Directional Derivatives MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Directional Derivatives - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

∇Φ = (∂Φ/∂x) î + (∂Φ/∂y) ĵ + (∂Φ/∂z) k̂

∂Φ/∂x = 2xyz + 4z² , ∂Φ/∂y = x²z और ∂Φ/∂z = x²y + 8xz

∇Φ = (2xyz + 4z²) î + (x²z) ĵ + (x²y + 8xz) k̂

∇Φ(1, -2, 1) = [(2(1)(-2)(1) + 4(1)²) ] î +[ (1²)(1)] ĵ + [(1²(-2) + 8(1)(1))] k̂ = ĵ + 6 k̂

2î - ĵ - 2k̂ की दिशा में मात्रक सदिश है:

(2î - ĵ - 2k̂) / |2î - ĵ - 2k̂| = (2î - ĵ - 2k̂) / √(2² + (-1)² + (-2)²) = (2î - ĵ - 2k̂) / 3

दिशात्मक अवकलज = ∇Φ(1, -2, 1) • (2î - ĵ - 2k̂) / 3

= ( ĵ + 6 k̂) • (2î - ĵ - 2k̂) / 3

= [0 + (1)(-1) + (6)(-2)] / 3

= (0 - 1 - 12) / 3

= -13 / 3

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

अवधारणा:

गणना:

चरण 1:  के संकारक की गणना करें,

⇒

⇒

⇒

चरण 2: (1, -2, 1) पर संकारक का मूल्यांकन करें,

⇒ ग्रेडिएंट में x = 1, y = -2, और z = 1 प्रतिस्थापित करें,

⇒

⇒

चरण 3: दिशा सदिश के सामान्यीकरण पर,

⇒ दिया गया दिशा सदिश है,

का परिमाण है:

⇒

इकाई सदिश है,

⇒

चरण 4: दिशात्मक अवकलज की गणना करें,

दिशात्मक अवकलज है। 

⇒

अतः विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा:

u = (a, b) की दिशा के अनुदिश c = (x0, y0) पर दिशात्मक अवकलज Duf =  होता है। 

व्याख्या:

f(x, y) = 0

अतः दिशा u = (a, b) के अनुदिश c = (0, 0) पर दिशात्मक अवकलज

Duf =  =  = 0

अतः विकल्प (3) सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी भी सदिश  के दो भाग होते हैं पहला भाग दिशा है और दूसरा परिमाण है।

किसी नियत सदिश के लिए दिशा और परिमाण दोनों स्थिर रहते हैं।

तथा शून्य सदिश की दिशा स्वैच्छिक होती है। 

गणना:

| p̅ (s)| एक गैर-शून्य स्थिरांक है,

अत: इसकी व्युत्पत्ति शून्य होनी चाहिए।​

, i.e., शून्य सदिश 

इसलिए, इसमें दिशा स्वैच्छिक होनी चाहिए। यानी इसकी दिशा कुछ भी हो सकती है।

संकल्पना: 

दिशात्मक अवकलज = फलन की प्रवणता × इकाई दिशा सदिश 

यदि F = f(x, y, z) तब,

Grad f = 

दिए गए दिशा सदिश के लिए a = 

इकाई दिशा सदिश = 

और 

गणना:

हमें प्राप्त है, f(x, y, z) = x(x2 - y2) - z = x³ - xy² - z

⇒ grad f = 

⇒ grad f = 

⇒ grad f = 

⇒ 

⇒ 

⇒ दिशा सदिश 

⇒ इकाई दिशा सदिश = 

⇒ इकाई दिशा सदिश = 

⇒ दिशात्मक अवकलज = 

⇒ दिशात्मक अवकलज = 

⇒ दिशात्मक अवकलज =  = 

∴ A(1, -1, 0) पर f(x, y, z) = x(x2 - y2) - z का p̅ = (2î - 3ĵ + 6k̂) की दिशा में दिशात्मक अवकलज -8/7 है।

अवधारणा :

माना कि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:

गणना :

माना कि f(r) = 1/r

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:

⇒ f'(r) =

यहाँ,

यहाँ, हमें  की दिशा में f(r) के दिशात्मक अवकलज का पता लगाना होगा

संकल्पना:

प्रवणता:

अदिश फलन ϕ(x, y, z) के लिए प्रवणता परिवर्तन की अधिकतम दर है जो निम्न द्वारा दी गई है-

दिशात्मक अवकलज:

यह एक विशेष दिशा में अदिश बिंदु फलन के परिवर्तन की दर देता है। दिशात्मक अवकलज का अधिकतम परिमाण प्रवणता का परिमाण है।

गणना:

दिया हुआ:

