वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Circles, Chords and Tangents - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 21, 2025
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वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा Question 1:
एक वृत्त जिसका केंद्र O और त्रिज्या 6 सेमी है, में एक जीवा AB खींची गई है। यदि केंद्र और जीवा के बीच की न्यूनतम दूरी 4.5 सेमी है, तो जीवा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 1 Detailed Solution
दिया गया है:
वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 सेमी
केंद्र से जीवा की न्यूनतम दूरी (d) = 4.5 सेमी
गणना:
मान लीजिए कि जीवा AB की लंबाई 2x है। केंद्र O से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए जीवा का प्रत्येक आधा भाग x लंबाई का है।
अब, समकोण त्रिभुज OMA (जहाँ M जीवा का मध्यबिंदु है) में,
OM = 4.5 सेमी (केंद्र से जीवा की दूरी),
OA = 6 सेमी (वृत्त की त्रिज्या),
AM = x (जीवा की लंबाई का आधा).
त्रिभुज OMA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
इसलिए, जीवा AB की लंबाई
∴ जीवा AB की लंबाई 3√7 सेमी है।
वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा Question 2:
बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, और बिंदु P से केंद्र O की दूरी 25 सेमी है। बिंदु P से स्पर्श बिंदु तक स्पर्श रेखा की लंबाई कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
त्रिज्या (r) = 7 सेमी
बिंदु P से केंद्र O की दूरी (OP) = 25 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
एक समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय:
(कर्ण)2 = (आधार)2 + (लंब)2
यहाँ, कर्ण = OP, आधार = स्पर्श रेखा की लंबाई, लंब = त्रिज्या
गणना:
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:
OP2 = स्पर्श रेखा2 + त्रिज्या2
⇒ 252 = स्पर्श रेखा2 + 72
⇒ 625 = स्पर्श रेखा2 + 49
⇒ स्पर्श रेखा2 = 625 - 49
⇒ स्पर्श रेखा2 = 576
⇒ स्पर्श रेखा = √576
⇒ स्पर्श रेखा = 24 सेमी
∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।
वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा Question 3:
किसी वृत्त के केंद्र पर एक जीवा द्वारा बनाए गए कोणों का वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण से अनुपात क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
एक जीवा वृत्त के केंद्र पर तथा परिधि पर किसी भी बिंदु पर कोण बनाती है।
प्रयुक्त सूत्र:
केंद्र पर अन्तः कोण = परिधि पर अन्तः कोण का 2 गुना
गणना:
मान लीजिए कि परिधि पर अन्तः कोण x है।
⇒ केंद्र पर अन्तः कोण = 2x
⇒ अनुपात = केंद्र पर अन्तः कोण : परिधि पर अन्तः कोण
⇒ अनुपात = 2x : x
⇒ अनुपात = 2 : 1
∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।
वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा Question 4:
एक वृत्त की त्रिज्या 13 से० मी० है और इसकी एक जीवा की लम्बाई 24 से० मी० है, तो केन्द्र से जीवा की दूरी है
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
त्रिज्या (r) = 13 सेमी
जीवा की लंबाई = 24 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
r2 = (जीवा का आधा)2 + दूरी2
जहाँ दूरी केंद्र से जीवा तक की लंबवत दूरी है।
गणना:
r = 13 सेमी, जीवा का आधा = 24 ÷ 2 = 12 सेमी
⇒ 132 = 122 + दूरी2
⇒ 169 = 144 + दूरी2
⇒ दूरी2 = 169 - 144
⇒ दूरी2 = 25
⇒ दूरी = √25
⇒ दूरी = 5 सेमी
∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।
वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा Question 5:
दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं; उनके केंद्रों के बीच की दूरी 12 सेमी है और उनके क्षेत्रफलों का योगफल (सेमी2 में) 74π है। तब छोटे वृत्त की त्रिज्या कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
उनके क्षेत्रफलों का योगफल = 74 π वर्ग सेमी
उनके केंद्रों के बीच की दूरी = 12 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
