(y - 1) - 3y = 1

⇒ x(y - 1) = 1 + 3y

⇒

यह स्पष्ट है कि y - 1 = 0 अर्थात y = 1 होने पर x परिभाषित नहीं है। 

∴ सीमा (f) = R - {1}

अतः विकल्प (2) सही है।

Mistake Pointsप्रश्न में दिया गया है कि f(x) वास्तविक फलन है। इसलिए,

f(x) में x = 3 के अलावा x के मान के लिए वास्तविक मान हैं

∴ दिए गए फलन का डोमेन = R - {3}, जहाँ R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

अवधारणा:

• sin x का परिसर [- 1, 1] होता है।
• असमिका को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है।

गणना:

दिया गया है, f(x) = 

हम जानते हैं sin x का परिसर = [- 1, 1]

∴ sin 2x का परिसर [- 1, 1] है।

⇒ - 1 ≤ sin 2x  ≤ 1 

पूरे समीकरण को - 1 से गुणा करने पर,

⇒ 1 ≥ - sin 2x  ≥ -1

⇒ - 1 ≤ - sin 2x  ≤ 1 

पूरी असमिका में 4 जोड़ने पर,

⇒ - 1 + 4 ≤ 4 - sin 2x ≤ 1 + 4

⇒ 3 ≤  4 - sin 2x  ≤ 5.

पूरी असमिका का व्युत्क्रम लेने पर,

⇒  ≥  ≥  

⇒   ≤   ≤ 

∴ फलन  का परिसर  है।

फलन का अभीष्ट परिसर  है। 

गणना:

दिया गया है, f(x) = , x ∈ R

y =  

⇒ yx² - 5xy + 9y - x = 0

⇒ yx² - (5y + 1)x + 9y  = 0

दिया गया है, x वास्तविक संख्या है, इसलिए, विविक्‍तिकर ≥ 0

⇒ [- (5y + 1)]² - 4 × y × 9y ≥ 0

⇒ (5y + 1)² - 36y² ≥ 0

⇒ 25y² + 10y + 1 - 36y² ≥ 0

⇒ - 11y² + 10y + 1 ≥ 0

⇒ 11y² - 10y - 1 ≤ 0

⇒ 11y² - 11y + y - 1 ≤ 0

⇒ 11y(y - 1) + 1(y - 1) ≤ 0

⇒ (11y + 1) (y - 1) ≤ 0

∴ 

 के मान  हैं। 

संकल्पना:

एक संबंध R = {(x, y)} का डोमेन x के सभी मानों का समूह है , और R की सीमा y के सभी मानों का समुच्चय है ।

गणना:

चूंकि R ℕ पर एक संबंध है, इसलिए तत्व x और y धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए।

हमारे पास x + 2y = 8 है।

⇒ y = ।

y धनात्मक और एक पूर्णांक होने के लिए (y ∈ N) के लिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x को 2 से विभाज्य होना चाहिए और > 0।

⇒ \dfrac{x}{2}\)

⇒ x

केवल 8 से कम संख्याएं जो 2 से विभाज्य हैं 2, 4 और 6 हैं।

∴ x ∈ {2, 4, 6} जो आवश्यक डोमेन है।

संकल्पना:

• एक द्विघाती समीकरण ax² + bx +c = 0 में वास्तविक मूल होने के लिए: D = b² – 4ac ≥ 0

गणना:

, जहाँ x ∈ R

निम्न को हल करने पर,

y + yx² = x²

⇒ (y - 1) x² + y = 0

⇒(y - 1) x² + y = 0

साथ ही मौजूद द्विघाती समीकरण का y – 1 = 0 तक मौजूद होना संभव नहीं है। 

जो x में एक द्विघाती समीकरण है, ax² + bx +c = 0 से तुलना करने पर, हमें a = (y - 1) , b = 0 , c = y प्राप्त होता है। 

x ∈ R के लिए D ≥ 0 लेने पर, इसलिए b² – 4ac ≥ 0 है। 

0 – 4 y ( y – 1 ) ≥ 0

⇒ y ( y - 1 ) ≤ 0

जो हल y ∈ [0, 1) देता है। 

संकल्पना:

नीचे फलन की सीमा का पता लगाने के लिए चरण दिए गए हैं:

1. y = f(x) लिखें और फिर x = g(y) का कुछ रूप देकर x के लिए समीकरण को हल करें।

g(y) का डोमेन ज्ञात करें और यह f(x) की सीमा होगी।

यदि आप को लगता है कि आप x को हल नहीं कर सकते हैं तो सीमा खोजने के लिए फलन का रेखांकन करने का प्रयास करें।

गणना:

दिया हुआ है कि

Put f(x) = y

पार गुणा करें

⇒ y(1 + x² ) = x²

⇒ y + y . x² = x²

⇒ x² (1 -y) = y

⇒ x² = y/(1 -y)

⇒

⇒ x = g(y) =

अब हम g(y) के डोमेन का पता लगाते हैं जो f(x) की सीमा होगी

इसलिए जैसा कि हम जानते हैं कि मूल के अंदर हमेशा धनात्मक मूल्य आते हैं,

⇒ y ≠ 1 और  0\)

संख्या रेखा पर दिखाने से हमें सीमा [0, 1)मिलेगी

संकल्पना:

कार्तीय निर्देशांक y - अक्ष के समानांतर मापन द्वारा प्राप्त होता है। 

गणना:

दिया गया है: y = 2 - sin x  

फलन sin x में इसके डोमेन में सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन सीमा -1 ≤ sin x ≤ 1 या  -1 ≤ -sin x ≤ 1 है। 

 -1 ≤ -sin x ≤ 1

दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2 - 1 ≤ 2 - sin x ≤ 2 + 1

⇒ 1 ≤ y ≤ 3

∴ y ∈ [ 1 , 3 ] 

सही विकल्प 1 है।

संकल्पना:

गणना:

Referring to the graph for the given function,

Here, x  = 0 is not in the domain of f(x)

This can be re - written as,

0} \end{array}} \right.\)

So, referring to the graph for the given function,

You can see that there are only two outputs for all the values of x in the domain of f(x) so the range of the function f(x) will be {-1, 1}