Center of Mass and Linear Momentum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Center of Mass and Linear Momentum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार, Fबाह्य  = dp/dt, बाह्य बलों की अनुपस्थिति में (Fबाह्य = 0), समीकरण dp/dt = 0 तक सरल हो जाता है। इसका अर्थ है कि जब सभी बाह्य बलों का परिणामी शून्य होता है, तो निकाय का रेखीय संवेग p नियत होता है।

अप्रत्यास्थ संघट्टों में देखे गए अनुसार, निकाय की गतिज ऊर्जा अभी भी परिवर्तित हो सकती है। इसी प्रकार, यदि कोई बाह्य बल आघूर्ण लगाया जाता है, जैसे कि किसी छड़ पर कार्य करने वाला युग्म, तो कोणीय संवेग परिवर्तित हो सकता है। केवल तभी कोणीय संवेग संरक्षित होता है जब कोई बाह्य बल आघूर्ण न हो।

इस प्रकार, सही उत्तर (A) है: निकाय का रेखीय संवेग समय के साथ परिवर्तित नहीं होता है।

अवधारणा:

एक पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट में संघट्ट के बाद की सापेक्ष चाल संघट्ट से पहले की सापेक्ष चाल के बराबर होती है क्योंकि प्रतिस्थापन गुणांक e = 1 होता है।

यह संबंध प्रत्यास्थता की परिभाषा से आता है, संवेग संरक्षण से सीधे नहीं।

सभी प्रकार के संघट्टों (प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ) में रेखीय संवेग भी संरक्षित रहता है, बशर्ते कोई बाह्य बल कार्यरत न हो।

इसलिए, दोनों कथन सत्य हैं लेकिन दूसरा पहले का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

परिणाम:

जैसे ही गेंद गिरती है, इसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा घटती है और गतिज ऊर्जा बढ़ती है। जब यह सतह से संपर्क करती है, तो गतिज ऊर्जा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (स्प्रिंग की तरह) के रूप में संग्रहीत होती है, जिससे एक शिखर बनता है। उछलने के बाद, चक्र दोहराता है। इसलिए समय के साथ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन चिकना और आवधिक होता है, जिसमें टकराव बिंदुओं पर परवलयिक शिखर होते हैं।

सही विकल्प: (B)

गणना:

1 × u₁ = -2 + 3v ⟶ u₁ = -2 + 3v ...... (1)

1 = (v + 2) / u₁ ⟶ v + 2 = u₁ ...... (2)

समीकरण (1) और (2) से:

⇒ u₁ = -2 + 3(v + 2)

⇒ u₁ = 3v + 4

अब, v के लिए हल करने पर:

⇒ v + 2 = 3v + 4

⇒ -2 = 2v ⟶ v = -1

समीकरण u₁ = -2 + 3v में v = -1 प्रतिस्थापित करने पर:

u1 = -2 + 3(-1) = -2 - 3 = -4 m/s

अंतिम उत्तर: u₁ = 4 m/s 

अवधारणा:

संवेग:

संवेग किसी निकाय के द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है। यह एक सदिश राशि है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है।

• संवेग की इकाई kg m/s है।
• आयाम:[MLT^-1]

संवेग संरक्षण का नियम:

इस संरक्षण के नियम के अनुसार एक संवृत प्रणाली का कुल रैखिक संवेग समय के माध्यम से स्थिर रहता है, प्रणाली के भीतर अन्य संभावित परिवर्तन की परवाह किए बिना ।

P₁ = P₂

m₁ v₁ = m₂ v₂

जहाँ, P₁ =प्रणाली का प्रारंभिक संवेग, P₂ = प्रणाली का अंतिम संवेग, m₁ = पहले निकाय का द्रव्यमान, v₁ =पहले निकाय का वेग, m₂ =दूसरे निकाय का द्रव्यमान और v₂ = दूसरे निकाय का वेग।

गणना:

दिया गया है:  m₁ = 2 kg    m₂ = 3 kg     u₁ = 5 m/s        u₂ ​=  0 m/s

मान लीजिये संयुक्त निकाय का उभयनिष्ठ वेग V m/s है

संयुक्त निकाय का वेग      M = 2 + 3 = 5 kg

संवेग के संरक्षण के अनुसार

m₁ v₁ + m₂ v₂ = M V

⇒ (2 × 5) + (3 × 0) = 5 V

⇒ 10 + 0 = 5 V

⇒ V = 2 m/s

इसलिए दोनों गोलों का संयुक्त वेग 2 m/s है ।

अवधारणा:

गति का दूसरा नियम:

• संवेग परिवर्तन की दर लागू किये गये बल के समानुपाती होती है।

F × t = Δ p

F बल है, t समय है, Δ p संवेग में परिवर्तन

गणना:

