Orthogonal Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Orthogonal Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह A को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि AA' = A'A = I जहाँ I इकाई आव्यूह है और A' A का परिवर्त है।

व्याख्या:

A एक 3 x 3 ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

इसलिए, AA' = I

(1): ∴ |AA'| = |I|

⇒ |A||A'| = 1 (चूँकि |AB| = |A||B|)

⇒ |A||A| = 1 (चूँकि |A'| = |A|)

⇒ |A|² = 1 ⇒ |A| = ± 1

इसलिए, A का सारणिक एक परिमेय संख्या है।

(1) सही है

(2): d(Ax, Ay) = = = = = d(x, y)

(2) सही है

(3): प्रति उदाहरण: A = एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक नहीं हैं।

(3) गलत है

(4): प्रति उदाहरण: A = एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, लेकिन A के सभी आइगेनमान ± i हैं जो वास्तविक नहीं हैं।

(4) गलत है

प्रयुक्त संकल्पना​:-

जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-

XY = YX = I

तब,

X = Y^-1

व्याख्या:-

दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि

A2 = I और B2 = I,  A-1 = A and B-1​ = B 

यहाँ, AB को B⁻¹A⁻¹ से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,

⇒ ABB⁻¹A⁻¹ = AB × B−1A−1

⇒ ABB−1A−1 = A(BB⁻¹)A⁻¹

⇒ ABB−1A−1 = AIA⁻¹            [ ∵ X(X⁻¹) = (X⁻¹)X = I ]

⇒ ABB−1A−1 = AA−1

⇒ ABB−1A−1 = I        ........(1)

अब, B⁻¹ A⁻¹ को AB से गुणा कीजिए,

⇒ B⁻¹ A⁻¹ AB = B−1A−1 × AB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹IB

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹B

⇒ B−1 A−1 AB = I       ........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

⇒ AB(B⁻¹A⁻¹) = (B⁻¹A⁻¹)AB = I

⇒ (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹= BA

इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA

इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।

अतः सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

लांबिक आव्यूह: 

जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और A^T या A', A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

दिया गया है: 

Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।

तब परिभाषा के अनुसार;

QQT = I

दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर

(Q- 1 Q)QT = Q- 1I

IQT = Q- 1

QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।

AA^T = A^TA = I

गणना:

दिया गया है:

लांबिक आव्यूह के लिए, MM^T = I

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]

a² + b² = 1

∴ हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]

⇒ (a + b)² - 2ab = 1

[∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]

संबंध का उपयोग करके,

a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है

के लिए ,

के लिए ,

इसलिए, M² = I₂ हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]

अवधारणा:

आव्यूह A = ǀ A¹²¹ - A¹²⁰ ǀ

A = ǀ A¹²⁰ (A – I) ǀ

अतः A = ǀ A¹²⁰ǀ ǀ A – I ǀ

गणना:

A = 

अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके

( A – I ) =

( A – I ) =

अब (A – I) का सारणिक,

ǀ A – I ǀ =

ǀ A – I ǀ = 0              (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)

इसलिए, |A121 - A120| =  A120|A – I|  = 0

अवधारणा:

लांबिक आव्यूह के लिए: A × A^T = I ⇒ A^-1 = A^T

गणना:

दिए गए आव्यूह  के लिए

∴ Q × Q^T = 1 ⇒ Q^-1 = Q^T

वैकल्पिक विधि:

संकल्पना:

लांबिक आव्यूह: 

जब एक आव्यूह का इसके परिवर्त के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह देता है।

मान लीजिए A वास्तविक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है और n x n क्रम का है और A^T या A', A का परिवर्त है।

AAT = I

गणना:

दिया गया है: 

Q वास्तविक अवयवों के साथ एक लांबिक आव्यूह है और n x n क्रम का है और QT या Q', Q का परिवर्त है।

तब परिभाषा के अनुसार;