ϕ = 2x2 + 3y2 + 5z2

∇ϕ = 4xî + 6yĵ + 10zk̂

∇ϕ(1, 1, -1) = 4î + 6ŷ - 10k̂

अधिकतम मान निम्न परिमाण द्वारा दिया जाता है,

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी भी सदिश  के दो भाग होते हैं पहला भाग दिशा है और दूसरा परिमाण है।

किसी नियत सदिश के लिए दिशा और परिमाण दोनों स्थिर रहते हैं।

तथा शून्य सदिश की दिशा स्वैच्छिक होती है। 

गणना:

| p̅ (s)| एक गैर-शून्य स्थिरांक है,

अत: इसकी व्युत्पत्ति शून्य होनी चाहिए।​

, i.e., शून्य सदिश 

इसलिए, इसमें दिशा स्वैच्छिक होनी चाहिए। यानी इसकी दिशा कुछ भी हो सकती है।

संकल्पना: 

दिशात्मक अवकलज = फलन की प्रवणता × इकाई दिशा सदिश 

यदि F = f(x, y, z) तब,

Grad f = 

दिए गए दिशा सदिश के लिए a = 

इकाई दिशा सदिश = 

और 

गणना:

हमें प्राप्त है, f(x, y, z) = x(x2 - y2) - z = x³ - xy² - z

⇒ grad f = 

⇒ grad f = 

⇒ grad f = 

⇒ 

⇒ 

⇒ दिशा सदिश 

⇒ इकाई दिशा सदिश = 

⇒ इकाई दिशा सदिश = 

⇒ दिशात्मक अवकलज = 

⇒ दिशात्मक अवकलज = 

⇒ दिशात्मक अवकलज =  = 

∴ A(1, -1, 0) पर f(x, y, z) = x(x2 - y2) - z का p̅ = (2î - 3ĵ + 6k̂) की दिशा में दिशात्मक अवकलज -8/7 है।

संकल्पना:

सदिश  के साथ एक फलन f का दिशात्मक अवकलज निम्न द्वारा दिया गया है:

जहां

grad f या ∇ f को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है,

गणना:

दिया हुआ:

z = y2e2x

(2, -1) पर 

इकाई सदिश 

दिशात्मक अवकलज  _ = 2e4α – 2e4β

दिया है कि दिशात्मक अवकलज शून्य है।

⇒ 2e4α – 2e4β = 0 ⇒ α = β

जैसा कि b एक इकाई सदिश है,

अवधारणा :

माना कि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:

गणना :

माना कि f(r) = 1/r

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:

⇒ f'(r) =

यहाँ,

यहाँ, हमें  की दिशा में f(r) के दिशात्मक अवकलज का पता लगाना होगा

संकल्पना:

प्रवणता:

अदिश फलन ϕ(x, y, z) के लिए प्रवणता परिवर्तन की अधिकतम दर है जो निम्न द्वारा दी गई है-

दिशात्मक अवकलज:

यह एक विशेष दिशा में अदिश बिंदु फलन के परिवर्तन की दर देता है। दिशात्मक अवकलज का अधिकतम परिमाण प्रवणता का परिमाण है।

गणना:

दिया हुआ:

ϕ = 2x2 + 3y2 + 5z2

∇ϕ = 4xî + 6yĵ + 10zk̂

∇ϕ(1, 1, -1) = 4î + 6ŷ - 10k̂

अधिकतम मान निम्न परिमाण द्वारा दिया जाता है,

संकल्पना:

सदिश  के साथ एक फलन f का दिशात्मक अवकलज निम्न द्वारा दिया गया है:

जहाँ 

grad f या ∇ f को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है,

गणना:

दिया हुआ:

f = x² + y

At point (1, 1) पर

संकल्पना:

ढाल:

अदिश फलन ϕ(x, y, z) के लिए प्रवणता परिवर्तन की अधिकतम दर है जो निम्न द्वारा दी गई है-

दिशात्मक अवकलज:

यह एक विशेष दिशा में अदिश बिंदु फलन के परिवर्तन की दर देता है। दिशात्मक अवकलज का अधिकतम परिमाण प्रवणता का परिमाण है।

गणना:

दिया गया:

ϕ = 2xz - y2

∇ϕ = 2z i - 2y j + 2x k

∇ϕ(1, 3, 2) = 4i - 6j + 2k

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी भी सदिश  के दो भाग होते हैं पहला भाग दिशा है और दूसरा परिमाण है।

किसी नियत सदिश के लिए दिशा और परिमाण दोनों स्थिर रहते हैं।

तथा शून्य सदिश की दिशा स्वैच्छिक होती है। 

गणना:

| p̅ (s)| एक गैर-शून्य स्थिरांक है,

अत: इसकी व्युत्पत्ति शून्य होनी चाहिए।​

, i.e., शून्य सदिश 

इसलिए, इसमें दिशा स्वैच्छिक होनी चाहिए। यानी इसकी दिशा कुछ भी हो सकती है।