दिया गया है: प्रारंभिक संवेग p_i = 10 kg m s-1, बल (F) = 30 N, और समय (t) = 3 सेकंड

मान लीजिये अंतिम संवेग p_f है

• संवेग में परिवर्तन

⇒ Δ p = F × t

⇒ Δ p = 30 N × 3 s = 90 N s = 90 kg m s-1

• जैसा कि हम जानते हैं कि संवेग में परिवर्तन अंतिम संवेग और प्रारंभिक संवेग के बीच के अंतर के बराबर होता है, अर्थात,

⇒ Δ p = pf - pi 

⇒ pf = Δ p + pi

⇒ pf = 90 kg m s-1 + 10 kg m s-1 = 100 kg m s-1

• अत: सही विकल्प 100 kg m s-1 है

अवधारणा:

• संवेग (P) : द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहते हैं।
• संवेग का SI मात्रक kg m/s है।
• संवेग (P) = द्रव्यमान (m) × वेग (v)

व्याख्या :

P = m v

माना पिंड का प्रारंभिक वेग v

चूँकि पिंड का द्रव्यमान स्थिर है

तो, P1 = m v      ----(i)

प्रश्न के अनुसार

पिंड का नया वेग = 2v

नया संवेग (P2) = m × 2v

⇒ P2 = 2mv        ----(ii)

(ii) को (i) से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ P2 = 2 P1

∴ गति दोगुनी हो जाएगी।

Key Points 

• यदि किसी पिंड का वेग दोगुना कर दिया जाए तो उसका संवेग दुगना हो जाता है क्योंकि वेग उसके संवेग के समानुपाती होता है। अतः विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• संघट्टन का प्रकार जिसमें गतिज ऊर्जा का नुकसान होता है और संघट्टन के बाद दोनों टकराने वाले कण एक साथ चलते हैं, उसे पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट कहा जाता है।
• इस प्रकार के संघट्ट में प्रत्यानयन का गुणांक 0 के बराबर होता है।
• इस संघट्ट में प्रणाली का संवेग स्थिर रहता है।

• संघट्ट से पूर्व संवेग(P1) = संघट्ट के बाद संवेग (P2)

P1 = m1u1 + m2u2

P2 = m1v1 + m2v2

गणना:

यहाँ, कार की गति 0 m/s है।

⇒ संघट्ट के बाद गति 8 m/s है।

"संवेग के संरक्षण का सिद्धांत" के अनुसार

⇒ इसलिए, 8 = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) जहाँ m1 ट्रक का द्रव्यमान है, v1 ट्रक का वेग है, v2 कार का वेग है और m2 कार का द्रव्यमान है।

⇒ 8 = (2000 × 10 + m₂ × 0)/(2000 + m₂)

⇒ 16000 + 8 m₂ = 20000

इसलिए कार का द्रव्यमान 500 kg है।

अवधारणा :

• संवेग: गति में निकाय का एक गुण जो निकाय के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के बराबर होता है, संवेग कहलाता है।

P = mv

जहाँ P निकाय का संवेग है, m निकाय का द्रव्यमान है, और v निकाय का वेग है।

• संवेग संरक्षण: जब किसी प्रणाली में कोई बाहरी बल नहीं होता है तो प्रणाली का कुल संवेग (P) को संरक्षित किया जाएगा।
• गतिज ऊर्जा: किसी निकाय में उसकी गति के कारण होने वाली ऊर्जा को गतिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है।

संवेग के संदर्भ में गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

जहाँ K निकाय की गतिज ऊर्जा है, P निकाय का संवेग है और m निकाय का द्रव्यमान है।

गणना :

माना कि P का प्रारंभिक मान = 100, m = 100

30% की वृद्धि के बाद P = 130

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा

अंतिम गतिज ऊर्जा

गतिज ऊर्जा में % वृद्धि = %

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

• चिरसम्मत यांत्रिकी में जब एक वस्तु को कुछ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है और जैसे-जैसे यह ऊपर जाता है वैसे इसका प्रारंभिक वेग गुरुत्वाकर्षण त्वरण के कारण कम होते रहता है, चूँकि यह नीचे की ओर क्रिया करता है।
• उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग शून्य हो जायेगा और उस स्थान तक पहुंचने के लिए लिए गए समय की गणना शुद्धगतिक समीकरण का प्रयोग करके की जा सकती है, जिसे निम्न रूप में व्यक्त किया गया है

v = u + gt

जहाँ अंतिम वेग = v, u = प्रारंभिक वेग, g= गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और t = समय

व्याख्या:

दिया गया है:

