Differentiability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

हमें समीकरण दिया गया है:

पदों को एक साथ लेने पर:

सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:

पुनः लिखने पर,

मान लीजिए,

और

तब,

(अचर)

अब,

रखने पर:

इसलिए,

अब,

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

x > 0 के लिए:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

x

⇒

⇒

⇒

x = 0 पर सांतत्य:

⇒

⇒

⇒ f(0) = q

⇒ λ = 1 = q

x = 0 पर अवकलनीयता:

⇒  , x > 0 के लिए

⇒ जहाँ x

⇒

⇒

⇒ p = 1

x

⇒ y = e ^x ⇒ x = ln(y) ⇒ g(y) = ln(y)

⇒ g'(y) = 1/y

⇒ g'(1/2) = 2

∴ p = 1, q = 1, 3λ = 3, 2q + p + λ = 4, g'(1/2) = 2

(I) → S, (II) → Q, (III) → P, (IV) → R  

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना:

माना

दिया गया है: 

माना g(x) का x = पर अधिकतम मान है: g'() = 0 ... (i)

g() = और

अब से

;

और g(x) =

(I) तब p बराबर है,

माना ,

जब x = -1, u = -7. जब x = 0, u = 1

∴ p = 7

∴ (I) का मिलान (S) 7 से होता है।

(II) sgn(f(0)) का मान बराबर है:

∴ (II) का मिलान (Q) 1 से होता है।

(III) g(x) अवकलनीय नहीं है। 

x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

∴ g(x) x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

∴ (III) का मिलान (P) 0 से होता है।

(IV) का मान

दिया गया है , इसलिए , d = 8

∴ (IV) का मिलान (R) 8 से होता है।

अतः विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

एक फलन की अवकलनीयता:

हम फलन के आलेख की सहायता से फलन की अवकलनीयता को परिभाषित करेंगे। यदि एक फलन का आलेख प्रत्येक स्थान पर बराबर है, तो फलन को xy - तल में प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय कहा जाता है। 

यदि फलन में वक्र के लिए एक तीक्ष्ण किनारा या ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी (स्पर्श रेखा) है, तो फलन उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है। 

गणना:

फलन f(x) = |x| के आलेख का अवलोकन कीजिए। 

x = 1 पर वक्र बराबर है और इसलिए फलन x = 1 पर अवकलनीय है। 

दूसरे पक्ष पर फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि इसमें x = 0 पर एक किनारा है। 

फलन f(x) = e^x के आलेख का अवलोकन कीजिए। 

x = 0 पर वक्र बराबर है इसलिए यह x = 0 पर अवकलनीय है। 

अतः केवल दूसरा कथन सत्य है। 

अवधारणा:

यदि f(x) एक बिंदु x = a पर अवकलनीय होता है तो f(x) भी x = a पर सतत होता है और उस बिंदु पर बाईं ओर की सीमा, उस बिंदु पर दाईं ओर की सीमा के बराबर होती है। और बाईं ओर की सीमा, दाईं ओर की सीमा के बराबर नहीं होती है, तब फलन असंतत होता है और इसलिए उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं होता है। 

गणना:

चरण 1: x = 0 पर f(x) की सातत्यता

दिया गया फलन है:

यह जाँचने के लिए कि क्या फलन x = 0 पर सतत है, हम पहले x = 0 पर इसका मान जाँचते हैं और फिर सीमा की गणना करते हैं:

f(0) का मूल्यांकन करने पर:

हम फलन में x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं:

f(0) = 0 × (√0 - √(0 + 1)) = 0 × (0 - 1) = 0

इस प्रकार, f(0) = 0

x → 0 पर f(x) की सीमा:

अब, x → 0 के रूप में f(x) की सीमा की गणना करते हैं:

limx → 0 f(x) = limx → 0 x × (√x - √(x + 1)) = 0

चूँकि फलन x = 0 पर सतत है, इसलिए सीमा उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर होती है।

इस प्रकार, f(x) x = 0 पर सतत है।

चरण 2: x = 0 पर f(x) की अवकलनीयता

अब, हम x = 0 पर f(x) की अवकलनीयता की जाँच करते हैं।

हम  का अवकलन करते हैं।

f(x) का व्युत्पन्न:

हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करते हैं:

f'(x) = (√x - √(x + 1)) + x × (1 / (2√x) - 1 / (2√(x + 1)))

f'(0) का मूल्यांकन करते हैं:

व्युत्पन्न में x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं:

f'(0) = (√0 - √(0 + 1)) + 0 × (1 / (2√0) - 1 / (2√(0 + 1)))

f'(0) = (0 - 1) + 0 = -1

अतः फलन f(x) x = 0 पर सतत है तथा x = 0 पर अवकलनीय है।

संकल्पना:

यदि  है, तो f(x), x = a पर निरंतर है। 

यदि LHD = RHD

 है, तो f(x), x = a पर अवकलनीय है। 

f(x) = |x|, यदि x > 0 है, तो f(x) = x है और यदि x

गणना:

LHL = 

RHL = 

f(x = 3) = 0

∴ f(x), x = 3 पर निरंतर है। 

LHD = RHD, इसलिए, f(x), x = 0 पर अवकलनीय है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

