Continuous Distributions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuous Distributions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

मानक सामान्य वितरण में, 𝑧 = 1 के लिए, संभावना 0.8413 है। इसलिए, 0 ≤ z² ≤ 1 के लिए, संभावना 2 * (0.8413 - 0.5) = 0.6826 है। इसलिए, 0 ≤ z² ≤ 1 की प्रतिशत संभावना 68% है।

सही उत्तर विकल्प 2, 3 और 4 हैं।

हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।

सही उत्तर विकल्प 2 और 4 है। 

हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।

व्याख्या -

प्रसामान्य वितरण के मामले में, μ (वितरण का माध्य) के लिए एक पर्याप्त सांख्यिकी प्रतिदर्श अवलोकनों का योग है (∑X_i i = 1 से n तक), क्योंकि माध्य मान सीधे सभी अवलोकनों के योग पर निर्भर करता है।

दूसरी ओर, प्रतिदर्श का न्यूनतम मान, i = 1 से n तक min(X_i), और प्रतिदर्श का अधिकतम मान, i = 1 से n तक max(X_i), μ की गणना करने के लिए सभी आवश्यक जानकारी नहीं रखते हैं, और इस प्रकार वे पर्याप्त सांख्यिकी नहीं हैं।

इस प्रश्न में, न्यूनतम मान (min(X_i)) को सांख्यिकी के रूप में सूचीबद्ध किया गया है जो μ की गणना के लिए पर्याप्त नहीं है।

इसलिए विकल्प (iii) सही है।

संकल्पना:

एक सतत यादृच्छिक चर का माध्य या प्रत्याशा को निम्न द्वारा दिया जाता है

जहाँ f(x) प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) है।

अनुप्रयोग:

X का प्रायिकता घनत्व फलन दिया गया है

0 ≤ X ≤ 100 के लिए f(x) = 0.01

एक सतत यादृच्छिक चर का माध्य या प्रत्याशा को निम्न द्वारा दिया जाता है

Additional Information

एक वैध प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) के गुण:

1)

∴ PDF को 0 और 1 के बीच में बांधा जाएगा।

2)

3)

∴ PDF हमेशा एकदिष्ट वर्धमान फलन होगा क्योंकि प्रायिकता हमेशा 0 से अधिक या उसके बराबर होती है।

संकल्पना:

सामान्य / गॉसियन / बेल वितरण:

सामान्य वितरण के लिए प्रायिकता वितरण फलन (PDF) है:

जहाँ

x = सामान्य यादृच्छिक चर

μ = माध्य = बहुलक = माध्यिका

σ = मानक विचलन और = σ² = प्रसरण।

ध्यान दें:

1) सामान्य वितरण अपने माध्य के ओर सममित होता है।

गणना:

दिया हुआ:

मानक सामान्य वितरण के साथ इसकी तुलना करना

μ = माध्य = 1 और σ² = प्रसरण = 4

वितरण फलन को दो समान भागों में विभाजित किया जाता है जो कि समप्रायिक हैं।

∵ एक सामान्य वितरण माध्य के ओर सममित होता है अर्थात

संकल्पना:

प्रायिकता घनत्व फलन हमेशा धनात्मक f(x) ≥ 0 है और यह नीचे की स्थिति का अनुसरण करता है।

गणना:

दिया हुआ:

एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व फलन है,

सही उत्तर (विकल्प 2) माध्य है ।

व्याख्या:

प्रसामान्य बंटन:

• प्रसामान्य बंटन को गाऊसी बंटन के रूप में भी जाना जाता है।
• यह एक प्रायिकता बंटन है जो माध्य के बारे में सममित है,
  यह दर्शाता है कि माध्य के निकट आंकड़ों की आवृत्ति माध्य से दूर आंकड़ों की तुलना में अधिक होती है।
• ग्राफिय रूप में, प्रसामान्य बंटन "घंटी वक्र" के रूप में प्रकट होता है।

संकल्पना:

|X| ≤ a के लिए

-a ≤ X ≤ a

सभी घटना की प्रायिकता का योग = 1

साथ ही, सामान्य वितरण के लिए

Z-मान (Z) =

गणना:

दिया गया:

μ = 0; भिन्नता (v) = 9; P(X ≥ 3) = a;

σ = √v = √9

σ= 3 

Z = =

Z = 1

इसलिए, Z = 1 के साथ एक सामान्य वितरण

⇒ P(X ≥ 3) = P(X ≤ 3) = a

किसी घटना की अधिकतम प्रायिकता = 1

P(-∞ ≤ X ≤ ∞) = 1

P(-∞ ≤ X ≤ ∞) = P(X ≤ 3) + P(-3 ≤ X ≤ 3) + P(X ≥ 3) 

1 = P(X ≤ 3) + P(|X| ≤ 3) + P(X ≥ 3) 