तय की गई दुरी, s = 10 m

अंतिम वेग, v = 0 m/s

गुरुत्वीय त्वरण, g = 9.8 m/s²

वस्तु का त्वरण, a = –9.8 m/s² (उपर की ओर गति)

• वह वेग ज्ञात कीजिये जिसके साथ वस्तु को ऊपर की तरफ फेंका गया था

⇒ v2 = u2 + 2as

⇒ 0 = u2 + 2 × (–9.8 m/s2) × 10 m

⇒ –u2 = –2 × 9.8 × 10 m2/s2

⇒ u = 196 m2/s2

⇒ u = 14 m/s

अवधारणा:

• प्रक्षेप्य गति: प्रक्षेप्य गति, गुरुत्वीय त्वरण के अंतर्गत वायु में प्रक्षेपित किसी वस्तु की गति है।
• वस्तु को प्रक्षेप्य कहा जाता है, और इसके पथ को इसका प्रक्षेप पथ कहा जाता है।
  • प्रारंभिक वेग: प्रारंभिक वेग को x घटकों और y घटकों के रूप में दिया जा सकता है।

ux = u cosθ

uy = u sinθ

जहाँ, u का अर्थ प्रारंभिक वेग का परिमाण और θ का अर्थ प्रक्षेप कोण होता है।

• अधिकतम ऊँचाई: अधिकतम ऊँचाई तब होती है, जब vy = 0 होता है।

जहाँ, h अधिकतम ऊँचाई होती है।

• परास: गति की परास प्रतिबंध y = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है।

जहाँ, R प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई कुल दूरी होती है।

गतिज ऊर्जा (KE) = (1/2)m V2

गणना:

दिया गया है:

(ऊर्ध्वाधर के साथ कोण = 30°)

θ = 60° (क्षैतिज के साथ कोण 90o - 30o = 60o )

ux = u cosθ = u cos 60° = (1/2) u

uy = u sinθ = u sin 60° =√3/2 / 2

जमीन पर गतिज ऊर्जा, (KE) = (1/2)m u2 = K

शीर्ष पर, वेग = V = u / 2

शीर्ष पर गतिज ऊर्जा, (KE') = (1/2)m (u/2)2 = mu2/8 = K/4

इसलिए विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

• संवेग: संवेग किसी निकाय या कण के द्रव्यमान एवं वेग का गुणनफल है। यह एक सदिश राशि है।
  • संवेग परिमाण की मानक इकाई किलोग्राम-मीटर प्रति सेकंड (kg·m/s) है।

P = m v

जहाँ P = संवेग, m = निकाय का द्रव्यमान, v = निकाय का वेग

• रैखिक संवेग का संरक्षण: रेखीय संवेग संरक्षण के अनुसार गति में एक निकाय अपना कुल संवेग (द्रव्यमान और सदिश वेग का गुणनफल है) को बनाए रखता है जब तक कि उस पर कोई बाह्य बल नही लगाया जाता है।
• गणितीय रूप से-

प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग

P1 = P2

हम कह सकते हैं कि

M1V1 + M2V2 = 0

जहाँ M₁ = प्रक्षेप्य का द्रव्यमान, V₁ = प्रक्षेप्य का वेग, M₂ = टैंक का द्रव्यमान और V₂ = टैंक की अज्ञात प्रतिक्षेप गति

गणना:

दिया गया है कि-

M1 = 3 kg, V1 = 24 m/s, M2 = 0.4 टन = 400 kg

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

M1V1 + M2V2 = 0

(3 × 24) + (400 × V₂) = 0

V₂ = -0.18 m/s,

टैंक 0.18 m/s के परिमाण के साथ पीछे की दिशा में प्रतिक्षेप करता है।

तो विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति:

द्रव्यमान के केंद्र का वेग:

द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण:

गणना:

 (ऋणात्मक, क्योंकि दोनों विपरीत दिशा में गति कर रहे हैं)

= 0

अवधारणा:

• गतिज ऊर्जा (K.E): अपनी गति के आधार पर एक निकाय के पास ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है ।

गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

जहां m = निकाय का द्रव्यमान और v = निकाय का वेग

• संवेग (p): द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहा जाता है।

संवेग (p) = द्रव्यमान (m) × वेग (v)

गतिज ऊर्जा और रैखिक संवेग के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है:

जैसा कि हम जानते हैं,

अंश और हर को m से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं

 [p = mv]

गणना:

दिया गया है:

K.E1 = K.E2 = K.E (मान लीजिए)

m₁ = 1 kg और m₂ = 4 kg

संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है:

लेकिन चूँकि K.E समान है।

∴ 

अथवा

इसलिए विकल्प 1 सही है।