QQT = I

दोनों पक्षों को Q- 1 से गुणा करने पर

(Q- 1 Q)QT = Q- 1I

IQT = Q- 1

QT = Q- 1 या Q’ = Q- 1

प्रयुक्त संकल्पना​:-

जब दो आव्यूह, माना X और Y इस प्रकार हैं कि-

XY = YX = I

तब,

X = Y^-1

व्याख्या:-

दिया गया है कि A और B ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं कि

A2 = I और B2 = I,  A-1 = A and B-1​ = B 

यहाँ, AB को B⁻¹A⁻¹ से गुणा कीजिए और इसे आगे हल कीजिए,

⇒ ABB⁻¹A⁻¹ = AB × B−1A−1

⇒ ABB−1A−1 = A(BB⁻¹)A⁻¹

⇒ ABB−1A−1 = AIA⁻¹            [ ∵ X(X⁻¹) = (X⁻¹)X = I ]

⇒ ABB−1A−1 = AA−1

⇒ ABB−1A−1 = I        ........(1)

अब, B⁻¹ A⁻¹ को AB से गुणा कीजिए,

⇒ B⁻¹ A⁻¹ AB = B−1A−1 × AB

⇒ B−1 A−1 AB = B−1(A−1 × A)B

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹IB

⇒ B−1 A−1 AB = B⁻¹B

⇒ B−1 A−1 AB = I       ........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

⇒ AB(B⁻¹A⁻¹) = (B⁻¹A⁻¹)AB = I

⇒ (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹= BA

इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह के मूल प्रमेय के साथ भी ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि जब A और B दोनों एक ही आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तब AB व्युत्क्रमणीय भी होगा ⇒ (AB)−1 = B−1A−1 = BA

इसलिए, (AB)−1 का मान BA के बराबर है।

अतः सही विकल्प 2 है।

अवधारणा:

आव्यूह A = ǀ A¹²¹ - A¹²⁰ ǀ

A = ǀ A¹²⁰ (A – I) ǀ

अतः A = ǀ A¹²⁰ǀ ǀ A – I ǀ

गणना:

A = 

अब, आव्यूह (A – I) की गणना करके

( A – I ) =

( A – I ) =

अब (A – I) का सारणिक,

ǀ A – I ǀ =

ǀ A – I ǀ = 0              (चूंकि दो पंक्तियों को दोहराया जाता है, इसलिए सारणिक = 0)

इसलिए, |A121 - A120| =  A120|A – I|  = 0

संकल्पना:

एक लांबिक आव्यूह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:

गणना:

दिया गया आव्यूह एक लांबिक आव्यूह है, हम लिख सकते हैं:

चूँकि दो आव्यूह समान हैं, इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होंगे। अवयव A21 की तुलना करने पर:

संप्रत्यय:

एक वर्ग आव्यूह ‘A’ को लांबिक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्त का पालन करता है।

AA^T = A^TA = I

गणना:

दिया गया है:

लांबिक आव्यूह के लिए, MM^T = I

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ (a + b) = 0 [विकल्प 1 सही है]

a² + b² = 1

∴ हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 2 सही नहीं है]

⇒ (a + b)² - 2ab = 1

[∵ (a + b) = 0] [विकल्प 3 सही है]

संबंध का उपयोग करके,

a + b = 0 अर्थात b = -a, हमें प्राप्त होता है

के लिए ,

के लिए ,

इसलिए, M² = I₂ हमेशा सही नहीं है। [विकल्प 4 सही नहीं है]

अवधारणा:

लांबिक आव्यूह के लिए: A × A^T = I ⇒ A^-1 = A^T

गणना:

दिए गए आव्यूह  के लिए

∴ Q × Q^T = 1 ⇒ Q^-1 = Q^T

वैकल्पिक विधि:

व्याख्या:

जैसे कि A लांबिक है, AA^T = I

5 + a² = 9 ⇒ a = ±2

5 + b² = 9 ⇒ b = ±2

8 + c² = 9 ⇒ c = ±1

ab = -4, bc = -2, ac = 2

⇒ a = 2, b = -2, c = 1

चूँकि A लांबिक है, A^-1 = A^T