1 = a + P(|X| ≤ 3) + a

P(|X| ≤ 3) = 1 - 2a

व्याख्या:

यादृच्छिक चर 'x' का विश्लेषण करने के लिए दो फलनों का उपयोग किया जाता है।

1. प्रायिकता वितरण फलन [F(x)]

2. प्रायिकता घनत्व फलन [f(x)]

प्रायिकता वितरण फलन / CDF

गणितीय रूप से इसे FX[xi] = P[X ≤ xi] के रूप में परिभाषित किया गया है।

पासे के उदाहरण पर विचार करें।

वितरण फलन नीचे दिखाया गया है

संचयी वितरण फलन

यदि f(x) प्रायिकता घनत्व फलन है और F(X) संचयी वितरण फलन है तो दोनों के बीच संबंध है:

F(X) = P[X ≤ x] = = x से कम या उसके बराबर सभी मानों का योग

प्रायिकता घनत्व फलन

यह विभिन्न यादृच्छिक चरों की कुल प्रायिकता के वितरण को इंगित करता है।

उसी उदाहरण के लिए pdf नीचे दिखाया गया है

CDF में सिग्नल स्टेप की तरह है और pdf में यह आवेग की तरह है। तो इनसे भी हम तुलना कर सकते हैं।

CDF की परिभाषा से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि X की प्रायिकता x से कम या उसके बराबर है

सही विकल्प 1 है।

संकल्पना:

प्रसामान्य वक्र:

प्रसामान्य बंटन को प्रणाली में संतत यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा परिभाषित किया गया है। मान लीजिए, f(x) प्रायिकता घनत्व फलन है और X यादृच्छिक चर है। इसलिए, यह x और x+dx के बीच मानों पर विचार करके, यादृच्छिक चर X की प्रायिकता देते हुए, परास या अंतराल (x से x + dx) के बीच समाकलित एक फलन को परिभाषित करता है।

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞)

और -∞∫+∞ f(x) = 1

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, प्रसामान्य  बंटन, जिसे गॉसियन बंटन भी कहा जाता है, सबसे महत्वपूर्ण संतत प्रायिकता बंटन है। कभी-कभी इसे बेल (घंटी) वक्र भी कहा जाता है। बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर प्रसामान्य बंटन द्वारा लगभग या पूरी तरह से प्रदर्शित करते हैं।

प्रसामान्य बंटन वक्र या बेल (घंटी) वक्र का आकार

प्रसामान्य बंटन की निम्नलिखित विशेषताएँ होती हैं

• सममित बेल (घंटी) का आकार
• माध्य और माध्यिका बराबर हैं; दोनों बंटन के केंद्र में स्थित हैं
• ≈ 68 % ≈68% लगभग 68 प्रतिशत डेटा के बराबर होता है, जो 1 11 के मानक विचलन के भीतर होता है।
• ≈ 95 % ≈95% लगभग 95 प्रतिशत डेटा के बराबर होता है, जो 2 22 के मानक विचलन के भीतर होता है।
• ≈ 99.7 % ≈99.7% लगभग 99 प्रतिशत डेटा के बराबर होता है, जो 333 के मानक विचलन के भीतर होता है।

अतिरिक्त बिंदु

• बंटन का आकार औसत, μ (या X), और मानक विचलन, σ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
• वक्र पर उच्चतम बिंदु औसत है।
• बंटन औसत के बारे में सममित है।
• जैसे ही आप औसत से दूर जाते हैं, तो अंक कम आवृत्ति के अंतर्गत होते हैं।
• वक्र के अंतर्गत अधिकांश क्षेत्र (99.7%) औसत के -3σ और +3σ के बीच स्थित होता है।

संकल्पना:

प्रायिकता घनत्व फलन एक ऐसा फलन है जो संभावना प्रदान करता है कि एक यादृच्छिक चर का मान मानों की एक निश्चित श्रेणी के बीच में  जाएगा। हम निरंतर यादृच्छिक चर की स्थिति में प्रायिकता घनत्व फलन का उपयोग करते हैं।

यदि हम प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं कि X निचली सीमा 'a' और ऊपरी सीमा 'b' के बीच है तो प्रायिकता घनत्व फलन का उपयोग करके इसे इस प्रकार दिया जा सकता है:

यहां, 

f(x) प्रायिकता घनत्व फलन है।

F(b) और F(a) क्रमशः b और a पर संचयी बंटन फलन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ध्यान दें:

कुल प्रायिकता: 

गणना:

k की गणना:

  का मान है:

संकल्पना:

दिया गया है, P(X ≤ 4) = , वितरण की समरूपता से, P(X ≥ 7) =  

हम जानते हैं कि कुल प्रायिकता एक के बराबर है इसलिए