गणना:

दिया हुआ:

सभी x ∈ R, x ≠ 0 के लिए f(x3) = x5। तब  का मान

⇒ सभी x ∈ R, x ≠ 0 के लिए f(x3) = x5

x के संबंध में अवकलित करके

⇒ (d/dx) f (x³) = (d/dx) x⁵

अवकलन के गुणनफल नियम का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

⇒ f' (x³) (d/dx) x³ = 5x⁴ 

⇒ f' (x3) 3x2 = 5x4 

⇒ f'(x³) = (5/3) x² 

f' (8) f' (2³) के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात उपरोक्त अभिव्यक्ति में x = 2 रख , हम लिख सकते हैं:

f'(8) =( 5 × (2)²)/3 = 20/3

⇒ 20/3

अवधारणा :

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f(x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x के कम या उसके बराबर अर्थात् [x] ≤ x है। 

 [x] का डोमेन R है और सीमा I है।

नोट:

कोई भी फलन तभी अवकलनीय होता है जब वह सतत हो।

फ्लोर फलन f(x) = ⌊x⌋ किसी भी पूर्णांक n के लिए पूर्णांकों के बीच प्रत्येक खुले अंतराल समाकल (n, n + 1)  में अवकलनीय है।

गणना :

दिया गया है,

y = [x]

कथन:1 इसका अवकलज x = 0.5 पर 0 है

हम जानते हैं कि फ़्लोर फलन पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है ।

अत: y = [x] x = 0.5 पर अवकलनीय है

⇒ y = [0.5] = 0

⇒ dy/dx = 0

कथन:2 यह x = 0 पर सतत है

हम जानते हैं कि y = [x] पूर्णांकों के बीच खुले अंतराल में केवल निरंतर है और सभी पूर्णांक मानों पर असंतत है।

∴ केवल कथन 1 सही है।

गणना:

दिया गया है: f(x) = xⁿ, n ≠ 0.

F’(x) = nx^{n – 1}

f(x) के अवकलनीय होने के लिए, n – 1 ≥ 0

अतः  n ≥ 1.

संकल्पना:

• फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है। 

  इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:.

• मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: .

गणना:

मापांक फलन की परिभाषा का प्रयोग करने पर, दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:  0\\ \ \ \ \ 0,&\rm x=0\\ \rm \frac{x}{1-x}, &\rm x.

चूँकि f(x) के लिए समीकरण x > 0 और x

x > 0 के लिए, .

⇒

⇒ 

⇒ 

⇒ .

उसीप्रकार, x .

⇒ .

चूँकि  है, इसलिए फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय है और f'(0) = 1 है। 

साथ ही, .

∴ फलन (-∞, ∞) में अवकलनीय है, अर्थात् यह प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है। 

अवधारणा:

f(x) को एक बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है यदि f(x) उस बिंदु पर निरंतर है जिसका अर्थ है कि फलन के बिंदु a पर बाएं हाथ की सीमा (L.H.L) और दाहिने हाथ की सीमा (R.H.L) बराबर हैं।

और यदि f(x) बिंदु a पर अवकलनीय है तो बिंदु a पर बाएं हाथ का अवकलज (L.H.D) उस बिंदु पर दाहिने हाथ (R.H.D) के अवकलज के बराबर है।

गणना:

चूँकि फलन f(x) x = 1 पर अवकलनीय है, इसलिए f(x) भी x = 1 पर निरंतर है।

तो, (x = 1 पर L.H.L)=

L.H.L = a - b

तो, (x = 1 पर R.H.L)=

R.H.L = -1

चूंकि फलन निरंतर है। तो, L.H.L = R.H.L

हमारे पास है, a - b = -1      ....... (i)

अब, अवकलज

(x = 1 पर L.H.D)

= 2a

(x = 1 पर R.H.D)

= 1

अब, f(x) x = 1 पर अवकलनीय है। अतः, L.H.D = R.H.D

2a = 1

a = 0.5

समीकरण (i) में a का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

b = 1.5

अत: a और b के मान जिसके लिए फलन अवकलनीय है, क्रमशः 0.5 और 1.5 हैं।

संकल्पना:

• एक फलन को उस बिंदु पर तब अवकलनीय कहा जाता है जब वहां उस बिंदु पर एक परिभाषित अवकलज होता है। 
• हर शून्य नहीं होना चाहिए। 

• श्रृंखला नियम:

गणना:

दिया गया है:

अब, x = 0 पर, f’(x) = 0/0

इसलिए, x = 0 पर छोड़कर f’(x), x के सभी मानों के लिए परिभाषित है। 

⇒ f(x), (-∞, 0) ∪ (0, ∞) पर अवकलनीय है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

Δ अग्रांतक संकारक कहा जाता है।

हम जानते हैं , Δf(x) = f(x + h) – f(x)

जहाँ, h =अंतरण का अंतराल = 1 (दिया गया है)

∴ Δsin (4x) = sin (4 (x + 1)) – sin 4x

∵ 

= 

= 2 cos (2 (2x + 1)) . sin 2