Directional Derivatives MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Directional Derivatives - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 15, 2025
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की दिशा में 1 / r का दिशात्मक अवकलज क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivatives Question 1 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा :
माना कि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:
गणना :
माना कि f(r) = 1/r
जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:
⇒ f'(r) =
यहाँ,
यहाँ, हमें
बिंदु (1, 1, -1) पर फलन ϕ = 2x2 + 3y2 + 5z2 के दिशात्मक अवकलज का अधिकतम मूल्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivatives Question 2 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
प्रवणता:
अदिश फलन ϕ(x, y, z) के लिए प्रवणता परिवर्तन की अधिकतम दर है जो निम्न द्वारा दी गई है-
दिशात्मक अवकलज:
यह एक विशेष दिशा में अदिश बिंदु फलन के परिवर्तन की दर देता है। दिशात्मक अवकलज का अधिकतम परिमाण प्रवणता का परिमाण है।
गणना:
दिया हुआ:
ϕ = 2x2 + 3y2 + 5z2
∇ϕ = 4xî + 6yĵ + 10zk̂
∇ϕ(1, 1, -1) = 4î + 6ŷ - 10k̂
अधिकतम मान निम्न परिमाण द्वारा दिया जाता है,
यदि |p̅ (s)| एक गैर-शून्य स्थिरांक है, तो
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivatives Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
किसी भी सदिश
किसी नियत सदिश के लिए दिशा और परिमाण दोनों स्थिर रहते हैं।
तथा शून्य सदिश की दिशा स्वैच्छिक होती है।
गणना:
| p̅ (s)| एक गैर-शून्य स्थिरांक है,
अत: इसकी व्युत्पत्ति शून्य होनी चाहिए।
इसलिए, इसमें दिशा स्वैच्छिक होनी चाहिए। यानी इसकी दिशा कुछ भी हो सकती है।
बिन्दु A(1, -1, 0) पर फलन f(x, y, z) = x(x2 - y2) - z का p̅ = (2î - 3ĵ + 6k̂) की दिशा के अनुदिश दिक् अवकलन होगा:
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivatives Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
दिशात्मक अवकलज = फलन की प्रवणता × इकाई दिशा सदिश
यदि F = f(x, y, z) तब,
Grad f =
दिए गए दिशा सदिश के लिए a =
इकाई दिशा सदिश =
और
गणना:
हमें प्राप्त है, f(x, y, z) = x(x2 - y2) - z = x3 - xy2 - z
⇒ grad f =
⇒ grad f =
⇒ grad f =
⇒
⇒
⇒ दिशा सदिश
⇒ इकाई दिशा सदिश =
⇒ इकाई दिशा सदिश =
⇒ दिशात्मक अवकलज =
⇒ दिशात्मक अवकलज =
⇒ दिशात्मक अवकलज =
∴ A(1, -1, 0) पर f(x, y, z) = x(x2 - y2) - z का p̅ = (2î - 3ĵ + 6k̂) की दिशा में दिशात्मक अवकलज -8/7 है।
Directional Derivatives Question 5:
यदि इकाई सदिश
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivatives Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:
सदिश
जहां
grad f या ∇ f को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है,
गणना:
दिया हुआ:
z = y2e2x
(2, -1) पर
इकाई सदिश
दिशात्मक अवकलज
दिया है कि दिशात्मक अवकलज शून्य है।
⇒ 2e4α – 2e4β = 0 ⇒ α = β
जैसा कि b एक इकाई सदिश है,
Directional Derivatives Question 6:
की दिशा में 1 / r का दिशात्मक अवकलज क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivatives Question 6 Detailed Solution
अवधारणा :
माना कि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:
गणना :
माना कि f(r) = 1/r
जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि f(r) एक फलन है तो फलन f(r) के दिशात्मक अवकलज को निम्न द्वारा दिया जाता है:
⇒ f'(r) =
यहाँ,
यहाँ, हमें
Directional Derivatives Question 7:
बिंदु (1, 1, -1) पर फलन ϕ = 2x2 + 3y2 + 5z2 के दिशात्मक अवकलज का अधिकतम मूल्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivatives Question 7 Detailed Solution
संकल्पना:
प्रवणता:
अदिश फलन ϕ(x, y, z) के लिए प्रवणता परिवर्तन की अधिकतम दर है जो निम्न द्वारा दी गई है-
दिशात्मक अवकलज:
यह एक विशेष दिशा में अदिश बिंदु फलन के परिवर्तन की दर देता है। दिशात्मक अवकलज का अधिकतम परिमाण प्रवणता का परिमाण है।
गणना:
दिया हुआ:
ϕ = 2x2 + 3y2 + 5z2
∇ϕ = 4xî + 6yĵ + 10zk̂
∇ϕ(1, 1, -1) = 4î + 6ŷ - 10k̂
अधिकतम मान निम्न परिमाण द्वारा दिया जाता है,
Directional Derivatives Question 8:
यदि (1, 1) पर इकाई सदिश
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Directional Derivatives Question 8 Detailed Solution
संकल्पना:
सदिश
जहाँ
grad f या ∇ f को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है,
गणना:
दिया हुआ:
f = x2 + y
At point (1, 1) पर
Directional Derivatives Question 9:
φ = 2xz - y2 का दिशात्मक अवकलज, बिंदु (1, 3, 2) पर, किस दिशा में अधिकतम हो जाता है?
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Directional Derivatives Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
ढाल:
अदिश फलन ϕ(x, y, z) के लिए प्रवणता परिवर्तन की अधिकतम दर है जो निम्न द्वारा दी गई है-
दिशात्मक अवकलज:
यह एक विशेष दिशा में अदिश बिंदु फलन के परिवर्तन की दर देता है। दिशात्मक अवकलज का अधिकतम परिमाण प्रवणता का परिमाण है।
गणना:
दिया गया:
ϕ = 2xz - y2
∇ϕ = 2z i - 2y j + 2x k
∇ϕ(1, 3, 2) = 4i - 6j + 2k
Directional Derivatives Question 10:
यदि |p̅ (s)| एक गैर-शून्य स्थिरांक है, तो
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Directional Derivatives Question 10 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
किसी भी सदिश
किसी नियत सदिश के लिए दिशा और परिमाण दोनों स्थिर रहते हैं।
तथा शून्य सदिश की दिशा स्वैच्छिक होती है।
गणना:
| p̅ (s)| एक गैर-शून्य स्थिरांक है,
अत: इसकी व्युत्पत्ति शून्य होनी चाहिए।
इसलिए, इसमें दिशा स्वैच्छिक होनी चाहिए। यानी इसकी दिशा कुछ भी हो सकती है।