Limit and Continuity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Limit and Continuity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

x = a पर फलन  f(x) संतत है, यदि  f(x) = f(x) = f(a).

गणना:

दिया है: f(x) = \frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)

f() = m ×  + 1

बाएँ पक्ष की सीमा = 

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

बाएँ पक्ष की सीमा = m ×  + 1

दाएँ पक्ष की सीमा = 

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

दाएँ पक्ष की सीमा = 1 + n

x =  पर फलन के संतत होने के लिए, 

बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = f(π/2)

⇒ m×  + 1 = 1 + n

⇒ n = 

सही उत्तर n = =  है। 

संकल्पना:

यदि कोई फलन किसी बिन्दु a पर सतत है, तो

sin(∞) = a, जहाँ -1≤ a ≤ 1

गणना:

दिया गया है:

f(0) = 1

f(x) = x sin (1/x)

x = 0 पर सांतत्यता की जाँच करने पर

बायाँ पक्ष 

= 0 × sin(∞)

= 0 

दायाँ पक्ष

= f(0) = 1

बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष

अतः, x = 0 पर फलन असंतत है।

अवधारणा:

यदि कोई फलन x = a पर संतत है, तो L.H.L = R.H.L = f(a) 

 x = a  पर f(x) की बाएँ  पक्ष की सीमा (L.H.L)   है 

 x = a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L)   है 

गणना:

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x

तो x > 0 और x

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x

तो x > 0 और x

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

गणना:

= 

= 

माना कि  है। 

यदि x → ∞ है, तो t → 0 है। 

= 

= 8 × 1 

= 8 

धारणा:

• 1 - cos 2θ = 2 sin2 θ

गणना:

=           (1 - cos 2θ = 2 sin² θ)

= 

= 

= 4 × 1 = 4

संकल्पना:

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि  और  

इसलिए,  और 

अतः 

गणना:

हमें  का मान ज्ञात करना है। 

       [रूप ]

यह सीमा  रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से 0 तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

= 

गुणक x, ∞ हो जाता है, जिसपर x, ∞ तक है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= 

= 

गणना:

हमें  का मान ज्ञात करना है। 

       [रूप ]

यह सीमा  रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से ∞ तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

= 

गुणक x², x पर ∞ होते हुए ∞ तक झुकता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= 

= 

संकल्पना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

गणना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

|x| के दो मूल्य हो सकते हैं

|x | = - x जब x है ऋणात्मक हो

|x| = x जब x धनात्मक हो।

=

=

यहाँ,

इसलिए, मौजूद नहीं है ।

संकल्पना:

• माना कि f(x), x = c पर संतत है यदि 

बायां पक्ष = दायां पक्ष = f(c) का मान 

अर्थात्, 

गणना:

            (a ϵ वास्तविक संख्याएँ)

∴ f(x) = f(a), इसलिए सभी स्थान पर संतत है

महत्वपूर्ण सुझाव:

द्विघात और बहुपद फलन उनके डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर संतत है। 

संकल्पना:

परिभाषा:

• यदि  मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ .

सूत्र:

गणना:

चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए,   है।

साथ ही,  है, क्योंकि f(x), x > 0 और x

.

संकल्पना:

• .
• .
• .
• .

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान , , 0⁰, ∞⁰ इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

• अनिश्चित रूप के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
• L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), के बराबर है। 

गणना:

 एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

.

हम जानते हैं कि  है, लेकिन  फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

.

∴ .

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ .

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

चूँकि फलन का समीकरण x 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

⇒ K =