वृत्त का क्षेत्रफल = πr2
गणना:
माना कि वृत्त 1 की त्रिज्या = x
इसलिए, वृत्त 2 की त्रिज्या = 12 - x
वृत्त 1 का क्षेत्रफल = π(x)2
वृत्त 2 का क्षेत्रफल = π(12 - x)2
प्रश्नानुसार ⇒ π(x)2 + π(12 - x)2 = 74π
⇒ x2 + 144 - 24x + x2 = 74
⇒ 2x2 - 24x + 70 = 0
⇒ x2 - 12x + 35 = 0
⇒ (x - 7)(x - 5) = 0
⇒ x = 7 ⇒ x = 5
∴ छोटे वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है।
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AB और CD, 13 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की दो समांतर जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 10 सेमी और CD = 24 सेमी है। उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।(दोनों जीवा एक ही तरफ हैं)
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है∶
AB ∥ CD, और
AB = 10 सेमी, CD = 24 सेमी
त्रिज्याएँ OA और OC = 13 सेमी
प्रयुक्त सूत्र∶
केंद्र से जीवा पर लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
पाइथागोरस प्रमेय
गणना∶
AB और CD पर लंबवत OP खींचिए, तथा
AB ∥ CD, इसलिए, बिंदु O, Q, P संरेख हैं।
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
AP = 1/2 AB = 1/2 × 10 = 5 सेमी
CQ = 1/2 CD = 1/2 × 24 = 12 सेमी
OA और OC को मिलाइए
तब, OA = OC = 13 सेमी
समकोण ΔOPA से, हमें प्राप्त है
OP2 = OA2 - AP2 [पाइथागोरस प्रमेय]
⇒ OP2 = 132- 52
⇒ OP2 = 169 - 25 = 144
⇒ OP = 12 सेमी
समकोण ΔOQC से, हमें प्राप्त है
OQ2 = OC2- CQ2 [पाइथागोरस प्रमेय]
⇒ OQ2 = 132 - 122
⇒ OQ2 = 169 - 144 = 25
⇒ OQ = 5
इसलिए, PQ = OP - OQ = 12 -5 = 7 सेमी
∴ जीवाओं के बीच की दूरी 7 सेमी है।
किसी वृत्त पर स्पर्शरेखाओं का एक युग्म खींचने के लिए, जो एक दूसरे से 75° के कोण पर झुकी हों, वृत्त की उन दो त्रिज्याओं के अंतिम बिंदुओं पर स्पर्शरेखाएँ खींचना आवश्यक है, जिनके बीच का कोण है-
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
त्रिज्या संपर्क बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग = 360°
गणना:
PA और PB बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।
∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या संपर्क के बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है)
अब, चतुर्भुज OAPB में,
∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°
75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°
∠AOB = 105°
इस प्रकार, दो त्रिज्याओं, OA और OB के बीच का कोण 105° है।
दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं AC और BD, 7 सेमी त्रिज्या वाले दो बराबर वृत्तों को क्रमशः बिन्दुओं A, C, B और D पर स्पर्श करती हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि BD की लंबाई 48 सेमी है, तो AC की लंबाई कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = 7 सेमी
BD = दो वृत्तों के बीच अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = 48 सेमी
प्रयुक्त अवधारणा:
सीधी अनुप्रस्थ स्पर्शरेखाओं की लंबाई = √(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के योग का वर्ग)
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई =√(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के बीच के अंतर का वर्ग)
गणना:
AC = सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई
BD = सीधी अनुप्रस्थ स्पर्श रेखाओं की लंबाई
माना, दो वृत्तों के बीच की दूरी = x सेमी है,
इसलिए, BD = √[x2 - (7 + 7)2]
⇒ 48 = √(x2 - 142)
⇒ 482 = x2 - 196 [दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं]
⇒ 2304 = x2 - 196
⇒ x2 = 2304 + 196 = 2500
⇒ x = √2500 = 50 सेमी
साथ ही, AC = √[502 - (7 - 7)2]
⇒ AC = √(2500 - 0) = √2500 = 50 सेमी
∴ BD की लंबाई 48 सेमी है, AC की लंबाई 50 सेमी है।
दो वृत्त बाह्यतः एक दूसरे को बिंदु X पर स्पर्श करते हैं। PQ दोनों वृत्तों के लिए सामान्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है जो वृत्तों को बिंदु P और बिंदु Q पर स्पर्श करती है। यदि वृत्तों की त्रिज्या R और r हैं, तब PQ2 ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 9 Detailed Solution
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हम जानते हैं,
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लम्बाई = √[d2 - (R - r)2]
जहाँ d वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी तथा R और r वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं
PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]
⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]
⇒ PQ = √4Rr
⇒ PQ2 = 4Rr
एक वृत्त की जीवा AB और व्यास CD, वृत्त के बाहर, बिंदु P पर मिलते हैं जब वृत्त का निर्माण होता है, यदि PB = 8 सेमी, AB = 12 सेमी और वृत्त के केंद्र से P की दूरी 18 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या (सेमी में) किसके निकटतम है? [√41 = 6.4]
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 10 Detailed Solution
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तिर्यक प्रमेय
यदि एक वृत्त की जीवा AB और जीवा CD एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो
PA × PB = PC × PD
गणना:
माना वृत्त की त्रिज्या = r
⇒ 8 × 20 = (18 - r) × (18 + r)
⇒ 160 = 324 - r2
⇒ r2 = 164
⇒ r = 12.8062
∴ वृत्त की त्रिज्या 12.8 सेमी के निकटतम है।
दी गई आकृति में, जीवा AB और CD बिंदु L पर एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 11 Detailed Solution
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LC = 6, CD = 11, LB = 4 और AB = x
प्रयुक्त सूत्र:
LC × LD = LB × AL
गणना:
प्रश्न के अनुसार
LC × LD = LB × AL
6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x)
⇒ 4 + x = 51/2
⇒ 4 + x = 25.5
⇒ x = AB = 21.5
∴ AB की लंबाई 21.5 सेमी है।
आकृति में, O वृत्त का केंद्र है। यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
अवधारणा:
अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
एक वृत्त के एक ही खण्ड में बनने वाले कोणों की माप बराबर होगी।
गणना:
B और R को मिलाने पर BR बनती है।
∠ARS + ∠ARP = 180° [रेखीय युग्म]
⇒ ∠ARP = 180° - 125° = 55°
∠ARB = 90° [अर्धवृत्त में बना कोण]
⇒ ∠ARP + ∠BRP = 90°
⇒ ∠BRP = 90° - 55° = 35°
∠BRP = ∠PAB = 35° [एक ही खंड में बने कोण]
∴ ∠PAB = 35°
दी गई आकृति में, जीवाएं AB और CD एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिछेदित करतीं हैं। तो, k का मान है-
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
AX = 24
XB = k
CX = (k + 2)
XD = 16
प्रयुक्त सूत्र:
यदि दो जीवाएं AB और CD एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिछेदित करतीं हैं।
तो, AX × XB = CX × XD
गणना:
AX × XB = CX × XD
⇒ 24 × k = (k + 2) × 16
⇒ 3k = 2(k + 2)
⇒ 3k - 2k = 4
⇒ k = 4
अतः, k का मान 4 हैI
आरेख में, AD वृत्त की स्पर्श रेखा है और ABC छेदक रेखा है। यदि AB = 4 सेमी और BC = 5 सेमी है, तो AD की लंबाई_______है
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
AB = 4 सेमी और BC = 5 सेमी
अवधारणा:
स्पर्शरेखा छेदक खंड प्रमेय: यदि एक स्पर्शरेखा और छेदक एक वृत्त के बाहर एक सामान्य बिंदु पर मिलते हैं, तो बनाए गए खंडों का संबंध दो छेदक किरणों के समान होता है।
⇒ AD2 = AB (AB + BC)
गणना:
स्पर्श रेखा छेदक प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है,
AD2 = AB (AB + BC)
⇒ AD2 = 4 (4 + 5)
⇒ AD2 = 36
⇒ AD = 6 सेमी
ΔABC के परिकेन्द्र I से BC पर लंब ID खींचा जाता है। यदि ∠BAC = 60°, तो ∠BID का मान है
Answer (Detailed Solution Below)
Circles, Chords and Tangents Question 15 Detailed Solution
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∠BAC = 60°
प्रयुक्त अवधारणा:
एक वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर उसके द्वारा बनाए गए किसी भी बिंदु पर कोण का दोगुना होता है।
गणना:
∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120°